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考點規(guī)范練48　直線與圓錐曲線 一、基礎(chǔ)鞏固 1.(2018甘肅蘭州一診)雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點,則雙曲線的離心率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.54 B.5 C.54 D.5 答案D 解析不妨設(shè)x2a2-y2b2=1的漸近線y=bax與y=x2+1只有一個交點, 由y=bax,y=x2+1得ax2-bx+a=0, 所以Δ=b2-4a2=0, 即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故選D. 2.(2018山東煙臺期末)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(1,0)作x軸的垂線與雙曲線交于A,B兩點,O為坐標原點,若△AOB的面積為83,則雙曲線的漸近線方程為(　　) A.y=32x B.y=22x C.y=23x D.y=2x 答案B 解析由題意得|AB|=2b2a,∵S△AOB=83, ∴122b2a1=83,∴b2a=83. ① ∵a2+b2=1, ② 解①②得a=13,b=223, ∴雙曲線的漸近線方程為y=bax=22x.故選B. 3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y=2x2上的兩點,直線l是AB的垂直平分線.當直線l的斜率為12時,直線l在y軸上的截距的取值范圍是(　　) A.34,+∞ B.34,+∞ C.(2,+∞) D.(-∞,-1) 答案A 解析設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程為y=12x+b,過點A,B的直線可設(shè)為y=-2x+m, 聯(lián)立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0, 從而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-12. 又AB的中點-12,m+1在直線l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,將m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直線l在y軸上的截距的取值范圍是34,+∞. 4.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為3的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上,且MN⊥l,則M到直線NF的距離為(　　) A.5 B.22 C.23 D.33 答案C 解析由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3. 因為M在x軸的上方,所以M(3,23). 因為MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,23). 因為F(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1). 所以M到直線NF的距離為|3(3-1)+23|(-3)2+12=23. 5.斜率為1的直線l與橢圓x24+y2=1相交于A,B兩點,則|AB|的最大值為(　　) A.2 B.455 C.4105 D.8105 答案C 解析設(shè)A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t, 由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0. 則x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5. 所以|AB|=1+k2|x1-x2| =1+k2(x1+x2)2-4x1x2 =2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2, 當t=0時,|AB|max=4105. 6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一點到雙曲線的左、右焦點的距離之差為4,若拋物線y=ax2上的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對稱,且x1x2=-12,則m的值為 (　　) A.32 B.52 C.2 D.3 答案A 解析由雙曲線的定義知2a=4,得a=2, 所以拋物線的方程為y=2x2. 因為點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=2x2上, 所以y1=2x12,y2=2x22, 兩式相減得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2), 不妨設(shè)x1b>0)的左焦點F(-2,0),上頂點B(0,2). (1)求橢圓C的方程; (2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點M,N,且線段MN的中點G在圓x2+y2=1上,求m的值. 解(1)由題意可得,c=2,b=2, 由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22. 故橢圓C的方程為x28+y24=1. (2)設(shè)點M,N的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),線段MN的中點G(x0,y0), 由y=x+m,x28+y24=1消y,得3x2+4mx+2m2-8=0, 則Δ=96-8m2>0,所以-230)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H. (1)求|OH||ON|; (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由. 解(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t. 又N為M關(guān)于點P的對稱點, 故Nt2p,t,ON的方程為y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t. 所以N為OH的中點,即|OH||ON|=2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點. 理由如下: 直線MH的方程為y-t=p2tx,即x=2tp(y-t). 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個公共點, 所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點. 10.(2018福建廈門第一次質(zhì)檢)設(shè)O為坐標原點,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為255.直線l:y=kx+m(m>0)與C交于A,B兩點,AF的中點為M,|OM|+|MF|=5. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)點P(0,1),PAPB=-4,求證:直線l過定點,并求出定點的坐標. 解(1)設(shè)橢圓的右焦點為F1,則OM為△AFF1的中位線. ∴OM=12AF1,MF=12AF, ∴|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5, ∵e=ca=255,∴c=25,∴b=5, ∴橢圓C的方程為x225+y25=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 聯(lián)立y=kx+m,x225+y25=1消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0. ∴Δ>0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2, ∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2, y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2, ∵P(0,1),PAPB=-4, ∴(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4, ∴5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0, 整理得3m2-m-10=0, 解得m=2或m=-53(舍去). ∴直線l過定點(0,2). 二、能力提升 11.(2018天津,文7)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為(　　) A.x23-y29=1 B.x29-y23=1 C.x24-y212=1 D.x212-y24=1 答案A 解析由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=bax. 如圖,|AD|=d1,|BC|=d2,過點F作FE⊥CD于點E. 由題易知EF為梯形ABCD的中位線, 所以|EF|=12(d1+d2)=3. 又因為點F(c,0)到直線y=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b, 所以b=3,b2=9. 因為e=ca=2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以雙曲線方程為x23-y29=1.故選A. 12.設(shè)雙曲線x2-y23=1的左、右焦點分別為F1,F2.若點P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是　　　　　　　　. 答案(27,8) 解析由題意,知a=1,b=3,c=2,則e=ca=2. 設(shè)P(x,y)是雙曲線上任一點,由雙曲線的對稱性不妨設(shè)P在右支上,由△F1PF2為銳角三角形,可知1|F1F2|2, 即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72, 所以720,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交C于點P.若點P的橫坐標縮為2a,則C的離心率為　　　　　　　　. 答案2+3 解析不妨設(shè)過右焦點與漸近線平行的直線為y=ba(x-c),與C交于P(x0,y0). ∵x0=2a,∴y0=ba(2a-c). 又P(x0,y0)在雙曲線C上,∴(2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1. ∴整理得a2-4ac+c2=0,設(shè)雙曲線C的離心率為e, 故1-4e+e2=0. ∴e1=2-3(舍去),e2=2+3. 即雙曲線C的離心率為2+3. 14.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點. (1)求k的取值范圍; (2)若OMON=12,其中O為坐標原點,求|MN|. 解(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1. 因為l與C交于兩點,所以|2k-3+1|1+k2<1. 解得4-73b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,右焦點F的坐標為(3,0),點P坐標為(-2,2),且直線PA1⊥x軸,過點P作直線與橢圓E交于A,B兩點(A,B在第一象限且點A在點B的上方),直線OP與AA2交于點Q,連接QA1. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)直線QA1的斜率為k1,直線A1B的斜率為k2,問:k1k2的斜率乘積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由. 解(1)由題意可知a=2,c=3,所以b=1. 所以橢圓的方程為x24+y2=1. (2)是定值,定值為-14. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因為直線AB過點P(-2,2), 設(shè)直線AB的方程為x=my-2m-2, 聯(lián)立x2+4y2=4,x=my-2m-2?(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0, 所以y1+y2=4m2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4, 因為點Q在直線OP上,所以可設(shè)Q(-t,t). 又Q在直線AA2上,所以t-t-2=y1x1-2?t=-2y1x1+y1-2, 所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2 =-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2) =-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2) =-y1y2(m2+2m)[y1y2-2(y1+y2)+4] =-14.