(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學案 新人教A版選修2-1.doc
《(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學案 新人教A版選修2-1.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學案 新人教A版選修2-1.doc(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2.1 曲線與方程 學習目標 1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系.2.理解方程的曲線和曲線的方程的概念.3.了解用坐標法研究幾何問題的常用思路與方法.4.掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法. 知識點一 曲線的方程和方程的曲線的概念 在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系: (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解; (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點, 那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線. 知識點二 坐標法思想及求曲線方程的步驟 思考 曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解,能否說f(x,y)=0是曲線C的方程?試舉例說明. 答案 不能.還要驗證以方程f(x,y)=0的解為坐標的點是否都在曲線上.例如曲線C為“以原點為圓心,以2為半徑的圓的上半部分”與方程“x2+y2=4”,曲線上的點都滿足方程,但曲線的方程不是x2+y2=4. 梳理 (1)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念,是從不同角度出發(fā)的兩種說法.曲線C的點集和方程f(x,y)=0的解集之間是一一對應的關系,曲線的性質(zhì)可以反映在它的方程上,方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上.定義中的條件①說明曲線上的所有點都適合這個方程;條件②說明適合方程的點都在曲線上而毫無遺漏. (2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關系,通過曲線上的點與實數(shù)對(x,y)建立了一一對應關系,使方程成為曲線的代數(shù)表示,通過研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì). (3)求曲線的方程的步驟 如果曲線l上的點的坐標滿足方程F(x,y)=0,則 (1)曲線l的方程是F(x,y)=0.() (2)方程F(x,y)=0的曲線是l.() (3)坐標不滿足方程F(x,y)=0的點不在曲線l上.(√) (4)坐標滿足方程F(x,y)=0的點在曲線l上.() 類型一 曲線的方程與方程的曲線解讀 例1 (1)設方程f(x,y)=0的解集非空,若命題“坐標滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上”是假命題,則下列命題為真命題的是( ) A.坐標滿足f(x,y)=0的點都不在曲線C上 B.曲線C上的點的坐標不滿足f(x,y)=0 C.坐標滿足f(x,y)=0的點有些在曲線C上,有些不在曲線C上 D.一定有不在曲線C上的點,其坐標滿足f(x,y)=0 (2)“以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點”是“曲線C的方程是f(x,y)=0”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 答案 (1)D (2)B 解析 (1)命題“坐標滿足方程f(x,y)=0的點都在曲線C上”為假命題,則命題“坐標滿足方程f(x,y)=0的點不都在曲線C上”是真命題.故選D. (2)由曲線C的方程是f(x,y)=0,得以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點,但反過來不成立,故選B. 反思與感悟 (1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性. (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上,即直觀地說“解不比點多”,稱為完備性,只有點和解一一對應,才能說曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程. 跟蹤訓練1 分析下列曲線上的點與相應方程的關系: (1)過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|=2之間的關系; (2)與兩坐標軸的距離的積等于5的點與方程xy=5之間的關系; (3)第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點與方程x+y=0之間的關系. 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 解 (1)過點A(2,0)平行于y軸的直線上的點的坐標都是方程|x|=2的解,但以方程|x|=2的解為坐標的點不都在過點A(2,0)且平行于y軸的直線上.