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專題對點練18　5.1~5.3組合練 (限時90分鐘,滿分100分) 一、選擇題(共9小題,滿分45分) 1.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3 2.(2018全國名校大聯(lián)考第四次聯(lián)考)已知α,β是相異兩平面,m,n是相異兩直線,則下列命題錯誤的是(　　) A.若m∥n,m⊥α,則n⊥α B.若m⊥α,m⊥β,則α∥β C.若m⊥α,m∥β,則α⊥β D.若m∥α,α∩β=n,則m∥n 3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中,面積最大的側(cè)面的面積為(　　) A.22 B.52 C.62 D.3 4.如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個底面半徑為3 cm,高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為(　　) A.1727 B.59 C.1027 D.13 5.如圖,某三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形.若該三棱錐的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　) A.27π B.48π C.64π D.81π 6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC的中點,則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　) A.3 B.32 C.1 D.32 7.將長、寬分別為2和1的長方形ABCD沿對角線AC折起,得到四面體ABCD,則四面體ABCD外接球的表面積為(　　) A.3π B.5π C.10π D.20π 8. 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 9.(2018全國Ⅲ,文12)設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A.123 B.183 C.243 D.543 二、填空題(共3小題,滿分15分) 10.(2018天津,文11) 如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為　　　　　　. 11.已知三棱錐A-BCD,AB=AC=BC=2,BD=CD=2,點E是BC的中點,點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點F,則該三棱錐外接球的表面積為　　　　　. 12.已知四面體ABCD,AB=4,AC=AD=6,∠BAC=∠BAD=60,∠CAD=90,則該四面體外接球的半徑為　　　　. 三、解答題(共3個題,滿分分別為13分,13分,14分) 13. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,BC=AP=5,AB=3,AC=4,M,N分別在線段AD,CP上,且AMMD=PNNC=4. (1)求證:MN∥平面PAB; (2)求三棱錐P-AMN的體積. 14. 在如圖所示的五面體ABCDEF中,矩形BCEF所在的平面與平面ABC垂直,AD∥CE,CE=2AD=2,M是BC的中點,在△ABC中,∠BAC=60,AB=2AC=2. 求證:(1)AM∥平面BDE; (2)DE⊥平面BDC,并求三棱錐C-DBE的體積. 15.如圖①,在邊長為2的正方形ABCD中,點E是AB的中點,點F是BC的中點.將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點重合于點A,連接EF,AB,如圖②. (1)求異面直線AD與EF所成角的大小; (2)求三棱錐D-AEF的體積.  專題對點練18答案 1.A　解析 V=13312π12+1221=π2+1,故選A. 2.D　解析 由線面垂直的性質(zhì)可知選項A,B,C正確.如圖所示,對于選項D,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,取直線m為AD,平面α為上底面A1B1C1D1,平面β為平面CDD1C1,則直線n為C1D1,此時有m∥α,α∩β=n,直線m與n為異面直線,即選項D錯誤.故選D. 3.B　解析 由三視圖可知,幾何體的直觀圖如圖所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱錐A-BCDE的高為1,四邊形BCDE是邊長為1的正方形,則S△AED=1211=12,S△ABC=S△ABE=1212=22,S△ACD=1215=52,故選B. 4.C　解析 由零件的三視圖可知,該幾何體為兩個圓柱組合而成,如圖所示. 切削掉部分的體積V1=π326-π224-π322=20π(cm3), 原來毛坯體積V2=π326=54π(cm3). 故所求比值為V1V2=20π54π=1027. 5.C　解析 由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,三棱錐的高VA=4,直觀圖如圖所示. ∵△ABC是邊長為6的等邊三角形,∴外接球的球心D在底面ABC的投影為△ABC的中心O, 過D作DE⊥VA于E,則E為VA的中點,連接OA,DA, 則DE=OA=2333=23,AE=12VA=2,DA為外接球的半徑r, ∴r=DE2+AE2=4, ∴該球的表面積S=4πr2=64π.