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單元質(zhì)檢九　解析幾何 (時(shí)間:100分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2018全國(guó)Ⅰ,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.13 B.12 C.22 D.223 答案C 解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22. 2.到直線3x-4y+1=0的距離為3,且與此直線平行的直線方程是(　　) A.3x-4y+4=0 B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0 C.3x-4y+16=0 D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0 答案D 解析設(shè)所求直線方程為3x-4y+m=0, 由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14. 即所求直線方程為3x-4y+16=0或3x-4y-14=0. 3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有(　　) A.2條 B.3條 C.4條 D.6條 答案C 解析過(guò)原點(diǎn)與圓x2+(y-2)2=1相切的直線有2條;斜率為-1且與圓x2+(y-2)2=1相切的直線也有2條,且此兩條切線不過(guò)原點(diǎn),由此可得與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有4條. 4.若雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則該雙曲線的方程為(　　) A.x2-y2=1 B.x22-y2=1 C.x2-y22=1 D.x23-y22=1 答案A 解析橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)位于x軸,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,據(jù)此可知,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0), 結(jié)合題意可知,雙曲線的焦點(diǎn)位于x軸,且c=2,a=1,b=1, 則該雙曲線方程為x2-y2=1. 5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是(　　) A.33 B.22 C.14 D.12 答案D 解析由題意可知2n2=2m2+c2, 又m2+n2=c2,所以m=c2. 因?yàn)閏是a,m的等比中項(xiàng), 所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12. 6.過(guò)點(diǎn)A(0,3),被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為23的直線方程是(　　) A.y=-43x+3 B.x=0或y=-43x+3 C.x=0或y=43x+3 D.x=0 答案B 解析當(dāng)弦所在的直線斜率不存在時(shí),即弦所在直線方程為x=0;此時(shí)被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為23. 當(dāng)弦所在的直線斜率存在時(shí),設(shè)弦所在直線l的方程為y=kx+3,即kx-y+3=0. 因?yàn)橄议L(zhǎng)為23,圓的半徑為2, 所以弦心距為22-(3)2=1. 由點(diǎn)到直線距離公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43. 綜上所述,所求直線方程為x=0或y=-43x+3. 7.(2018吉林長(zhǎng)春第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(　　) A.43 B.1 C.45 D.34 答案D 解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知△ABF1的周長(zhǎng)為4a=8,△ABF1的面積為12|F1F2||yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故選D. 8.(2018山東德州期末)若雙曲線的中心為原點(diǎn),F(0,-2)是雙曲線的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1),則雙曲線的方程為(　　) A.x23-y2=1 B.y2-x23=1 C.y23-x2=1 D.x2-y23=1 答案B 解析由題意設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0), M(x1,y1),N(x2,y2),則y12a2-x12b2=1,且y22a2-x22b2=1, 則(y1+y2)(y1-y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2, 即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2, 則y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1, 即b2=3a2,則c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3, 即該雙曲線的方程為y2-x23=1.故選B. 9.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線與直線x=a2c分別交于A,B兩點(diǎn),F為該雙曲線的右焦點(diǎn).若60<∠AFB<90,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A.(1,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,+∞) 答案B 解析雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程為y=bax, 當(dāng)x=a2c時(shí),y=abc, 所以不妨令A(yù)a2c,abc,Ba2c,-abc. 因?yàn)?0<∠AFB<90,所以330)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)A,B(A,B異于原點(diǎn)),拋物線的焦點(diǎn)為F.若雙曲線的離心率為2,|AF|=7,則p=(　　) A.3 B.6 C.12 D.42 答案B 解析因?yàn)殡p曲線的離心率為2, 所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2, 所以雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=3x,代入y2=2px(p>0), 得x=23p或x=0,故xA=xB=23p. 又因?yàn)閨AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6. 12.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1 答案A 解析如圖,取橢圓的左焦點(diǎn)F1,連接AF1,BF1. 由橢圓的對(duì)稱性知四邊形AF1BF是平行四邊形, 則|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2. 不妨設(shè)M(0,b),則|30-4b|32+(-4)2≥45,即b≥1. 所以e=ca=1-ba2≤1-122=32. 因?yàn)?0). 又直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,所以4a=4,即a=1. 所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0). 14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　　. 答案y=22x 解析拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2 =y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p. 