因此,|x|=2不是過點A(2,0)平行于y軸的直線的方程. (2)與兩坐標軸的距離的積等于5的點的坐標不一定滿足方程xy=5,但以方程xy=5的解為坐標的點與兩坐標軸的距離之積一定等于5.因此,與兩坐標軸的距離的積等于5的點的軌跡方程不是xy=5. (3)第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點的坐標都滿足x+y=0;反之,以方程x+y=0的解為坐標的點都在第二、四象限兩坐標軸夾角的平分線上.因此,第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點的軌跡方程是x+y=0. 類型二 曲線與方程的應用 例2 已知方程x2+(y-1)2=10. (1)判斷點P(1,-2),Q(,3)是否在上述方程表示的曲線上; (2)若點M在上述方程表示的曲線上,求m的值. 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 解 (1)∵12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10, ∴點P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上, 點Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上. (2)∵點M在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上, ∴2+(-m-1)2=10,解得m=2或m=-. 引申探究 本例中曲線方程不變,若點N(a,2)在圓外,求實數(shù)a的取值范圍. 解 結(jié)合點與圓的位置關系,得 a2+(2-1)2>10,即a2>9, 解得a<-3或a>3, 故所求實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3)∪(3,+∞). 反思與感悟 判斷曲線與方程關系的問題時,可以利用曲線與方程的定義,也可利用互為逆否關系的命題的真假性一致判斷. 跟蹤訓練2 若曲線y2-xy+2x+k=0過點(a,-a)(a∈R),求k的取值范圍. 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 解 ∵曲線y2-xy+2x+k=0過點(a,-a), ∴a2+a2+2a+k=0, ∴k=-2a2-2a=-22+, ∴k≤, ∴k的取值范圍是. 類型三 求曲線的方程 命題角度1 直接法求曲線的方程 例3 一個動點P到直線x=8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍.求動點P的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 直接法求曲線方程 解 設P(x,y),則|8-x|=2|PA|, 則|8-x|=2, 化簡,得3x2+4y2=48, 故動點P的軌跡方程為3x2+4y2=48. 引申探究 若本例中的直線改為“y=8”,求動點P的軌跡方程. 解 設P(x,y), 則P到直線y=8的距離d=|y-8|, 又|PA|=,故|y-8|=2, 化簡,得4x2+3y2-16x+16y-48=0. 故動點P的軌跡方程為4x2+3y2-16x+16y-48=0. 反思與感悟 直接法求動點軌跡的關鍵及方法 (1)關鍵:①建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?;②找出所求動點滿足的幾何條件. (2)方法:求曲線的方程遵循求曲線方程的五個步驟,在實際求解時可簡化為三大步驟:建系、設點;根據(jù)動點滿足的幾何條件列方程;對所求的方程化簡、說明. 特別提醒:直接法求動點軌跡方程的突破點是將幾何條件代數(shù)化. 跟蹤訓練3 已知兩點M(-1,0),N(1,0),且點P使,,成公差小于零的等差數(shù)列,求點P的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 直接法求曲線方程 解 設點P(x,y),由M(-1,0),N(1,0), 得=-=(-1-x,-y), =-=(1-x,-y),=-=(2,0). ∴=2(x+1),=x2+y2-1, =2(1-x). 于是,,,成公差小于零的等差數(shù)列等價于 即 ∴點P的軌跡方程為x2+y2=3(x>0). 命題角度2 相關點法求曲線的方程 例4 動點M在曲線x2+y2=1上移動,M和定點B(3,0)連線的中點為P,求P點的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 相關點法求曲線方程 解 設P(x,y),M(x0,y0), 因為P為MB的中點,所以即 又因為M在曲線x2+y2=1上, 所以x+y=1,所以(2x-3)2+4y2=1. 所以點P的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1. 反思與感悟 相關點法求解軌跡方程的步驟 (1)設動點P(x,y),相關動點M(x0,y0). (2)利用條件求出兩動點坐標之間的關系 (3)代入相關動點的軌跡方程. (4)化簡、整理,得所求軌跡方程. 跟蹤訓練4 已知圓C:x2+(y-3)2=9.過原點作圓C的弦OP,求OP的中點Q的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 相關點法求曲線方程 解 設P(x1,y1),Q(x,y), 由題意,得即 又因為點P在圓C上,所以x+(y1-3)2=9, 所以4x2+42=9, 即x2+2=(x≠0). 1.若命題“曲線C上點的坐標都是方程f(x,y)=0的解”是真命題,則下列命題為真命題的是( ) A.方程f(x,y)=0所表示的曲線是曲線C B.