《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質(zhì)學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

專題突破二　焦點弦的性質(zhì) 拋物線的焦點弦是考試的熱點，有關(guān)拋物線的焦點弦性質(zhì)較為豐富，對拋物線焦點弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化． 一、焦點弦性質(zhì)的推導(dǎo) 例1　拋物線y2＝2px(p>0)，設(shè)AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1. 證明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝，|BF|＝； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦； (4)＋＝為定值； (5)S△OAB＝(θ為直線AB的傾斜角)； (6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 證明　(1)①當(dāng)AB⊥x軸時， 不妨設(shè)A，B， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. ②當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)為k(k≠0)， 則直線AB的方程為y＝k， 代入拋物線方程y2＝2px， 消元得y2＝2p， 即y2－－p2＝0， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)當(dāng)θ≠90時，過A作AG⊥x軸，交x軸于G， 由拋物線定義知|AF|＝|AA1|， 在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ， 由圖知|GG1|＝|AA1|， 則p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝， 同理得|BF|＝； 當(dāng)θ＝90時，可知|AF|＝|BF|＝p， 對于|AF|＝，|BF|＝亦成立， ∴|AF|＝，|BF|＝. (3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p ＝＋＝≥2p， 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90時取等號． 故通徑長2p為最短的焦點弦長． (4)由(2)可得， ＋＝＋＝. (5)當(dāng)θ＝90時，S△OAB＝2p＝， 故滿足S△OAB＝； 當(dāng)θ≠90時，設(shè)直線AB：y＝tanθ， 原點O到直線AB的距離 d＝＝sinθ， S△OAB＝|AB|＝sinθ＝. (6)如圖：⊙M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于M1， 則|MM1|＝＝＝， 故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切． 二、焦點弦性質(zhì)的應(yīng)用 例2　(1)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的面積為(　　) A.B.C.D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　D 解析　方法一　由題意可知，直線AB的方程為 y＝， 代入拋物線的方程可得4y2－12y－9＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝3，y1y2＝－， 故所求三角形的面積為 ＝. 方法二　運用焦點弦傾斜角相關(guān)的面積公式， 則S△OAB＝＝＝. (2)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A．16B．14C．12D．10 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　A 解析　方法一　拋物線C：y2＝4x的焦點為F(1,0)， 由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0. 不妨設(shè)直線l1的斜率為k， l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)， 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝＝2＋， 由拋物線的定義可知， |AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝k2，即k＝1時取等號， 故|AB|＋|DE|的最小值為16. 方法二　運用焦點弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直， 因此|AB|＋|DE|＝＋ ＝＋＝＝≥16. 點評　上述兩道題目均是研究拋物線的焦點弦問題，涉及拋物線焦點弦長度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點弦性質(zhì)，可以快速解決此類小題． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A.B.C.D．2 考點　 題點　 答案　C 解析　方法一　設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AF|＝3及拋物線定義可得， x1＋1＝3，∴x1＝2， ∴取A點坐標(biāo)為(2,2)， 則直線AB的斜率k＝＝2， ∴直線AB的方程為y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0， 則點O到該直線的距離d＝. 由消去y得， 2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝， ∴|BF|＝x2＋1＝， ∴|AB|＝3＋＝， ∴S△AOB＝|AB|d＝＝. 方法二　設(shè)直線的傾斜角為θ，不妨設(shè)0<θ<， |AF|＝＝＝3， ∴cosθ＝， S△AOB＝＝＝. (2)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　 解析　方法一　設(shè)直線的傾斜角為θ，不妨設(shè)0<θ<， ∵|AB|＝＝＝， ∴sin2θ＝， 則cos θ＝＝， 又|AF|<|BF|，∴|AF|＝＝＝. 方法二　由于y2＝2x的焦點坐標(biāo)為，由題干知A，B所在直線的斜率存在，設(shè)A，B所在直線的方程為y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦點F作一直線交拋物線于P，Q兩點，若PF與FQ的長分別為p，q，則＋等于(　　) A.B.C．2aD．4a 考點　 題點　 答案　B 解析　可采用特殊值法，設(shè)PQ過焦點F且垂直于x軸，則|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝. 3．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點，且|AF|>|BF|，則的值為(　　) A．3B．2C.D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　A 解析　由拋物線的性質(zhì)可知， |AF|＝，|BF|＝， ∴＝＝3. 4．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過焦點F的直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y＋y的最小值為(　　) A．4B．6C．8D．10 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　C 解析　由焦點弦的性質(zhì)知， y1y2＝－4，即|y1||y2|＝4， 則y＋y≥2|y1||y2|＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝|y2|＝2時，取等號． 故y＋y的最小值為8. 5.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，則p的值為(　　) A. B．2 C. D. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　C 解析　設(shè)直線l的傾斜角為θ， 由焦點弦的性質(zhì)知，|BF|＝，|AF|＝， ∴解得 6.已知拋物線y2＝4x，圓F：(x－1)2＋y2＝1，過點F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB||CD|的值的說法中，正確的是(　　) A．等于1 B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　A 解析　設(shè)直線l：x＝ty＋1， 代入拋物線方程，得y2－4ty－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)， 根據(jù)拋物線的定義知， |AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1， 故|AB|＝x1，|CD|＝x2， 所以|AB||CD|＝x1x2＝＝， 而y1y2＝－4，故|AB||CD|＝1. 7．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為(　　) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1) C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1) 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其它問題 答案　C 解析　當(dāng)cosθ>0時，|AF|＝， |BF|＝， ∵|AF|＝3|BF|，∴＝， ∴cosθ＝，則tanθ＝， ∴l(xiāng)的方程為y＝(x－1)， 當(dāng)cosθ<0時，|AF|＝，|BF|＝， ∵|AF|＝3|BF|，∴＝， ∴cosθ＝－，則tanθ＝－， ∴l(xiāng)的方程為y＝－(x－1)， 則l的方程為y＝(x－1)或y＝－(x－1)． 8．設(shè)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點．連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程． 解　(1)設(shè)拋物線的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1＋y2＋p＝8， 又AB的中點到x軸的距離為3， ∴y1＋y2＝6，∴p＝2， ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝4y. (2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 由消去y得x2－4kx－24＝0， ∴(*) 易知拋物線在點P處的切線方程為 y－＝(x－x3)， 令y＝－1，得x＝，∴R， 又Q，F(xiàn)，R三點共線，∴kQF＝kFR，又F(0,1)， ∴＝， 即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0， 整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0， 將(*)式代入上式得k2＝，∴k＝， ∴直線m的方程為y＝x＋6.