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第一章 集合與常用邏輯用語 單元過關檢測（一） (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(2018長沙模擬)設集合A={x|x2-2x≤0},B={y|y=x2-2x,x∈A},則A∪B= (　　) A.[-1,2] B.[0,2] C.(-∞,2] D.[0,+∞) 【解析】選A.集合A={x|x2-2x≤0}=[0,2],B={y|y=x2-2x,x∈A}=[-1,0], 則A∪B=[-1,2]. 【變式備選】(2018昆明模擬)設集合A={x|y=lg(x-1)},集合B={y|y=-x2+2},則A∩B等于 (　　) A.(1,2) B.(1,2] C.[1,2) D.[1,2] 【解題指南】求出A中x的范圍確定出A,求出B中y的范圍確定出B,找出A與B的交集即可. 【解析】選B.由A中y=lg(x-1),得到x-1>0,解得:x>1,即A=(1,+∞),由B中y=-x2+2≤2,得到B=(-∞,2],則A∩B=(1,2]. 2.命題:“若x2+y2=0,則x=0且y=0”的逆否命題是 (　　) A.若x2+y2=0,則x=0且y≠0　 B.若x2+y2≠0,則x≠0或y≠0 C.若x=0且y=0,則x2+y2≠0　 D.若x≠0或y≠0,則x2+y2≠0 【解析】選D.命題“若x2+y2=0,則x=0且y=0”的逆否命題是:“若x≠0或y≠0,則x2+y2≠0”. 3.(2018錦州模擬)集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},則集合M與集合N的關系 (　　) 【解析】選D.因為1∈M,1?N;0∈N,0?M;所以M?N且N?M. 【變式備選】(2018洛陽模擬)已知集合A={-1,1,3},B={1,a2-2a},且B A,則實數a的不同取值個數為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.因為BA,所以a2-2a=-1或a2-2a=3,解得:a=1或a=-1或a=3,所以實數a的不同取值個數為3. 4.(2018重慶模擬)設x>0,y∈R,則“x>y”是“x>|y|”的 (　　) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選C.設x>0,y∈R,當x=1,y=-1時,滿足x>y但不滿足x>|y|,故x>0, y∈R,“x>y”推不出“x>|y|”,而“x>|y|”“x>y”,故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分條件. 5.(2018合肥模擬)已知命題p: x<0,x3<0,那么p是 (　　) 【解析】選C.因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題p: x<0,x3<0,那么p為: x0<0,≥0. 6.設A=,B={x|x≥a}.若A?B,則實數a的取值范圍是 (　　) A.a< B.a≤ C.a≤1 D.a<1 【解析】選C.A={1,2,3,4},由A?B得a≤1. 【誤區(qū)警示】本題易誤選A或B,出現錯誤的原因是忽視了集合A中“x∈Z”這一條件及對端點值的驗證. 7.已知x∈R,則x>5的一個必要不充分條件是 (　　) A.x>7 B.x<6 C.x<4 D.x>3 【解析】選D.本題的題意等價于四個選項中的一個不能得出x>5 ,而x>5可以得出四個選項中的一個.只有x>3符合. 8.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,則實數c的取值范圍是 (　　) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 【解析】選B.要使y=lg(x-x2)有意義,則x-x2>0, 解得00,所以00, 解得00,所以?x0∈R,使f(x0)<0成立.若?x0∈R,使f(x0)<0,則有Δ=b2-4c>0,當c=1,b=3時,滿足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“?x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要條件. 【誤區(qū)警示】解答本題易誤選C,出錯的原因就是不能進行合理轉化,尤其反推時,不知道舉反例,而導致誤選C. 11.(2018成都模擬)下列命題正確的個數是 (　　) ①命題“?x0∈R,+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”; ②函數f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件; ③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立 (x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充分必要條件是 “ab<0”. