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12+4分項(xiàng)練11 直線與圓
1.(2018襄陽調(diào)研)已知點(diǎn)P(1,2)和圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0,過點(diǎn)P作圓C的切線有兩條,則k的取值范圍是( )
A.R B.
C. D.
答案 C
解析 圓C:2+2=1-k2,
因?yàn)檫^P 有兩條切線,
所以P在圓外,從而
解得-
0),現(xiàn)給出下列四個(gè)命題:
p1:?k∈R,l與C相交;
p2:?k0∈R,l與C相切;
p3:?r>0,l與C相交;
p4:?r0>0,l與C相切.
其中真命題為( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
答案 A
解析 因?yàn)閳AC是以(1,0)為圓心,以r為半徑的圓,
而直線l是過點(diǎn)(1,0),且斜率是k的直線,
所以無論k,r取何值,都有直線過圓心,
所以有?k∈R,?r>0,都有l(wèi)與 C相交,所以真命題有p1,p3.
4.(2018西安市長安區(qū)聯(lián)考)已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且有≥,那么k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D,則OD⊥AB,
因?yàn)閨+|≥||,
所以|2|≥||,
所以,
因?yàn)?+2=4,
所以2≥1,
因?yàn)橹本€x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn),
所以2<4,所以1≤2<4,
即1≤2<4,且k>0,
解得≤k<2.
5.(2018湖南師大附中月考)與圓x2+(y-2)2=2相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有( )
A.2條 B.3條
C.4條 D.6條
答案 B
解析 直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為y=kx,利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑可求得k=1,即直線方程為y=x;直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)其方程為+=1(a≠0),同理可求得a=4,直線方程為x+y=4,所以符合題意的直線共3條,故選B.
6.(2018湖北省荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:2+y2=20相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是( )
A.3 B.4 C.2 D.8
答案 B
解析 由題意可知,O1(0,0),O2(-m,0),
根據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和,
可得<|m|<3.
再根據(jù)題意可得O1A⊥AO2,
∴m2=5+20=25,∴m=5,
∴利用5=2=10,
解得|AB|=4.
7.(2018河北省衡水中學(xué)模擬)若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B的距離之比為,當(dāng)P,A,B不共線時(shí),△PAB面積的最大值是( )
A.2 B. C. D.
答案 A
解析 以線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則A(1,0),B,
設(shè)P(x,y),
則=,化簡得2+y2=8,
當(dāng)點(diǎn)P到AB(x軸)距離最大時(shí),
△PAB的面積取得最大值,由圓的性質(zhì)可得,
△PAB面積的最大值為22=2.
8.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線kx-y+1-k=0與線段AB相交,則k的取值范圍是( )
A. B.∪[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.[1,2]
答案 B
解析 直線kx-y+1-k=0恒過點(diǎn)P(1,1),
kPA==2,kPB==,若直線kx-y+1-k=0與線段AB相交,結(jié)合圖象(圖略)得k≤或k≥2,故選B.
9.已知點(diǎn)Q,P是圓C:(x-a)2+2=4上任意一點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+2=1,則m的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 設(shè)P(x,y),PQ的中點(diǎn)為M,
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
因?yàn)辄c(diǎn)M在圓x2+2=1上,
所以2+2=1,
即(x-1)2+2=4.
將此方程與方程(x-a)2+2=4
比較可得
解得m=4.
10.(2018四川省綿陽市南山中學(xué)模擬)若圓x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2,則直線l的斜率的取值范圍是( )
A.[2-,2+] B.[-2-,-2]
C.[-2-,2+] D.[-2-,2-]
答案 B
解析 圓x2+y2+4x-4y-10=0可化為(x+2)2+2=18,則圓心為(-2,2),半徑為3,
則由圓x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2可得,
圓心到直線l:ax+by=0的距離d≤3-2=,
即≤,
則a2+b2-4ab≤0,若b=0,則a=0,故不成立,
故b≠0,則上式可化為
1+2-4≤0.
由直線l的斜率k=-,
可知上式可化為k2+4k+1≤0,
解得-2-≤k≤-2+.
11.(2018甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)診斷)若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為( )
A. B.5 C.2 D.10
答案 B
解析 由直線ax+by+1=0始終平分圓M的周長,
可知直線必過圓M的圓心,
由圓的方程可得圓M的圓心坐標(biāo)為(-2,-1),
代入直線方程ax+by+1=0可得2a+b-1=0,
又由(a-2)2+(b-2)2表示點(diǎn)(2,2)與直線2a+b-1=0上的任一點(diǎn)的距離的平方,
由點(diǎn)到直線的距離公式得d==,
所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為d2=2=5.
