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第九章 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 單元過關檢測(九) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.樣本中共有五個個體,其值分別為0,1,2,3,m.若該樣本的平均值為1,則其樣本方差為 (　　) A. B. C. D.2 【解析】選D.依題意得m=51-(0+1+2+3)=-1,樣本方差s2=[12+02+12+22+(-2)2]=2,即所求的樣本方差為2. 2.(2018益陽模擬)某公司2010-2015年的年利潤x(單位:百萬元)與年廣告支出y(單位:百萬元)的統(tǒng)計資料如表所示: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 利潤x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根據(jù)統(tǒng)計資料,則 (　　) A.利潤中位數(shù)是16,x與y有正線性相關關系 B.利潤中位數(shù)是17,x與y有正線性相關關系 C.利潤中位數(shù)是17,x與y有負線性相關關系 D.利潤中位數(shù)是18,x與y有負線性相關關系 【解析】選B.利潤的中位數(shù)為=17.畫散點圖,即可知x與y是正相關. 3.(2017山東高考)執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖,若第一次輸入的x值為7,第二次輸入的x值為9,則第一次、第二次輸出的a的值分別為 (　　) A.0,0 B.1,1 C.0,1 D.1,0 【解析】選D.第一次x=7,22<7,b=3,32>7,a=1;第二次x=9,22<9,b=3,32=9,a=0. 【變式備選】(2017全國卷Ⅱ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的a=-1,則輸出的S= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選B.閱讀程序框圖,初始化數(shù)據(jù)a=-1,K=1,S=0,循環(huán)結果執(zhí)行如下: 第一次:S=0-1=-1,a=1,K=2; 第二次:S=-1+2=1,a=-1,K=3; 第三次:S=1-3=-2,a=1,K=4; 第四次:S=-2+4=2,a=-1,K=5; 第五次:S=2-5=-3,a=1,K=6; 第六次:S=-3+6=3,a=-1,K=7; 結束循環(huán),輸出S=3. 4.某班有34位同學,座位號記為01,02,…34,用如圖的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的五位同學的座號.選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開始,由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第4個志愿者的座號是 (　　) 49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87 35　20　96　43　84　26　34　91　64　57　24 55　06　88　77　04　74　47　67　21　76　33 50　25　83　92　12　06 A.23 B.09 C.02 D.16 【解析】選D.從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于34的編號依次為21,32,09,16,其中第4個為16. 5.(2018湛江模擬)某同學利用課余時間做了一次社交軟件使用習慣調查,得到22列聯(lián)表如下: 偏愛微信 偏愛QQ 總計 30歲以下 4 8 12 30歲以上 16 2 18 總計 20 10 30 則下列結論正確的是 (　　) A.在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為社交軟件使用習慣與年齡有關 B.在犯錯的概率超過0.005的前提下認為社交軟件使用習慣與年齡有關 C.在犯錯的概率不超過0.001的前提下認為社交軟件使用習慣與年齡有關 D.在犯錯的概率超過0.001的前提下認為社交軟件使用習慣與年齡有關 【解析】選A.k==10,由于7.879<10<10.828,可以認為在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為社交軟件使用習慣與年齡有關. 6.(2018湘潭模擬)若正方形ABCD邊長為4,E為四邊上任意一點,則AE的長度大于5的概率等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.設M,N分別為BC或CD靠近點C的四等分點,則當E在線段CM,CN上時,AE的長度大于5,E所能取到點的長度為2,因為正方形的周長為16,所以AE的長度大于5的概率等于=. 【誤區(qū)警示】幾何概型問題有以下幾點容易造成失分: (1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤.(2)基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤.(3)利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤. 7.(2018成都模擬)某工廠生產A,B,C三種不同型號的產品,產品數(shù)量之比依次為k∶5∶3,現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為120的樣本,已知A種型號產品共抽取了24件,則C種型號產品抽取的件數(shù)為 (　　) A.24 B.30 C.36 D.40 【解析】選C.