所以y1+y2=p. 聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py, 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0. 所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12. 所以該雙曲線的漸近線方程為y=22x. 15.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,已知點(diǎn)C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A,若∠FAC=120,則圓的方程為　　　　　　　　　　　. 答案(x+1)2+(y-3)2=1 解析∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1, 由題意可設(shè)圓C的方程為(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),則C(-1,b),A(0,b). ∵∠FAC=120,∴kAF=tan120=-3,直線AF的方程為y=-3x+3. ∵點(diǎn)A在直線AF上,∴b=3. 則圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1. 16.若關(guān)于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲線C,給出下列四個(gè)命題: ①若C為橢圓,則14或t<1; ③曲線C不可能是圓; ④若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則10,t-1>0,且4-t≠t-1, 解得14或t<1,所以②正確; 若t=52時(shí),該曲線表示圓,所以③不正確; 若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則4-t>t-1>0, 解得10).設(shè)拋物線W的焦點(diǎn)在直線AB的下方. (1)求k的取值范圍; (2)設(shè)C為W上一點(diǎn),且AB⊥AC,過(guò)B,C兩點(diǎn)分別作W的切線,記兩切線的交點(diǎn)為D,判斷四邊形ABDC是否為梯形,并說(shuō)明理由. 解(1)拋物線y=x2的焦點(diǎn)為0,14. 由題意,得直線AB的方程為y-1=k(x-1), 令x=0,得y=1-k,即直線AB與y軸相交于點(diǎn)(0,1-k). 因?yàn)閽佄锞€W的焦點(diǎn)在直線AB的下方, 所以1-k>14,解得k<34. 因?yàn)閗>0,所以0b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),以原點(diǎn)O為圓心,OF為半徑的圓與橢圓在y軸右側(cè)交于A,B兩點(diǎn),且△AOB為正三角形. (1)求橢圓方程; (2)過(guò)圓外一點(diǎn)M(m,0)(m>a),作傾斜角為5π6的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),若點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍. 解(1)∵△AOB為正三角形,且A,B關(guān)于x軸對(duì)稱,OF=2, ∴OA=OF=2.∴yA=1,xA=3,即點(diǎn)A(3,1), ∴3a2+1b2=1,又∵c=2,解得a2=6,b2=2, 故橢圓方程為x26+y22=1. (2)易知直線l:y=-33(x-m)(m>6), 聯(lián)立x26+y22=1,y=-33(x-m)消去y得2x2-2mx+m2-6=0, 由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-230), ∴p2=2,解得p=4. ∴拋物線E的方程為y2=8x. (2)∵2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng),|BC|=2r, ∴|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8. ∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10. 討論: 若l垂直于x軸,則l的方程為x=2,代入y2=8x, 解得y=4. 此時(shí)|AD|=8,不滿足題意; 若l不垂直于x軸,則設(shè)l的斜率為k(k≠0),此時(shí)l的方程為y=k(x-2), 由y=k(x-2),y2=8x, 得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0. 設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2. ∵拋物線E的準(zhǔn)線方程為x=-2, ∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4, ∴4k2+8k2+4=10,解得k=2. 當(dāng)k=2時(shí),k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化為x2-6x+4=0. ∵(-6)2-414>0, ∴x2-6x+4=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根. ∴k=2滿足題意. ∴存在滿足要求的直線l:2x-y-4=0或2x+y-4=0. 22.(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),△EFA的面積為b22. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上,|FQ|=32c,延長(zhǎng)線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c. ①求直線FP的斜率; ②求橢圓的方程. 解(1)設(shè)橢圓的離心率為e. 由已知,可得12(c+a)c=b22. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因?yàn)?0), 則直線FP的斜率為1m. 由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1, 即x+2y-2c=0, 與直線FP的方程聯(lián)立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2, 即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2m-2)cm+2,3cm+2. 由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22, 整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34. ②由a=2c,可得b=3c, 故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1. 由①得直線FP的方程為3x-4y+3c=0, 與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y, 整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=-13c7(舍去)或x=c. 因此可得點(diǎn)Pc,3c2, 進(jìn)而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2, 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c. 由已知,線段PQ的長(zhǎng)即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP. 因?yàn)镼N⊥FP,所以|QN|=|FQ|tan∠QFN=3c234=9c8,所以△FQN的面積為12|FQ||QN|=27c232, 同理△FPM的面積等于75c232, 由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c, 整理得c2=2c,又由c>0,得c=2. 所以,橢圓的方程為x216+y212=1.