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12＋4分項(xiàng)練12　圓錐曲線 1．(2018大連模擬)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，直線l：y＝kx(k≠0)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則△AFB周長(zhǎng)的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)橢圓對(duì)稱性得△AFB的周長(zhǎng)為 |AF|＋|AF′|＋|AB|＝2a＋|AB|＝4＋|AB|(F′為右焦點(diǎn))， 由y＝kx，＋y2＝1，得x＝， ∴|AB|＝2|xA|＝4 ＝4∈(2,4)(k≠0)， 即△AFB周長(zhǎng)的取值范圍是＝. 2．(2018煙臺(tái)模擬)已知雙曲線－y2＝1(a>0)兩焦點(diǎn)之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 答案　A 解析　由雙曲線－y2＝1(a>0)的兩焦點(diǎn)之間的距離為4，可得2c＝4，所以c＝2， 又由c2＝a2＋b2，即a2＋1＝22，解得a＝， 所以雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x. 3．(2018湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)模擬)設(shè)拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l：3x＋4y＋12＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為(　　) A．2 B. C. D．3 答案　A 解析　由① 得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－1248<0，故①無(wú)解， 所以直線3x＋4y＋12＝0與拋物線是相離的． 由d1＋d2＝d1＋1＋d2－1， 而d1＋1為P到準(zhǔn)線x＝－1的距離， 故d1＋1為P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離， 從而d1＋1＋d2的最小值為焦點(diǎn)到直線3x＋4y＋12＝0的距離＝3， 故d1＋d2的最小值為2. 4．(2018重慶模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于P，Q兩點(diǎn)，若四邊形MNPQ為矩形，則矩形MNPQ的面積是(　　) A．16 B．12 C．4 D．3 答案　A 解析　根據(jù)題意，四邊形MNPQ為矩形， 可得|PQ|＝|MN|， 從而得到圓心F到準(zhǔn)線的距離與到MN的距離是相等的， 所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，代入拋物線方程，設(shè)M為x軸上方的交點(diǎn)， 從而求得M(3,2)，N(3，－2)， 所以|MN|＝4，＝4， 從而求得四邊形MNPQ的面積為S＝44＝16. 5．(2018重慶模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F2為直徑的圓M與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AF1與圓M相切，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)題意，有|AM|＝，＝， 因?yàn)锳F1與圓M相切，所以∠F1AM＝， 所以由勾股定理可得＝c， 所以cos∠F1MA＝＝， 所以cos∠AMF2＝－，且|MF2|＝， 由余弦定理可求得 ＝ ＝c， 所以e＝＝＝. 6．(2018重慶調(diào)研)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，若|MF1|－|MF2|＝2b，該雙曲線的離心率為e，則e2等于(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　D 解析　以線段F1F2 為直徑的圓的方程為x2＋y2＝c2， 雙曲線經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線方程為y＝x， 聯(lián)立方程求得M(a，b)， 因?yàn)椋?b<2c， 所以M(a，b)在雙曲線－＝1(a>0，b>0)上， 所以－＝1，所以－＝1， 化簡(jiǎn)得e4－e2－1＝0， 由求根公式得e2＝(負(fù)值舍去)． 7．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓2＋(y－4)2＝1上，則|PQ|的最小值為(　　) A.－1 B.－1 C．2－1 D.－1 答案　A 解析　設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(m2，m)． 圓心與拋物線上的點(diǎn)的距離的平方 d2＝2＋(m－4)2＝m4＋2m2－8m＋. 令f(m)＝m4＋2m2－8m＋， 則f′(m)＝4(m－1)(m2＋m＋2)， 由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得函數(shù)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為f(1)＝，由幾何關(guān)系可得|PQ|的最小值為－1＝－1. 8．(2018昆明模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，圓M：2＋y2＝p2，直線l：y＝k(k≠0)，自上而下順次與上述兩曲線交于A1，A2，A3，A4四點(diǎn)，則等于(　　) A. B. C．p D. 答案　B 解析　圓M：2＋y2＝p2的圓心為拋物線的焦點(diǎn)F，半徑為p. 直線l：y＝k過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F. 設(shè)A2(x1，y1)，A4(x2，y2)． 不妨設(shè)k<0，則x1<，x2>. |A1A2|＝|A1F|－|A2F|＝p－＝－x1， |A3A4|＝|A4F|－|A3F|＝－p＝x2－. 由 得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以 ＝ ＝＝ ＝＝. 9．(2018江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)等盟校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若＝3，且拋物線C上存在點(diǎn)M與x軸上一點(diǎn)N(7,0)關(guān)于直線l對(duì)稱，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．4 B．5 C. D．6 答案　D 解析　拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l′：x＝－， 如圖所示，當(dāng)直線AB的傾斜角為銳角時(shí)， 分別過(guò)點(diǎn)A，B作AP⊥l′，BQ⊥l′，垂足為P，Q， 過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AP交AP于點(diǎn)D， 則|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|， ∵|AF|＝3|BF|＝|AB|， ∴|AP|－|BQ|＝|AD| ＝|AF|－|BF|＝|AB|， 在Rt△ABD中，由|AD|＝|AB|， 可得∠BAD＝60， ∵AP∥x軸，∴∠BAD＝∠AFx＝60， ∴kAB＝tan 60＝， 直線l的方程為y＝， 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(xM，yM)， 由 可得xM＝p－，yM＝， 代入拋物線的方程化簡(jiǎn)可得 3p2－4p－84＝0，解得p＝6(負(fù)值舍去)， 該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6. 