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2017年高考桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)合 模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 若集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因?yàn)榛?，所以，?yīng)選答案A。 2. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：：；：；：的共軛復(fù)數(shù)為；：的虛部為，其中真命題為（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】因?yàn)榈奶摬繛?，所以是真命題，則應(yīng)選答案C。 3. 在如圖所示的矩形中，，，為線段上的點(diǎn)，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，應(yīng)選答案B。 4. 如圖是2017年第一季度五省情況圖，則下列陳述正確的是（ ） ①2017年第一季度總量和增速均居同一位的省只有1個(gè)； ②與去年同期相比，2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長； ③去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江； ④2016年同期浙江的總量也是第三位． A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】總量排序?yàn)椋航K，山東，浙江，河南，遼寧； 增速排序?yàn)椋航K，遼寧，山東，河南，浙江； 則總量和增速均居同一位的省有河南，江蘇兩省，說法①錯(cuò)誤； 與去年同期相比，2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長，說法②正確； 去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江，說法③正確； 2016年的GDP量計(jì)算為： 浙江：，江蘇：， 河南：，山東：， 遼寧：， 據(jù)此可知，2016年同期浙江的總量也是第三位，說法④正確. 本題選擇B選項(xiàng). 5. 若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函數(shù)的解析式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：， 即：. 本題選擇C選項(xiàng). 6. 若，，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可得：， 據(jù)此可得：. 本題選擇B選項(xiàng). 7. 某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的（ ） A. 15 B. 29 C. 31 D. 63 【答案】D 【解析】流程圖執(zhí)行過程如下：初始條件：， 第一次循環(huán)：； 第二次循環(huán)：； 第三次循環(huán)：； 第四次循環(huán)：； 此時(shí)跳出循環(huán)，輸出B的值為63. 本題選擇D選項(xiàng). 8. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，為銳角，那么角的比值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由正弦定理：，B為銳角，則：，角的比值為 。 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍． 9. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如圖所示，在長寬高分別為的長方體中，三棱柱為該三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體，各個(gè)面的面積： ，，,. 該幾何體的表面積為. 本題選擇A選項(xiàng). 10. 在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成的角，則線段的長度的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 設(shè)的中點(diǎn)為，連，因，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，所以，，所以，即，也即，由此可得，結(jié)合可得，所以，則，即，應(yīng)選答案B。 點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，將題設(shè)中的異面直線所成角這一條件翻譯出來，因?yàn)檫@是求解線段長度范圍的先決條件與前提，也是解答本題是突破口。求解由于變量較多，因此運(yùn)用消元思想和整體代換的數(shù)學(xué)思想，使得問題的求解有章可循，進(jìn)而獲得答案，本題對(duì)計(jì)算能力要求較高，具有一定的難度。 11. 設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，設(shè)的最大值和最小值分別為，，則（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(?4,0)、F2(4,0),為兩個(gè)圓的圓心,半徑分別為r1=2,r2=1， |PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|?1， 故|PM|?|PN|的最大值為m=(|PF1|+2)?(|PF2|?1)=|PF1|?|PF2|+3=5. 同理可得求得. 則 6 . 本題選擇C選項(xiàng). 12. 表示一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)和個(gè)位數(shù)分別用，表示，記，如，則滿足的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題設(shè)可得，即，故應(yīng)選答案C。 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組則的最大值是__________． 【答案】 【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的斜率，觀察可得，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值：， 即的最大值是. 點(diǎn)睛：本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法．解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義． 14. 已知，，則__________． 【答案】 【解析】由題設(shè)可得，則，所以，即，與聯(lián)立可得，故，應(yīng)填答案。 點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，充分借助題設(shè)條件，先求出，再與聯(lián)立求得，進(jìn)而求得，從而使得問題獲解。 15. 直線分別與曲線，交于，，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】當(dāng)是，由題意可得：， 令，則：， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減， 函數(shù)的最大值為， 據(jù)此可知的最小值為2. 16. 設(shè)圓滿足：①截軸所得弦長為2；②被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1；③圓心到直線：的距離為．當(dāng)最小時(shí)，圓的面積為__________． 【答案】 【解析】 如圖，設(shè)圓心坐標(biāo)，則，所以圓心到直線的距離，故，由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），此時(shí)，故圓的面積，應(yīng)填答案。 點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是充分依據(jù)題設(shè)條件建立圓心坐標(biāo)與半徑之間的關(guān)系，再求的最小值。求解最值時(shí)，巧妙借助基本不等式從而使得問題簡捷、巧妙獲解。 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：． 【答案】（1）（2）見解析 【解析】（Ⅰ）解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，設(shè)公差為，，且，，成等比數(shù)列，， 即解得，， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為． （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，則， ∴． ∴，（*） ，（**） ∴， ∴． ∴． 18. 