12.(2017全國Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為( )
A.3 B.2 C. D.2
答案 A
解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB所在直線為x軸,y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).
設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E,連接CE,則CE⊥BD.
∵CD=1,BC=2,
∴BD==,
EC===,
即圓C的半徑為,
∴P點(diǎn)的軌跡方程為(x-2)2+(y-1)2=.
設(shè)P(x0,y0),則(θ為參數(shù)),
而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0).
∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=x0=1+cos θ,λ=y(tǒng)0=1+sin θ.
兩式相加,得
λ+μ=1+sin θ+1+cos θ=2+sin(θ+φ)≤3,
當(dāng)且僅當(dāng)θ=+2kπ-φ,k∈Z時(shí),λ+μ取得最大值3.
故選A.
13.設(shè)直線l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直線l2:2x+(a+2)y+1=0.若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的值為________,若l1∥l2,則實(shí)數(shù)a的值為________.
答案 -?。?
解析 若l1⊥l2,則2(a+1)+3=0,
整理可得5a+8=0,
求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程可得a=-.
若l1∥l2,則=≠,
據(jù)此可得a=-4.
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是直線3x+4y+3=0上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B,則|AB|的取值范圍為__________.
答案 [,2)
解析 由題意知,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,要使AB的長度最小,則∠ACB最小,即∠PCB最小,即PC最小,由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線3x+4y+3=0的距離d==2,則∠PCB=60,∠ACB=120,即|AB|=,當(dāng)P在直線3x+4y+3=0上無限遠(yuǎn)時(shí),∠ACB趨近180,此時(shí)|AB|趨近直徑2.
故|AB|的取值范圍為[,2).
15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M:x2+y2-6x-4y+8=0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,其中A在B的右側(cè),以AB為直徑的圓記為圓N,過點(diǎn)A作直線l與圓M,圓N分別交于C,D兩點(diǎn).若D為線段AC的中點(diǎn),則直線l的方程為________.
答案 x+2y-4=0
解析 由題意得圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=5,
令y=0,得x=2或x=4,所以A(4,0),B(2,0).
則圓N的方程為(x-3)2+y2=1,
由題意得直線l的斜率存在,所以設(shè)直線l:y=k(x-4).
聯(lián)立直線l的方程和圓M的方程消去y,
得(1+k2)x2-(8k2+4k+6)x+16k2+16k+8=0,
所以4+xC=,①
聯(lián)立
得(1+k2)x2-(8k2+6)x+16k2+8=0,
所以4+xD=,②
依題意得xC+4=2xD,③
解①②③得k=-.
所以直線l的方程為x+2y-4=0.
16.已知圓C1:(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=1與圓C2:x2+y2=1,下列說法中:
①對于任意的θ,圓C1與圓C2始終外切;
②對于任意的θ,圓C1與圓C2始終有四條公切線;
③當(dāng)θ=時(shí),圓C1被直線l:x-y-1=0截得的弦長為;
④若點(diǎn)P,Q分別為圓C1與圓C2上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最大值為4.
正確命題的序號(hào)為________.
答案?、佗邰?
解析 對于①,我們知道兩個(gè)圓外切等價(jià)于兩個(gè)圓的圓心距剛好等于兩個(gè)圓的半徑之和,
由題意,得圓C1的半徑為1,圓心坐標(biāo)為(2cos θ,2sin θ),圓C2的半徑為1,圓心坐標(biāo)為(0,0),
所以兩個(gè)圓的圓心距為==2.
又因?yàn)閮蓤A的半徑之和為1+1=2,
所以對于任意θ,圓C1和圓C2始終外切,所以①正確;
對于②,由①得,兩圓外切,所以兩圓只有三條公切線,所以②錯(cuò)誤;
對于③,此時(shí)圓C1的方程為:(x-)2+(y-1)2=1,
故圓C1的圓心坐標(biāo)為(,1),
所以圓心到直線l的距離為=.
又因?yàn)閳AC1的半徑為1,
所以其所截的弦長為2 =,所以③正確;
對于④,由①得,兩圓外切,所以兩圓上的點(diǎn)的最大距離就是兩圓的直徑之和,
因?yàn)镃1的直徑為2,C2的直徑也為2,
故|PQ|的最大值為2+2=4.所以④正確.
故正確命題的序號(hào)為①③④.
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