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課時分層作業(yè) 五十八 古 典 概 型 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2018汕頭模擬)一袋中裝有大小相同,編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球,從中有放回地每次取一個球,共取2次,則取得兩個球的編號之和不小于15的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.一袋中裝有大小相同,編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球, 從中有放回地每次取一個球,共取2次, 基本事件總數(shù)n=88=64, 取得兩個球的編號之和不小于15包含的基本事件有:(7,8),(8,7),(8,8),共3個,所以取得兩個球的編號之和不小于15的概率P=. 【誤區(qū)警示】注意區(qū)別兩類問題 (1)有序、無序的問題 在進行某些試驗(如摸球)中,在摸取過程中要考慮球的先后順序(有序),有時就不需要考慮先后順序(無序),前后要保持一致. (2)放回抽取與不放回抽取的問題 摸球等問題有“取后放回”和“取后不放回”兩種情況,取后放回的可以繼續(xù)選取已取到過的球. 2.(2017山東高考)從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 (　　) A. B. C. D. 【命題意圖】本題考查古典概型概率及互斥事件的概率的求解,意在考查考生分析問題、解決問題的能力. 【解析】選C.奇偶性不同可能先抽到奇數(shù)卡片再抽到偶數(shù)卡片,或者先抽到偶數(shù)卡片再抽到奇數(shù)卡片,由于二者為互斥事件,故所求的概率為P=+=. 【變式備選】(2018合肥模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.設2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1, B2A1,B1A2,B2A2,B2B1共12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2共4種情況,則發(fā)生的概率P==. 3.從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)a,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=(1,-1)垂直的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.由題意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1), (5,3),(5,5),共12種情況. 因為m⊥n,即mn=0, 所以a1+b(-1)=0,即a=b, 滿足條件的有(3,3),(5,5)共2個, 故所求的概率為. 【變式備選】(2018唐山模擬)在集合A={2,3}中隨機取一個元素m,在集合B={1,2,3}中隨機取一個元素n,得到點P(m,n),則點P在圓x2+y2=9內部的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.點P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6種情況,只有(2,1),(2,2)這2個點在圓x2+y2=9的內部,所求概率為=. 4.在平面直角坐標系xOy中,不等式組表示的平面區(qū)域為W,從W中隨機取點M(x,y).若x∈Z,y∈Z,則點M位于第二象限的概率為 (　　) A. B. C.1- D.1- 【解析】選A.畫出平面區(qū)域,列出平面區(qū)域內的整數(shù)點有:(-1,0),(-1,1), (-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12個,其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2個,所以所求概率P=. 5.(2018長沙模擬)設b,c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),則函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點的概率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.所有的(b,c)共有66=36(個),函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點等價于b2-4c≥0,故滿足條件的(b,c)有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6),共計19個. 故函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點的概率為. 【誤區(qū)警示】解答本題時易將事件“函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點”的個數(shù)計算錯誤而誤選. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(2018撫州模擬)如圖所示是某市2017年4月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖,空氣質量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質量優(yōu)良,空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某同志隨機選擇4月1日至4月12日中的某一天到達該市,并停留3天. 該同志到達當日空氣質量重度污染的概率為________. 【解析】某同志隨機選擇4月1日至4月12日中的某一天到達該市,并停留3天,基本事件總數(shù)n=12,4月1日至4月12日空氣質量重度污染的天數(shù)有5天,即該同志到達當日空氣質量重度污染包含的基本事件個數(shù)m=5,所以該同志到達當日空氣質量重度污染的概率P==. 答案: 7.從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則為整數(shù)的概率是________. 【解析】從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)記為a,b,作為分數(shù)的分母與分子,有,,,,,,,,,,,,共12個不同的基本事件,其中為整數(shù)的只有,兩個基本事件,所以其概率P==. 答案: 8.(2018池州模擬)小明忘記了微信登錄密碼的后兩位,只記得最后一位是字母A,a,B,b中的一個,另一位是數(shù)字4,5,6中的一個,則小明輸入一次密碼能夠成功登錄的概率是________. 【解析】由題意得,登錄密碼的后兩位可能有: (4,A),(4,a),(4,B),(4,b), (5,A),(5,a),(5,B),(5,b), (6,A),(6,a),(6,B),(6,b),共12種可能,故小明輸入一次密碼能夠成功登錄的概率是. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2018周口模擬)按照國家環(huán)保部發(fā)布的新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》,規(guī)定:PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米.