方程f(x,y)=0所表示的曲線不一定是曲線C C.f(x,y)=0是曲線C的方程 D.以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 答案 B 解析 “曲線C上點的坐標都是方程f(x,y)=0的解”,但以方程f(x,y)=0的解為坐標的點不一定在曲線C上,故A,C,D都為假命題,B為真命題. 2.已知直線l:x+y-3=0及曲線C:(x-3)2+(y-2)2=2,則點M(2,1)( ) A.在直線l上,但不在曲線C上 B.在直線l上,也在曲線C上 C.不在直線l上,也不在曲線C上 D.不在直線l上,但在曲線C上 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 答案 B 解析 將M(2,1)代入直線l和曲線C的方程,由于2+1-3=0,(2-3)2+(1-2)2=2,所以點M既在直線l上又在曲線C上,故選B. 3.等腰三角形底邊的兩個頂點分別是B(2,1),C(0,-3),則另一個頂點A的軌跡方程是( ) A.x-2y+1=0(x≠0) B.y=2x-1 C.x+2y+1=0(y≠1) D.x+2y+1=0(x≠1) 考點 求曲線的方程的方法 題點 直接法求曲線方程 答案 D 解析 設A(x,y),依題意,知|AB|=|AC|, 所以=, 化簡得x+2y+1=0. 又因為A,B,C三點不能共線,所以x≠1,故選D. 4.到直線4x+3y-5=0的距離為1的點的軌跡方程為________________. 考點 求曲線的方程的方法 題點 幾何法求曲線方程 答案 4x+3y-10=0和4x+3y=0 解析 設該點坐標為(x,y),則 =1,即|4x+3y-5|=5, ∴所求軌跡方程為4x+3y-10=0和4x+3y=0. 5.M為直線l:2x-y+3=0上的一動點,A(4,2)為一定點,又點P在直線AM上運動,且=3,求動點P的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程 解 設點M,P的坐標分別為M(x0,y0),P(x,y),由題設及向量共線條件可得所以 因為點M(x0,y0)在直線2x-y+3=0上, 所以2-+3=0, 即8x-4y+3=0, 從而點P的軌跡方程為8x-4y+3=0. 1.判斷點是否在某個方程表示的曲線上,就是檢驗該點的坐標是不是方程的解,是否適合方程.若適合方程,就說明點在曲線上;若不適合,就說明點不在曲線上. 2.已知點在某曲線上,可將點的坐標代入曲線的方程,從而可研究有關參數(shù)的值或范圍問題. 一、選擇題 1.方程|x|+|y|=|xy|+1表示的曲線是( ) A.一條直線 B.一個正方形 C.一個圓 D.四條直線 考點 曲線和方程的概念 題點 由方程研究曲線的對稱性 答案 D 解析 由|x|+|y|=|xy|+1,得(|x|-1)(|y|-1)=0,即x=1或y=1,因此該方程表示四條直線. 2.已知0≤α<2π,點P(cosα,sinα)在曲線(x-2)2+y2=3上,則α的值為( ) A.B.πC.或D.或 考點 曲線和方程的概念 題點 點在曲線上的應用 答案 C 解析 由(cosα-2)2+sin2α=3,得cosα=. 又因為0≤α<2π, 所以α=或α=π. 3.方程|x|-|y|=0表示的圖形是下圖中的( ) 考點 曲線和方程的概念 題點 由方程研究曲線的對稱性 答案 C 解析 由|x|-|y|=0知,y=x,即表示一、三象限角平分線或二、四象限角平分線. 4.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),若動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所圍成的面積為( ) A.9πB.8πC.4πD.π 考點 曲線與方程的意義 題點 曲線與方程的綜合應用 答案 C 解析 設P(x,y),∵|PA|=2|PB|, ∴(x+2)2+y2=4(x-1)2+4y2,∴(x-2)2+y2=4, ∴點P的軌跡為以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓, ∴所圍成的面積S=π22=4π. 5.在平面直角坐標系中,動點P(x,y)到兩條坐標軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離,記點P的軌跡為曲線W,則有下列命題: ①曲線W關于原點對稱; ②曲線W關于x軸對稱; ③曲線W關于y軸對稱; ④曲線W關于直線y=x對稱. 其中真命題的個數(shù)是( ) A.1B.2C.3D.4 考點 曲線與方程的意義 題點 曲線與方程的綜合應用 答案 A 6.過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|等于( ) A.2B.8C.4D.10 考點 求曲線方程的方法 題點 幾何法求曲線方程 答案 C 解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),則=3(-3)+(-1)(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故過三點A,B,C的圓以AC為直徑,得其方程為(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,故選C. 7.已知兩點A(,0),B(-,0),點P為平面內(nèi)一動點,過點P作y軸的垂線,垂足為Q,且=22,則動點P的軌跡方程為( ) A.x2+y2=2 B.y2-x2=2 C.x2-2y2=1 D.2x2-y2=1 考點 求曲線方程的方法 題點 定義法求曲線方程 答案 B 解析 設動點P的坐標為(x,y), 則點Q的坐標為(0,y), =(-x,0),=(-x,-y), =(--x,-y),=x2-2+y2. 