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公主嶺2018-2019學年度高二上學期期末質量檢測題 理科數學 總分：150分 時間：120分鐘 注意事項： 1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.如圖所示的直觀圖中，，則其平面圖形的面積是（ ） A．4 B． C． D．8 2．命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是(　　) A．若x2≥1，則x≥1，或x≤－1 B．若－1＜x＜1，則x2＜1 C．若x＞1，或x＜－1，則x2＞1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 3．設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是(　　) A. π B. C．4π D．32π 4．“關于x的不等式f(x)＞0有解”等價于(　　) A．?x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．?x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C．?x∈R，使得f(x)＞0成立 D．?x∈R，f(x)≤0成立 5．已知m、n是兩條不同直線，α、β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α、β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m、n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α、β不平行，則在α內不存在與β平行的直線 D．若m、n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 6．“a＝1”是“直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直”的(　　) A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 7.若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a與b的夾角的余弦值為 則x＝(　　) A．3 B．－3 C.－11 D．3或－11 8.定積分的值是（ ） A. B. C. 0 D. 9．若函數f(x)＝x3－f ′(1)x2－x，則f ′(1)的值為(　　) A．0　　　 　 B．2　　　　 C．1　　　　 D．－1 10．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　) A. e2 B．2e2 C．e2 D . 11．函數f(x)＝ax3－x在R上為減函數，則(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 12．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分. ） 13.已知某生產廠家的年利潤(單位:萬元)與年產量(單位:萬件)的函數關系式為=,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為 萬件． 14.已知平面的法向量為 ＝(1，2，－2)，平面的法向量為＝(－2，－4，k)，若⊥，則k＝__________． 15．曲線在點處的切線方程為__________． 16.由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為___. 三、解答題（本大題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17.(本小題滿分10分) 已知命題,,如果命題是真命題,求實數的取值范圍. 18.(本小題滿分12分) 求函數,的最值. 19.(本小題滿分10分) 如圖,棱錐的地面是矩形,PA平面ABCD，,. (1).求證: 平面; (2).求點到平面的距離. 20．(本小題滿分12分) 若函數y＝f (x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y＝f (x)的極值點．已知a，b是實數，1和－1是函數f (x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點． (1)求a和b的值； (2)設函數g (x)的導函數g ′(x)＝f (x)＋2，求g(x)的極值點． 21.(本小題滿分12分) 如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB=，BC=，AA1=. （1）求證：A1B⊥B1C； （2）求二面角A1—B1C—B的余弦值. 22.(本小題滿分12分) 已知函數 (1). 當時,求的單調增區(qū)間; (2). 若在上是增函數,求的取值范圍。 2018-2019學年度高二上學期期末聯考試題 理科數學 總分：150分 時間：120分鐘 注意事項： 1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.如圖所示的直觀圖中，，則其平面圖形的面積是（ ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【解析】由題意可知直觀圖為直角三角形，，，所以平面圖形的面積為 2．命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是(　　) A．若x2≥1，則x≥1，或x≤－1 B．若－1＜x＜1，則x2＜1 C．若x＞1，或x＜－1，則x2＞1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 【答案】D 3．設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是(　　) A.π B. C．4π D．32π 【解析】　設正方體邊長為a，由題意可知，6a2＝24，∴a＝2. 設正方體外接球的半徑為R，則 a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π. 【答案】　C 4．“關于x的不等式f(x)＞0有解”等價于(　　) A．?x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．?x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C．?x∈R，使得f(x)＞0成立 D．?x∈R，f(x)≤0成立 【解析】　“關于x的不等式f(x)＞0有解”等價于“存在實數x0，使得f(x0)＞0成立”．故選A. 5．已知m、n是兩條不同直線，α、β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α、β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m、n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α、β不平行，則在α內不存在與β平行的直線 D．若m、n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 [解析]　A項，α、β可能相交，故錯誤； B項，直線m、n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤； C項，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯誤； D項，假設m、n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項正確． 