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選B.①根據特稱命題的否定是全稱命題,所以①正確; ②f(x)=-=cos2ax,最小正周期是=πa=1,所以②正確; ③當a=2時,x2+2x≥2x在x∈[1,2]上恒成立,而(x2+2x)min=3<(2x)max=4,所以③不正確; ④因為ab=|a||b|cos,因為 =π時ab<0,所以④不正確. 【變式備選】(2018濟南模擬)下列敘述中正確的是 (　　) A.命題“若a>1,則a2>1”的否命題為:“若a>1,則a2≤1” B.命題“?x0>1,使得-+2x0-1≥0”的否定“?x≤1,使得-x2+2x-1<0” C.“x>-1”是“<-1”成立的必要不充分條件 D.命題“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題是假命題 【解析】選C.逐一考查所給的選項: A.命題“若a>1,則a2>1”的否定為:“若a>1, 則a2≤1”,其否命題為:“若a≤1,則a2≤1”; B.命題“?x0>1,使得-+2x0-1≥0”的否定“?x>1,都有-x2+2x-1<0”; C.因為由“x>-1”不能得到“<-1”,而由“<-1”能得到“x>-1”,所以“x>-1”是“<-1”成立的必要不充分條件是正確的; D.因為“若x=y,則sin x=sin y”是正確的,所以“若x=y,則sin x=sin y”的逆否命題是真命題. 12.(2018葫蘆島模擬)設命題p:實數x,y滿足x2+y2<4,命題q:實數x,y滿足則命題p是命題q的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選D.作出不等式組對應的區(qū)域如圖: 則不等式組對應的區(qū)域在圓x2+y2=4內部和外部都有點存在,故命題p是命題q的既不充分也不必要條件. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.設集合A={2,4,6,8,10},B={4,8},則AB=________. 【解析】集合A={2,4,6,8,10},B={4,8}, 則AB={2,6,10}. 答案:{2,6,10} 14.命題p: ?x0∈R,≤0,命題q:?x∈(0,+∞),x>sin x,其中真命題是______;命題p的否定是______. 【解析】對任意的x∈R,2x>0,因此命題p是假命題,設f(x)=x-sin x, f′(x)= 1-cos x≥0,因此函數f(x)是R上的增函數,f(0)=0,因此當x>0時,有f(x)> f(0)=0,即x>sin x恒成立,因此命題q是真命題.命題p的否定為: ?x∈R,2x>0. 答案:q　?x∈R,2x>0 15.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定義集合AB={(x,y)|x∈A,y∈B},集合AB中屬于集合{(x,y)|logxy∈N}的元素的個數是________. 【解析】由定義可知AB中的元素為(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4), (2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8). 其中使logxy∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),共4個. 答案:4 16.(2018西寧模擬)在下列結論中: ①“p∧q”為真是“p∨q”為真的充分不必要條件; ②“p∧q”為假是“p∨q”為真的充分不必要條件; ③“p∧q”為真是“p”為假的充分不必要條件; ④“p” 為真是“p∧q”為假的充分不必要條件.正確的是________. 【解析】結論①“p∧q”為真,說明p,q同為真,故能推出“p∨q”為真,而“p∨q”為真,說明p,q中至少一個為真,故不能推出“p∧q”為真,故前者是后者的充分不必要條件,故正確;結論 ②“p∧q”為假,說明p,q中至少一個為假,故不能推出“p∨q”為真,“p∨q”為真也不能推出“p∧q”為假,故前者是后者的既不充分也不必要條件,故錯誤;結論 ③p∧q為真,說明p,q都為真,能推出“p”為假,若“p”為假,則p為真,不能推出p∧q為真,前者是后者的充分不必要條件,故正確;結論④“p”為真,則p為假,可推出“p∧q”為假,而只要滿足q為假,p無論真假,都有“p∧q”為假,故“p∧q”為假不能推出“p”為真,故正確,綜上可得結論①③④正確. 