國家環(huán)保部門在2016年10月1日到2017年1月28日這120天對全國的PM2.5平均濃度的監(jiān)測數(shù)據統(tǒng)計如下: 組別 PM2.5濃度(微克/立方米) 頻數(shù)(天) 第一組 (0,35] 32 第二組 (35,75] 64 第三組 (75,115] 16 第四組 115以上 8 (1)在這120天中抽取30天的數(shù)據做進一步分析,每一組應抽取多少天? (2)在(1)中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過75(微克/立方米)的若干天中,隨機抽取2天,求恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)的概率. 【解析】(1)這120天中抽取30天,應采取分層抽樣,第一組抽取32=8天;第二組抽取64=16天;第三組抽取16=4天;第四組抽取8=2天. (2)設PM2.5的平均濃度在(75,115]內的4天記為A1,A2,A3,A4,PM2.5的平均濃度在115以上的兩天記為B1,B2.所以6天任取2天的情況有:A1A2,A1A3,A1A4, A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2共15種.記“恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)”為事件A,其中符合條件的有:A1B1, A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2共8種,所求事件A的概率P(A)=. 【變式備選】(2018衡水模擬)隨機抽取某中學高三年級甲、乙兩班各10名同學,測量出他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據的莖葉圖如圖,其中甲班有一個數(shù)據被污損. (1)若已知甲班同學身高平均數(shù)為170 cm,求污損處的數(shù)據. (2)現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173 cm的同學,求身高為176 cm的同學被抽中的概率. 【解析】(1)設甲班的未知數(shù)據為a,由 =(158+162+163+168+168+170+171+a+179+182)=170, 解得a=179,所以污損處的數(shù)據是9. (2)設“身高為176 cm的同學被抽中”為事件A, 從乙班10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173 cm的同學有:{181,173},{181,176},{181,178},{181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173},共10個基本事件, 而事件A有{181,176},{179,176},{178,176},{176,173},共4個基本事件, 所以P(A)==. 即身高為176 cm的同學被抽中的概率為. 10.(2018聊城模擬)元旦前夕,某校高三某班舉行慶祝晚會,人人準備了才藝,由于時間限制不能全部展示,于是找四張紅色紙片和四張綠色紙片上分別寫1,2,3,4,確定由誰展示才藝的規(guī)則如下: ①每個人先分別抽取紅色紙片和綠色紙片各一次,并將上面的數(shù)字相加的和記為X; ②當X≤3或X≥6時,即有資格展示才藝;當30,即p2+q2>1. 當p,q∈Z時,設點M(p,q),如圖,直線p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直線q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交點,即為點M,共有49個,其中在圓上和圓內的點共有5個(圖中黑點). 當點M(p,q)落在圓p2+q2=1外時,方程x2+2px-q2+1=0有兩個相異實數(shù)根, 所以方程x2+2px-q2+1=0有兩個相異實數(shù)根的概率P==. 答案: 4.(12分)小波以游戲方式決定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以O為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. (1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值. (2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 【解析】(1)由題意可得:X的所有可能取值為: -2,-1,0,1, (2)數(shù)量積為-2的有,共1種,數(shù)量積為-1的有, ,,,,共6種,數(shù)量積為0的有,,,共4種, 數(shù)量積為1的有,,,共4種,故所有的可能共15種,所以小波去下棋的概率P1=,去唱歌的概率P2=,故不去唱歌的概率P=1-P2=1-=. 5.(13分)(2018日照模擬)某中學高三年級有學生500人,其中男生300人,女生200人.為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關,采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù),然后按照性別分為男、女兩組,再將兩組的分數(shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130), [130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)從樣本分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人,求兩人恰為一男一女的概率. (2)若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”,請你根據已知條件列出22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.100的前提下認為“數(shù)學尖子生與性別有關”? 附表: P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】(1)由已知得,抽取的100名學生中,男生60名,女生40名,分數(shù)小于110分的學生中,男生有600.05=3(人),記為A1,A2,A3;女生有400.05=2(人),記為B1,B2,從中隨機抽取2名學生,所有的可能結果共有10種,它們是:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2);其中,兩名學生恰好為一男一女的可能結果共有6種,它們是:(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2);故所求的概率為P==. (2)由頻率分布直方圖可知, 在抽取的100名學生中,分數(shù)不小于130分的男生 600.25=15(人),女生400.375=15(人); 據此可得22列聯(lián)表如下: 數(shù)學尖子生 非數(shù)學尖子生 總計 男生 15 45 60 女生 15 25 40 總計 30 70 100 所以得K2的觀測值k=≈1.79; 因為1.79<2.706, 所以不能在犯錯誤的概率不超過0.100的前提下認為“數(shù)學尖子生與性別有關”. 【方法技巧】破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的“三步法”