由=22,得x2-2+y2=2x2, 所以所求動點P的軌跡方程為y2-x2=2. 二、填空題 8.方程(x-1)2+=0表示的是____________. 考點 討論方程的曲線類型 題點 其他類型的曲線與方程 答案 點(1,2) 解析 由(x-1)2+=0,知(x-1)2=0且=0,即x=1且y=2,所以(x-1)2+=0表示的是點(1,2). 9.已知點F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的一動點,過點P作l的垂線,垂足為Q,且=,則動點P的軌跡C的方程是________. 考點 求曲線方程的方法 題點 坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程 答案 y2=4x(x≥0) 解析 設點P(x,y),則Q(-1,y). 由=, 得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y), 所以2(x+1)=-2(x-1)+y2, 化簡得y2=4x(x≥0). 10.若點A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲線上,則m=________. 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 答案?。? 解析 ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲線上, ∴∴ 11.點A(1,-2)在曲線x2-2xy+ay+5=0上,則a=________. 考點 曲線與方程的概念 題點 點在曲線上的應用 答案 5 解析 由題意可知點(1,-2)是方程x2-2xy+ay+5=0的一組解,即1+4-2a+5=0, 解得a=5. 三、解答題 12.已知A(-3,0),B,C兩點分別在y軸和x軸上運動,點P為BC延長線上一點,并且滿足⊥,=,試求動點P的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 直接法求曲線方程 解 設P(x,y),B(0,y′),C(x′,0), 則=(x′,-y′),=(x,y-y′), 由=,得(x′,-y′)=(x,y-y′), 即x′=,y′=-y,∴B(0,-y), 又A(-3,0),∴=(3,-y),=(x,2y), 由⊥,得=0,∴3x-2y2=0, 即動點P的軌跡方程為y2=x. 13.過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點,l2交y軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程. 考點 求曲線方程的方法 題點 坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程 解 如圖所示,設點A(a,0), B(0,b),M(x,y). 因為M為線段AB的中點, 所以a=2x,b=2y, 即A(2x,0),B(0,2y). 因為l1⊥l2,所以kAPkPB=-1. 而kAP=(x≠1), kPB=,所以=-1(x≠1), 整理,得x+2y-5=0(x≠1). 因為當x=1時,A,B的坐標分別為(2,0),(0,4), 所以線段AB的中點坐標是(1,2), 它滿足方程x+2y-5=0. 綜上所述,點M的軌跡方程是x+2y-5=0. 四、探究與拓展 14.方程+=1表示的圖形是( ) A.一條直線 B.兩條平行線段 C.一個正方形 D.一個正方形(除去四個頂點) 考點 討論方程的曲線類型 題點 其他類型的曲線與方程 答案 D 解析 由方程可知,方程表示的圖形關于坐標軸和原點對稱,且x≠0,y≠0.當x>0,y>0時,方程可化為x+y=1,表示第一象限內(nèi)的一條線段(去掉兩端點),因此原方程表示的圖形是一個正方形(除去四個頂點),故選D. 15.已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓O:x2+y2=1,M為直角坐標平面內(nèi)一動點,過點M作圓O的切線,切點為N,若|MN|與|MQ|的比值等于常數(shù)λ(λ>0),求動點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線. 考點 求曲線方程的方法 題點 直接法求曲線方程 解 連接ON,OM,易知ON⊥MN,設M(x,y). ∵圓O的半徑是1, ∴|MN|2=|OM|2-|ON|2=|OM|2-1. 由題意,=λ, ∴|MN|=λ|MQ|, 即=λ, 整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. ∵λ>0, ∴當λ=1時, 方程化為x=,該方程表示一條直線; 當λ≠1時,方程化為2+y2=, 該方程表示以為圓心,以為半徑的圓.- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標,表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞:
- 浙江專版2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1 曲線與方程學案 新人教A版選修2-1 浙江 專版 2018 2019 高中數(shù)學 第二 圓錐曲線 方程 曲線 新人 選修
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享,僅供網(wǎng)友學習交流,未經(jīng)上傳用戶書面授權,請勿作他用。
鏈接地址:http://www.hcyjhs8.com/p-3921474.html