答案:①③④ 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)設集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求實數a的值. (2)若A∪B=A,求實數a的取值范圍. 【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故集合A={1,2}. (1)因為A∩B={2},所以2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3, 當a=-1時,B={x|x2-4=0}={-2,2},滿足條件; 當a=-3時,B={x|x2-4x+4=0}={2},滿足條件. 綜上可知:a的值為-1或-3. (2)對于集合B中的方程x2+2(a+1)x+(a2-5)=0,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). 因為A∪B=A,所以B?A. ①當Δ<0,即a<-3時,B=?,滿足條件; ②當Δ=0,即a=-3時,B={2},滿足條件; ③當Δ>0,即a>-3時, B=A={1,2}才能滿足條件, 則由根與系數的關系得 矛盾; 綜上,a的取值范圍是(-∞,-3]. 18.(12分)已知集合A={y|y=x2-x+1,≤x≤2},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實數m的取值范圍. 【解析】y=x2-x+1=+, 因為≤x≤2,所以≤y≤2,A=. 由x+m2≥1,得x≥1-m2, 所以B={x|x≥1-m2}. 因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件, 所以A?B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-, 故實數m的取值范圍是m≥或m≤-. 【誤區(qū)警示】解答本題易出現如下錯誤:一是沒有注意“x∈A”是“x∈B”的充分條件與“x∈A”成立的充分條件是“x∈B”的區(qū)別;二是由A?B得出1-m2<,進而得出錯誤結論. 19.(12分)已知命題p:函數f(x)=logax在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞增函數;命題q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對任意實數x恒成立.若p∨q是真命題,且p∧q為假命題,求實數a的取值范圍. 【解析】若命題p為真,則a>1. 若命題q為真,則a-2=0或 可得-22或-20,因為2x+a>0,所以2x-2a≥0,解得x≥1+log2a,即B={x|x≥1+log2a},又因為A?B,所以1+log2a≤1,解得:00,所以2x+a≥0,解得x≥log2(-a),即B={x|x≥log2(-a)},又因為A?B,所以log2(-a)≤1,解得:-2≤a<0. 綜上可知:-2≤a≤1. 21.(12分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y=x2-x+,0≤x≤3}. (1)若A∩B=?,求a的取值范圍. (2)當a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值時,求(RA)∩B. 【解題指南】(1)先化簡集合A,B,再由題意列關于a的不等式組求解. (2)先由題意確定a的值,再求解. 【解析】A={y|ya2+1},B={y|2≤y≤4}. (1)當A∩B=?時, 解得≤a≤2或a≤-. 即a∈(-∞,-]∪[,2]. (2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0, 依題意Δ=a2-4≤0, 即-2≤a≤2. 所以a的最小值為-2. 當a=-2時,A={y|y<-2或y>5}. 所以RA={y|-2≤y≤5}, 故(RA)∩B={y|2≤y≤4}. 22.(12分)求證:方程ax2+2x+1=0有且只有一個負數根的充要條件為a≤0或a=1. 【解題指南】充分性與必要性分兩步證明→充分性:a≤0或a=1作為條件;必要性:ax2+2x+1=0有且只有一個負數根作為條件. 【證明】充分性:當a=0時,方程為2x+1=0, 其根為x=-,方程只有一負根. 當a=1時,方程為x2+2x+1=0,其根為x=-1,方程只有一負根. 當a<0時,Δ=4(1-a)>0,方程有兩個不相等的根, 且<0,方程有一正一負兩個根. 所以充分性得證. 必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一負根. 當a=0時,符合條件. 當a≠0時,方程ax2+2x+1=0有實根, 則Δ=4-4a≥0,所以a≤1, 當a=1時,方程有一負根,x=-1. 當a<1時,若方程有且只有一負根, 則所以a<0. 所以必要性得證. 綜上,方程ax2+2x+1=0有且只有一個負數根的充要條件為a≤0或a=1.