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第15講 任意角，弧度制及任意角的三角函數(shù) 考試 說明 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能進行弧度與角度的互化. 3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 考情 分析 考點 考查方向 考例 角的概念 角的概念、角 的集合表示 三角函數(shù)的定義 單位圓、三角函 數(shù)線、三角函 數(shù)值的符號 扇形的弧長及面積公式 扇形弧長、 面積公式 【重溫教材】必修4 第一章 第一節(jié)，第二節(jié) 【相關(guān)知識點回顧】 1.角的概念的推廣 (1)定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著　　　　從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. (2)分類:按旋轉(zhuǎn)方向分為　　　　、　　　　和零角;按終邊位置分為　　　　和軸線角. (3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S=　　　　　　　　　. 2.弧度制的定義和公式 (1)定義:把長度等于　　　　的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.弧度記作rad. (2)公式: 角α的弧度的絕對值 |α|=(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1= rad,②1 rad= 弧長公式 弧長l=　　　 扇形面積公式 S=lr=|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) (1)定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sin α=　　　　, cos α=　　　　,tan α=(x≠0). (2)幾何表示(單位圓中的三角函數(shù)線):如圖3-15-1中的有向線段OM,MP,AT分別稱為角α的　　　　、　　　　和　　　　. 常用結(jié)論 象限角與軸線角 (1)象限角 圖3-15-2 (2)軸線角 題組一　常識題 1.[教材改編] 終邊在射線y=-x(x<0)上的角的集合是　　　　　　　　　　. 2.[教材改編] (1)-270=　　　　rad;(2)π rad=　　　　. 3.[教材改編] 半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角的弧度數(shù)是　　　　. 4.[教材改編] 若角α的終邊經(jīng)過點P(3,-4),則cos α-tan α-sin α=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:對角的范圍把握不準;由值求角時沒有注意角的范圍;求三角函數(shù)值沒有考慮角的終邊所在的象限;求弧長或者扇形面積時,把角化為弧度數(shù)出錯. 5.已知點P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,則在[0,2π]內(nèi)α的取值范圍是　　　　　　　. 6.已知角α的終邊落在直線y=-3x上,則-=　　　　. 7.已知角θ的頂點為坐標原點O,始邊為x軸的正半軸,若P(x,6)是角θ終邊上一點,且cos θ=-,則x=　　　　. 8.若一扇形的圓心角為72,半徑為20 cm,則扇形的面積為　　　　cm2. 【探究點一】角的集合表示及象限角的判定 〖典例解析〗 例1. (1)設(shè)集合M=xx=180+45,k∈Z,N=xx=180+45,k∈Z,那么 (　　) A. M=N B. M?N C. N?M D. M∩N=? (2)已知角α的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界),則角α用集合可表示為　　　　　　　　. 〖課堂檢測〗 1.. (1)已知角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對稱,且α=-60,則β=　　　　　　　. (2)若角θ的終邊與角的終邊相同,則在[0,2π]內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的個數(shù)為　　　　. [總結(jié)反思] (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角; (2)利用終邊相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個角β所在的象限時,只需把這個角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個角α與2π的整數(shù)倍的和,然后判斷角α所在的象限. 【探究點二】扇形的弧長、面積公式 〖典例解析〗 例2.(1)若圓弧長度等于該圓內(nèi)接等腰直角三角形的周長,則其圓心角的弧度數(shù)是　　　　. (2)若扇形的周長為18,則扇形面積取得最大值時,扇形圓心角的弧度數(shù)是　　　　. 〖課堂檢測〗 2.(1)將表的分針撥快10分鐘,則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是 (　　) A. B. C. - D. - (2)圓內(nèi)接矩形的長寬之比為2∶1,若該圓上一段圓弧的長等于其內(nèi)接矩形的寬,則該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為　　　　. [總結(jié)反思] 應(yīng)用弧度制解決問題的方法: (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度; (2)求扇形面積最大值的問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決; (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形 【探究點三】　三角函數(shù)的定義 考向1　三角函數(shù)定義的應(yīng)用 例3 (1)若角θ的終邊經(jīng)過點P(-,m)(m≠0)且sin θ=,則cos θ=　　　　. (2)已知角α的終邊上一點P的坐標為,若α∈(-π,0),則α=　　　　 〖課堂檢測〗 3.點P從點出發(fā),沿單位圓按逆時針方向運動弧長后到達Q點,若α的始邊在x軸正半軸上,終邊在射線OQ上,則sin α= (　　) A. 1 B. -1 C. D. - [總結(jié)反思] 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況: (1)已知角的終邊上一點P的坐標,則可先求出點P到原點的距離,然后用三角函數(shù)定義求解; (2)已知角的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點的坐標,求出此點到原點的距離,然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題. 若直線的傾斜角為特殊角,則可直接寫出角的三角函數(shù)值.注:若角α的終邊落在某條直線上,一般要分類討論. 考向2　三角函數(shù)值的符號判定 例4.（1）若sin αcos α>0,且<0,則角α是 (　　) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 (2)已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-6,a+1),且cos α≤0,sin α>0,則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A. (-1,2] B. (-1,2) C. [-1,2) D. [-1,2] 〖課堂檢測〗 4.角α的終邊在第一象限,點P(1-2a,2+3a)是其終邊上的一點,若cos α>sin α,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. [總結(jié)反思] 三角函數(shù)在各象限的符號可用一個口訣記憶:一全正,二正弦,三正切,四余弦.如果角不能確定所在象限,就要進行分類討論. 考向3　三角函數(shù)線的應(yīng)用 例5.函數(shù)y=lg(2sin x-1)+的定義域為　　　　　　　　　　. 〖課堂檢測〗 5.滿足cos α≤-的角α的集合為　　 　. [總結(jié)反思] 利用三角函數(shù)線解三角不等式,通常采用數(shù)形結(jié)合的方法,一般來說sin x≥b,cos x≥a,只需作直線y=b,x=a與單位圓相交,分別連接交點與原點即得角的終邊所在的位置,此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的x的范圍 1.[2014全國卷Ⅰ]若tan α>0,則 (　　) A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 2.[2017全國卷Ⅰ]已知α∈,tan α=2,則cosα-=　　　　 3.[2017北京卷]在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α=,則sin β=　　　　.