10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為(　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2， 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2， 半焦距為c，P為第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)， 則 解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2， 所以4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ， 所以4c2＝(2－)a＋(2＋)a， 所以4＝＋≥2＝， 所以e1e2≥，故選B. 11．(2017全國(guó)Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 答案　A 解析　方法一　設(shè)橢圓焦點(diǎn)在x軸上， 則03時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上， 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120， 則≥tan 60＝，即≥，解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 故選A. 12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)(異于右頂點(diǎn))，△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)(2,0)．過(guò)F2作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若使|AB|＝b2的直線l恰有三條，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(1,2) C．(，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　|F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2)， 設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1，F(xiàn)1F2，PF2切于點(diǎn)G，H，I， 則|PG|＝|PI|，|F1G|＝|F1H|，|F2H|＝|F2I|. 由雙曲線的定義知 2a＝|PF1|－|PF2|＝|F1G|－|F2I|＝|F1H|－|F2H|， 又|F1H|＋|F2H|＝|F1F2|＝2c， 故|F1H|＝c＋a，|F2H|＝c－a， 所以H(a,0)，即a＝2. 注意到這樣的事實(shí)： 若直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)， 則當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|AB|有最小值＝b2； 若直線l與雙曲線的兩支各交于一點(diǎn)(A，B兩點(diǎn))， 則當(dāng)l⊥y軸時(shí)，|AB|有最小值2a，于是， 由題意得b2>2a＝4，b>2，c＝>2， 所以雙曲線的離心率e＝>.故選C. 13．(2018三明質(zhì)檢)已知中心是坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)，且C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 答案?。珁2＝1 解析　根據(jù)題意得橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,0)， 則2a＝＋ ＝＝2， 所以a＝，因?yàn)閏＝2，所以b＝＝1， 從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合，稱射線OM與圓x2＋y2＝1的交點(diǎn)N為點(diǎn)M的“中心投影點(diǎn)”． (1)點(diǎn)M(1，)的“中心投影點(diǎn)”為_(kāi)_______； (2)曲線x2－＝1上所有點(diǎn)的“中心投影點(diǎn)”構(gòu)成的曲線的長(zhǎng)度是________． 答案　(1)　(2) 解析　(1)|OM|＝＝2，|ON|＝1， 所以＝，則N點(diǎn)坐標(biāo)為. (2)雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝x，由“中心投影點(diǎn)”的定義知，中心投影點(diǎn)是單位圓上夾在兩漸近線之間的與x軸相交的兩段圓弧，一條漸近線的傾斜角為，因此弧長(zhǎng)為2π1＝. 15．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，則雙曲線C的半焦距的取值范圍為_(kāi)___________． 答案　 解析　由|F1F2|＝2|OP|可得△PF1F2為直角三角形，∠F1PF2＝90，tan∠PF2F1≥4， 即|PF1|≥4|PF2|，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 又|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF2|≤a， 由(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2化為(|PF2|＋a)2＝2c2－a2≤2，可得c≤， 又雙曲線中c>a＝1， 所以雙曲線C的半焦距的取值范圍為. 16．(2018威海模擬)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P，Q是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，若|MN|＝|PQ|，則∠PFQ的最大值為_(kāi)_______． 答案　 解析　如圖所示，分別過(guò)P，Q作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，B， 設(shè)|PF|＝2a，|QF|＝2b， 由拋物線定義，得|PF|＝|PA|，|QF|＝|QB|， 在梯形ABQP中，2|MN|＝|PA|＋|QB|＝2a＋2b， ∴|MN|＝a＋b. 若PQ過(guò)焦點(diǎn)F，則|PQ|＝|PF|＋|QF|＝2a＋2b， 又|MN|＝a＋b，且|MN|＝|PQ|， ∴2a＋2b＝a＋b， ∴a＋b＝0，顯然不成立， ∴PQ不過(guò)焦點(diǎn)F. ∵|MN|＝|PQ|，∴|PQ|＝a＋b， 設(shè)∠PFQ＝θ，由余弦定理得， (a＋b)2＝4a2＋4b2－8abcos θ， ∴a2＋b2＋2ab＝4a2＋4b2－8abcos θ， ∴cos θ＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)， 又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤， ∴∠PFQ的最大值為.