某公司為了準(zhǔn)確地把握市場，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第年與年銷量（單位：萬件）之間的關(guān)系如表： 1 2 3 4 12 28 42 56 （Ⅰ）在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中的散點(diǎn)圖擬合與的回歸模型，并用相關(guān)系數(shù)甲乙說明； （Ⅲ）建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測第5年的銷售量約為多少？． 附注：參考數(shù)據(jù)：，，． 參考公式：相關(guān)系數(shù)， 回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為： ，． 【答案】（1）見解析（2）可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（3）第5年的銷售量約為71萬件． 【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)畫出散點(diǎn)圖；（2）運(yùn)用（1）中的散點(diǎn)圖求平均數(shù)，進(jìn)而求相關(guān)系數(shù)；（3）運(yùn)用回歸方程進(jìn)行分析求解： 解：（Ⅰ）作出散點(diǎn)圖如圖： （Ⅱ）由（Ⅰ）散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，由題中所給表格及參考數(shù)據(jù)得： ，，，，，，， ． ∵與的相關(guān)系數(shù)近似為0.9996，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大， ∴可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系． （Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，，，， ，， 故關(guān)于的回歸直線方程為， 當(dāng)時(shí)，， 所以第5年的銷售量約為71萬件． 19. 如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)，分別是棱，上的點(diǎn)，且． （Ⅰ）證明：平面平面； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用線面垂直的判定定理進(jìn)行分析推證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算及空間向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解： （Ⅰ）證明：取線段的中點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，連接，，，則， 又， ∴是平行四邊形，故． ∵，平面平面，平面平面 ， ∴平面，而， ∴平面， ∵平面， ∴平面 平面． （Ⅱ）以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 則有即 令，則， 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 則有即 令，則， 設(shè)二面角的平面角， 則． 點(diǎn)睛：立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的考點(diǎn)與熱點(diǎn)。這類問題的設(shè)置一般有線面位置關(guān)系的證明與角度距離的計(jì)算等兩類問題。解答第一類問題時(shí)一般要借助線面平行與垂直的判定定理進(jìn)行；解答第二類問題時(shí)先建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)形式及數(shù)量積公式進(jìn)行求解。 20. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率．以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長為8，面積為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的方程為，求證：直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 【答案】（1）．（2）直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為． 【解析】試題分析： (1)利用題意求得，，橢圓的方程為． (2)首先討論當(dāng)?shù)那闆r，否則聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合直線的特點(diǎn)整理可得直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓的方程為，焦距為， 由題設(shè)條件知，，， ，， 所以，，或，（經(jīng)檢驗(yàn)不合題意舍去）， 故橢圓的方程為． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，可得， 當(dāng)，時(shí)，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng)，時(shí)，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立方程組 消去，得．① 由點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，得，可得． 于是方程①可以化簡為，解得， 將代入方程可得，故直線與曲線有且有一個(gè)交點(diǎn)， 綜上，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為． 21. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值； （Ⅱ）若，，，，試判斷，，三者是否有確定的大小關(guān)系，并說明理由． 【答案】（1），．（2） 【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組進(jìn)行分析求解；（2）先做差比較，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解： 解：（Ⅰ）． 由于所以，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知． （i）, 而，故． （ii） ． 設(shè)函數(shù)，， 則，． 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增； 又，因此在上單調(diào)遞增． 又，所以，即，即． （iii） ． 設(shè)，． 則，有． 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，有． 所以在上單調(diào)遞增． 又，所以，即，故． 綜上可知：． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為． （Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值． 【答案】（1）（2）最大值為． 【解析】試題分析： (1)利用互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程分別為，. (2)利用距離公式得到三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)到直線的距離的最大值為. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為， 即，即． 曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去， 可得． （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離 ， 故當(dāng)時(shí)，取最大值為． 點(diǎn)睛：涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程．求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決． 23. 選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)（）． （Ⅰ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）實(shí)數(shù)的最大值為1．（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【解析】試題分析： (1)利用題意結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的最大值為1； (2)利用函數(shù)的解析式零點(diǎn)分段可得實(shí)數(shù)的取值范圍是． 試題解析：（Ⅰ）． ∵， ∴恒成立當(dāng)且僅當(dāng)， ∴，即實(shí)數(shù)的最大值為1． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ∴， ∴或 ∴， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．