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考點規(guī)范練2 不等關系及簡單不等式的解法
一、基礎鞏固
1.設a,b,c∈R,且a>b,則( )
A.ac>bc B.1a<1b C.a2>b2 D.a3>b3
答案D
解析∵a>b,當c<0時,ac
0,b<0時,顯然滿足a>b,
此時1a>1b,故B錯;
當bb時,a3>b3.故選D.
2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,則實數a的取值范圍是( )
A.{a|00,Δ=a2-4a≤0,得0B
答案B
解析由題意知B2-A2=-2ab≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故選B.
4.若1a<1b<0,則在下列不等式:①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>b-1b;④ln a2>ln b2中,正確的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
答案C
解析因為1a<1b<0,故可取a=-1,b=-2.
因為|a|+b=1-2=-1<0,所以②錯誤;
因為lna2=ln(-1)2=0,lnb2=ln(-2)2=ln4>0,所以④錯誤.
綜上所述,②④錯誤,故選C.
5.已知α∈0,π2,β∈0,π2,則2α-β3的取值范圍是( )
A.0,5π6 B.-π6,5π6
C.(0,π) D.-π6,π
答案D
解析由題意得0<2α<π,0≤β3≤π6,
∴-π6≤-β3≤0,∴-π6<2α-β3<π.
6.(2018湖北荊州月考)已知不等式x2-3x<0的解集是A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,則a=( )
A.-2 B.1 C.-1 D.2
答案A
解析解不等式x2-3x<0,得A={x|00的解集為{x|-20)的解集是空集,則a2+b2-2b的取值范圍是 .
答案-45,+∞
解析∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,
∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.
∴a2+b2-2b≥b24+b2-2b
=54b-452-45≥-45.
∴a2+b2-2b的取值范圍是-45,+∞.
12.對任意x∈[-1,1],函數f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則k的取值范圍是 .
答案(-∞,1)
解析函數f(x)=x2+(k-4)x+4-2k圖象的對稱軸方程為x=-k-42=4-k2.
①當4-k2<-1,即k>6時,f(x)的值恒大于零等價于f(-1)=1+(k-4)(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在.
②當-1≤4-k2≤1,即2≤k≤6時,
f(x)的值恒大于零等價于f4-k2=4-k22+k-44-k2+4-2k>0,即k2<0,故k不存在.
③當4-k2>1,即k<2時,f(x)的值恒大于零等價于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.
綜上可知,當k<1時,對任意x∈[-1,1],函數f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.
二、能力提升
13.已知函數f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是( )
A.-∞,-32∪12,+∞ B.-32,12
C.-∞,-12∪32,+∞ D.-12,32
答案A
解析由題意可知方程f(x)=0的兩個解是x1=-1,x2=3,且a<0.
由f(-2x)<0得-2x>3或-2x<-1,
解得x<-32或x>12.
14.已知關于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,則實數a的取值范圍是( )
A.-∞,-35∪(1,+∞) B.-35,1
C.-35,1 D.-35,1
答案D
解析當a=1時,滿足題意;當a=-1時,不滿足題意;
當a≠1時,由(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,
可知a2-1<0,(a-1)2+4(a2-1)<0,解得-352,且y>2 B.x<2,且y<2
C.02,且00,x+y>0?x>0,y>0.
由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,
得x>2,y>2或00在區(qū)間[1,5]上有解,則實數a的取值范圍為 .
答案-235,+∞
解析x2+ax-2>0在[1,5]上有解可轉化為a>2x-x在[1,5]上有解.
令f(x)=2x-x,可得f(x)=-2x2-1.
當x∈[1,5]時,f(x)<0,即f(x)在[1,5]上是減函數.
所以f(x)在[1,5]上的最小值為f(5)=25-5=-235.
所以a>-235.
17.若對一切x∈(0,2],不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0恒成立,則a的取值范圍是 .
答案-∞,1-32∪1+32,+∞
解析∵x∈(0,2],∴a2-a≥xx2+1=1x+1x.
要使a2-a≥1x+1x在x∈(0,2]時恒成立,
則a2-a≥1x+1xmax.
由基本不等式得x+1x≥2,當且僅當x=1時,等號成立,
即1x+1xmax=12,故a2-a≥12,
解得a≤1-32或a≥1+32.
三、高考預測
18.已知函數f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),對任意實數x都有f(1-x)=f(1+x)成立,當x∈[-1,1]時,f(x)>0恒成立,則b的取值范圍是( )
A.-12
C.b<-1或b>2 D.不能確定
答案C
解析由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1,即a2=1,故a=2.
又可知f(x)在[-1,1]上為增函數,故當x∈[-1,1]時,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.
當x∈[-1,1]時,f(x)>0恒成立等價于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.
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