由題意,=,得k=2,所以C型號產品抽取的件數(shù)為120 =36. 8.(2018蚌埠模擬)四個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前放著完全相同的硬幣,所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解題指南】解答本題可將所求事件轉化為“正面不能相鄰”,可以根據(jù)正面出現(xiàn)的個數(shù)分類計數(shù),再用古典概型的概率公式計算. 【解析】選B.由題意得:基本事件總數(shù)為16,沒有相鄰的兩個人站起來可理解為“正面不能相鄰”,包括正反正反,反正反正,反反反反,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,故共7種情況,故P=. 【變式備選】已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=-2an(n∈N*).若從數(shù)列{an}的前10項中隨機抽取一項,則該項不小于8的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.由題意可知an=2(-2)n-1,故前10項中,不小于8的只有8,32, 128,512,共4項,故所求概率是=. 9.(2018聊城模擬)某單位招聘員工,有200名應聘者參加筆試,隨機抽查了其中20名應聘者筆試試卷,統(tǒng)計他們的成績如下表: 分數(shù)段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) 人數(shù) 1 3 6 6 2 1 1 若按筆試成績擇優(yōu)錄取40名參加面試,由此可預測參加面試的分數(shù)線為 (　　) A.70分 B.75分 C.80分 D.85分 【解析】選C.由題意得在抽查的20名應聘者中能被錄取的人數(shù):20=4人,所以可以預測參加面試的分數(shù)線為80分. 10.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體,組成一個樣本的抽樣方法;在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關,關稅百錢,欲以錢多少衰出之,問各幾何?”其譯文為:今有甲持560錢,乙持350錢,丙持180錢,甲、乙、丙三人一起出關,關稅共100錢,要按照各人帶錢多少的比例進行交稅,問三人各應付多少稅?則下列說法錯誤的是(　　) A.甲應付51錢 B.乙應付32錢 C.丙應付16錢 D.三者中甲付的錢最多,丙付的錢最少 【解析】選B.依題意,由分層抽樣知識可知,100(560+350+180)=,則甲應付:560=51錢;乙應付:350=32錢;丙應付:180=16錢. 11.(2018葫蘆島模擬)如圖一所示,由弧AB,弧AC,弧BC所組成的圖形叫做勒洛三角形,它由德國機械工程專家、機械運動學家勒洛首先發(fā)現(xiàn)的,它的構成如圖二所示,以正三角形ABC的每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段弧,由三段弧所圍成的曲邊三角形即為勒洛三角形,有一個如圖一所示的靶子,某人向靶子射出一箭,若此箭一定能射中靶子且射中靶子中的任意一點是等可能的,則此箭恰好射中三角形ABC內部(即陰影部分)的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解題指南】設正三角形ABC的邊長為a,先求出S△ABC,S扇形BAC,即可求出S勒洛三角形,根據(jù)幾何概型的概率公式計算即可. 【解析】選B.設正三角形ABC的邊長為a, 則S△ABC=a2,S扇形BAC=, 則S弓形=S扇形BAC-S△ABC=-a2, 所以S勒洛三角形=a2+3=πa2-a2, 所以此箭恰好射中三角形ABC內部(即陰影部分)的概率為==. 12.(2018蘭州模擬)已知函數(shù):①y=x3+3x2;②y=;③y=log2;④y=xsin x,從中任取兩個函數(shù),則這兩函數(shù)奇偶性相同的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解題指南】①y=x3+3x2是非奇非偶函數(shù),②y=是偶函數(shù),③y=log2是奇函數(shù), ④y=xsin x是偶函數(shù),由此利用等可能事件概率計算公式能求出結果. 【解析】選D.①y=x3+3x2是非奇非偶函數(shù),②y=是偶函數(shù),③y=log2是奇函數(shù), ④y=xsin x是偶函數(shù),從中任取兩個函數(shù),基本事件總數(shù)n=6,這兩函數(shù)奇偶性相同包含的基本事件個數(shù)m=1,所以這兩函數(shù)奇偶性相同的概率為=. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 13.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程=x+,其中=0.76,=-.據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元的家庭的年支出為________. 【解析】由題意知, ==10,==8, 所以=8-0.7610=0.4, 所以當x=15時,=0.7615+0.4=11.8(萬元). 答案:11.8萬元 14.如圖是某算法的程序框圖,若任意輸入[1,19]中的實數(shù)x,則輸出的x大于49的概率為________. 【解析】運行第一次得x=2x-1,n=2; 運行第二次得x=2(2x-1)-1=4x-3,n=3; 運行第三次得x=2(4x-3)-1=8x-7,n=4; 結束循環(huán),輸出8x-7. 由8x-7>49,得x>7,所以當輸入的x∈[1,19]時,輸出的x大于49的概率為=. 答案: 15.