6．“a＝1”是“直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直”的(　　) A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 解析：“a＝1”時兩直線垂直，兩直線垂直時a＝1，故為充要條件． 答案：C　 7.若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a與b的夾角的余弦值為 則x＝(　　) A．3 B．－3 C.－11 D．3或－11 【答案】　D 8.定積分的值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 9．若函數f(x)＝x3－f ′(1)x2－x，則f ′(1)的值為(　　) A．0　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．－1 【解析】　f ′(x)＝x2－2f ′(1)x－1，則f ′(1)＝12－2f ′(1)1－1，解得f ′(1)＝0.【答案】　A 10．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　) A.e2 B．2e2 C．e2 D. 【解析】　∵f′(x)＝ex，∴曲線在點(2，e2)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝e2，切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切線與x軸和y軸的交點坐標分別為A(1,0)，B(0，－e2)，則切線與坐標軸圍成的△OAB的面積為1e2＝. 【答案】　D 11．函數f(x)＝ax3－x在R上為減函數，則(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 【解析】　由題意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，則a≤0. 【答案】　A 12．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以D為坐標原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系， 則錯誤！未找到引用源。，，，，錯誤！未找到引用源。，， 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。，異面直線錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。所成角的余弦值為錯誤！未找到引用源。，故選C． 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分. ） 13.已知某生產廠家的年利潤(單位:萬元)與年產量(單位:萬件)的函數關系式為=,則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為 萬件． 【答案】9 14.已知平面的法向量為 ＝(1，2，－2)，平面的法向量為＝(－2，－4，k)，若⊥，則k＝__________． 【解析】∵α⊥β，∴a⊥b，∴ab＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5. 【答案】　D 15．曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】 【解析】，，． 16.由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為___. [解析]　該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1，高為1的四分之一圓柱體構成，∴V＝211＋2π121＝2＋. 三、解答題（本大題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．(本小題滿分10分) 已知命題,,如果命題是真命題,求實數的取值范圍. 答案：因為命題是真命題,所以是假命題.又當是真命題,即恒成立,應有解得,所以當是假命題時, .所以實數的取值范圍是. 18.(本小題滿分12分) 求函數,的最值. 19.(本小題滿分10分) 如圖,棱錐的地面是矩形,PA平面ABCD，,. （1）.求證: 平面; （2）.求點到平面的距離. 答案：（1）.解法一:在中, ,, ∴,∴為正方形,因此, ∵平面,平面,∴.又∵, ∴平面. 解法二:簡歷如圖所示的空間直角坐標系, 則,,,在中, ,, ∴,∴,,∴,,.∵,,即,.又, ∴平面. （2）.解法一:∵,∴, 設到平面的距離為,由, 有,得. 解法二:由1題得,, 設平面的法向量為,則,, 即,∴. 故平面的法向量可取為.∵, ∴到平面的距離為. 20．(本小題滿分12分) 若函數y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y＝f(x)的極值點．已知a，b是實數，1和－1是函數f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點． (1)求a和b的值； (2)設函數g(x)的導函數g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點． 解析：(1)由題設知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0， 解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因為f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根為x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函數g(x)的極值點只可能是1或－2. 當x＜－2時，g′(x)＜0；當－2＜x＜1時，g′(x)＞0，故－2是g(x)的極值點． 當－2＜x＜1或x＞1時，g′(x)＞0，故1不是g(x)的極值點． 所以g(x)的極值點為－2. 21.(本小題滿分10分) 如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB=，BC=，AA1=. （Ⅰ）求證：A1B⊥B1C； （II）求二面角A1—B1C—B的余弦值. 解：（I）由AC=1，AB=， BC=知AC2+AB2=BC2， 所以AC⊥AB。 因為ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC， 所以AC⊥面ABB1A1. 由，知側面ABB1A1是正方形，連結AB1， 所以A1B⊥AB1 由三垂線定理得A1B⊥B1C. （II）作BD⊥B1C，垂足為D，連結A1D。 由（I）知，A1B⊥B1C，則B1C⊥面A1BD， 于是B1C⊥A1D，則∠A1DB為二面角A1—B1C—B的 平面角。 ∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC， 故二面角A1—B1C—B的余弦值為 , 解法二：是平面的法向量，下同。 解法三：做與,則是與平面所成的角，, ,, ２２. (本小題滿分12分) 已知函數 (1).當時,求的單調增區(qū)間; （2）若在上是增函數,求的取值范圍。 答案：（1）.解:當時, ∴,由 得, 或, 故所求的單調增區(qū)間為 （2）. ∵在上是增函數, ∴在上恒成立, 即恒成立, ∵ (當且僅當時取等號) 所以, 當時,易知在上也是增函數, 所以.