故選C. 6.C　解析 ∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點,∴AD⊥BC. 又ABC-A1B1C1為正三棱柱, ∴AD⊥平面BB1C1C. ∵四邊形BB1C1C為矩形,∴S△DB1C1=12S四邊形BB1C1C=1223=3. 又AD=232=3, ∴VA-B1DC1=13S△B1DC1AD=13 33=1.故選C. 7.B　解析 由題意可知,直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半, 所以長、寬分別為2和1的長方形ABCD沿對角線AC折起二面角,得到四面體ABCD, 則四面體ABCD的外接球的球心O為AC的中點,半徑R=52, 所求四面體ABCD的外接球的表面積為4π522=5π.故選B. 8.B　解析 由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成的.其表面積由一個矩形的面積、兩個半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個球的表面積的一半組成. ∴S表=2r2r+212πr2+πr2r+124πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2. 9.B　解析 由△ABC為等邊三角形且面積為93,設(shè)△ABC邊長為a,則S=12a32a=93.∴a=6,則△ABC的外接圓半徑r=3223a=23<4. 設(shè)球的半徑為R,如圖,OO1=R2-r2=42-(23)2=2. 當(dāng)D在O的正上方時,VD-ABC=13S△ABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故選B. 10.13　解析 ∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1, ∴V四棱錐A1-BB1D1D=V正方體-V三棱錐A1-ABD-V三棱柱BCD-B1C1D1 =1-1312111-12111=13. 11.60π11　解析 由題意,得△BCD為等腰直角三角形,E是外接圓的圓心. ∵點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點F,∴BF=1+14=52,∴AF=4-54=112. 設(shè)球心O到平面BCD的距離為h,則1+h2=14+112-h2,解得h=211,r=1+411=1511, 故該三棱錐外接球的表面積為4π1511=60π11. 12.25　解析 如圖所示,O為△ACD的外心,O為球心,BE⊥平面ACD,BF⊥AC,則EF⊥AC,∴AF=2,AE=22,BE=16-8=22. 設(shè)該四面體外接球半徑為R,OO=d,則2+(22+d)2=d2+(32)2, ∴d=2,CD=62,∴R=2+18=25. 13.(1)證明 在AC上取一點Q,使得AQQC=4,連接MQ,QN, 則AMMD=AQQC=PNNC,∴QN∥AP,MQ∥CD.又CD∥AB, ∴MQ∥AB. ∵AB?平面PAB,PA?平面PAB,MQ?平面MNQ,NQ?平面MNQ, ∴平面PAB∥平面MNQ. ∵MN?平面MNQ,MN?平面PAB, ∴MN∥平面PAB. (2)解 ∵AB=3,BC=5,AC=4, ∴AB⊥AC. 過C作CH⊥AD,垂足為H,則CH=345=125. ∵PA⊥平面ABCD,CH?平面ABCD, ∴PA⊥CH.又CH⊥AD,PA∩AD=A,∴CH⊥平面PAD. ∵PC=PA2+AC2=41,PNNC=4, ∴N到平面PAD的距離h=45CH=4825, ∴VP-AMN=VN-PAM=13S△PAMh=1312544825=325. 14.證明 (1)取BE的中點N,連接DN,MN,則MN∥CE,且MN=12CE. ∵AD∥CE,且AD=12CE, ∴AD∥MN,且AD=MN, ∴四邊形ADNM是平行四邊形, ∴DN∥AM. 又DN?平面BDE,AM?平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (2)在△ABC中,∠BAC=60,AB=2AC=2,由余弦定理得BC=3, 由勾股定理得∠ACB=90,BC⊥AC. 又BC⊥CE,且CE∩AC=C, ∴BC⊥平面ACED. 又DE?平面ACED,∴DE⊥BC. ∵DE⊥平面BDC,DC?平面BDC, ∴DE⊥DC. ∵DC∩BC=C,∴DE⊥平面BCD, ∴VC - BDE=VB-CDE=13S△CDEBC=1312223=33. 15.解 (1)在正方形ABCD中,∵AD⊥AE,CD⊥CF,∴AD⊥AE,AD⊥AF. ∵AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF, ∴AD⊥平面AEF. 而EF?平面AEF,∴AD⊥EF, ∴異面直線AD與EF所成角的大小為90. (2)∵正方形ABCD的邊長為2,點E是AB的中點,點F是BC的中點, ∴在Rt△BEF中,BE=BF=1,得EF=2,而AE=AF=1, ∴AE2+AF2=EF2,∴AE⊥AF, ∴S△AEF=1211=12. 由(1)得AD⊥平面AEF,且AD=2, ∴VD-AEF=13S△AEFAD=13122=13.