某研究機構為了研究人的腳的大小與身高之間的關系,隨機抽測了20人,若“身高大于175厘米”的為“高個”,“身高小于等于175厘米”的為“非高個”,“腳長大于42碼”的為“大腳”,“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”.得以下22列聯(lián)表: 高個 非高個 總計 大腳 5 2 7 非大腳 1 12 13 總計 6 14 20 則在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為人的腳的大小與身高之間有關系. 附: 【解析】由題意得K2的觀測值k=≈8.802>6.635.而K2的觀測值k>6.635的概率約為0.01,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為人的腳的大小與身高之間有關系. 答案:0.01 16.如圖甲是某市有關部門根據(jù)對當?shù)馗刹康脑率杖肭闆r調查后畫出的樣本頻率分布直方圖,已知圖甲中從左向右第一組的頻數(shù)為4 000.在樣本中記月收入在[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500),[2 500,3 000),[3 000,3 500), [3 500,4 000]的人數(shù)依次為A1,A2,…,A6.圖乙是統(tǒng)計圖甲中月工資收入在一定范圍內的人數(shù)的程序框圖,則樣本的容量n=________;圖乙輸出的S=________.(用數(shù)字作答) 【解析】因為月收入在[1 000,1 500)的頻率為0.000 8500=0.4,且有4 000人,所以樣本的容量n==10 000,由題圖乙知輸出的S=A2+A3+…+A6=10 000- 4 000=6 000. 答案:10 000　6 000 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)(2018南昌模擬)從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得每個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得xi=80,yi=20, xiyi=184,xi2=720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入的線性回歸方程=x+. (2)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預測該家庭的月儲蓄. 附:線性回歸方程=x+中, =,=-. 【解析】(1)由題意知n=10,=xi==8, =yi==2, 所以==0.3, 所以=-=2-0.38=-0.4, 故所求回歸方程為y=0.3x-0.4. (2)將x=7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y=0.37-0.4=1.7(千克). 18.(12分)(2018武漢模擬)某學校甲、乙兩個班各派10名同學參加英語口語比賽,并記錄他們的成績,得到如圖所示的莖葉圖.現(xiàn)擬定在各班中分數(shù)超過本班平均分的同學為“口語王”. (1)記甲班“口語王”人數(shù)為m,乙班“口語王”人數(shù)為n,比較m,n的大小. (2)求甲班10名同學口語成績的方差. 【解析】(1)由莖葉圖可得出甲、乙所對應的各個數(shù)據(jù). 因為= =80, 所以m=4; = =79, 所以n=5.所以m5.024, 所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為加強語文閱讀理解訓練與提高數(shù)學應用題得分率有關. (2)設小明和小剛解答這道數(shù)學應用題的時間分別為x,y分鐘,則基本事件滿足的區(qū)域為(如圖所示) 設事件A為“小剛比小明先正確解答完此題”,則滿足的區(qū)域為x>y, 所以P(A)==. 即小剛比小明先正確解答完此題的概率為. 【變式備選】(2018南昌模擬)某校為評估新教改對教學的影響,挑選了水平相當?shù)膬蓚€平行班進行對比試驗.甲班采用創(chuàng)新教法,乙班仍采用傳統(tǒng)教法,一段時間后進行水平測試,成績結果全部落在[60,100]區(qū)間內(滿分100分),并繪制頻率分布直方圖如圖,兩個班人數(shù)均為60人,成績80分及以上為優(yōu)良. (1)根據(jù)以上信息填好下列22列聯(lián)表,并判斷出在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認為學生成績優(yōu)良與班級有關? 　是否優(yōu)良 班級　　 優(yōu)良 (人數(shù)) 非優(yōu)良 (人數(shù)) 總計 甲 乙 總計 (2)以班級分層抽樣,抽取成績優(yōu)良的5人參加座談,現(xiàn)從5人中隨機選3人來作書面發(fā)言,求發(fā)言人至少有2人來自甲班的概率. (以下公式僅供參考 K2=,n=a+b+c+d) 【解析】(1) 　是否優(yōu)良 班級　　 優(yōu)良 (人數(shù)) 非優(yōu)良 (人數(shù)) 總計 甲 30 30 60 乙 20 40 60 總計 50 70 120 K2的觀測值k=≈3.43>2.706, 則在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為學生成績優(yōu)良與班級有關. (2)分層抽樣甲班抽取了3人,記作A1,A2,A3,乙班抽取了2人,記作B1,B2,從中任意抽取3人,有A1A2A3,A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A1B1B2,A2A3B1,A2A3B2,A2B1B2,A3B1B210種情形,其中至少有2人來自甲班的有7種情形, 則至少有2人來自甲班的概率為.