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12＋4分項(xiàng)練6　數(shù)　列 1．(2018煙臺(tái)模擬)已知{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為(　　) A．3n＋1 B．3n－1 C. D. 答案　C 解析　∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1， ∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1， 又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列， ∴數(shù)列{an}的公比q＝3，且an≠0， ∴bn＋1－bn＝＝3， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋3＝. 2．(2018大連模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　) A．27 B．31 C．63 D．75 答案　C 解析　由題意得S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列， 所以3,12，S6－15成等比數(shù)列， 所以122＝3(S6－15)，解得S6＝63. 3．(2018河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)模擬)設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a10等于(　　) A．15 B．19 C．21 D．30 答案　B 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)镾3＝a，所以3a2＝a， 解得a2＝0或a2＝3， 又因?yàn)镾1，S2，S4構(gòu)成等比數(shù)列， 所以S＝S1S4， 所以(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)， 若a2＝0，則d2＝－2d2， 此時(shí)d＝0，不符合題意，舍去， 當(dāng)a2＝3時(shí)，可得(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝2(d＝0舍去)， 所以a10＝a2＋8d＝3＋82＝19. 4．在等差數(shù)列{an}中，若<－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，則當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最小值為(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 答案　C 解析　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和Sn有最小值， ∴d>0，a1<0，{an}為遞增數(shù)列． ∵<－1， ∴a8a9<0，a8＋a9>0， 由等差數(shù)列的性質(zhì)知，2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0. ∵Sn＝， ∴當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最小值為16. 5．(2018三明質(zhì)檢)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an－2，則S8等于(　　) A．255 B．256 C．510 D．511 答案　C 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1－2，據(jù)此可得a1＝2， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2， 兩式作差可得an＝2an－2an－1，則an＝2an－1， 據(jù)此可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 其前8項(xiàng)和為S8＝＝29－2＝512－2＝510. 6．已知數(shù)列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2(－1)n，n∈N*，則S2 017的值為(　　) A．2 0161 010－1 B．1 0092 017 C．2 0171 010－1 D．1 0092 016 答案　C 解析　由遞推公式，可得 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋2－an＝4，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋2－an＝0，數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列， S2 017＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 016) ＝1 009＋1 0091 0084＋1 0082 ＝2 0171 010－1. 7．(2018南充質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a56等于(　　) A．－ B．0 C. D. 答案　A 解析　因?yàn)閍n＋1＝(n∈N*)， 所以a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，a6＝，…， 故此數(shù)列的周期為3. 所以a56＝a183＋2＝a2＝－. 8．《張丘建算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問(wèn)題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個(gè)圈．頭節(jié)高五寸①，頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③，逐圈少分三④.一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)？”(注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長(zhǎng)為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長(zhǎng)比其下面的一圈少0.013尺)問(wèn)：此民謠提出的問(wèn)題的答案是(　　) A．72.705尺 B．61.395尺 C．61.905尺 D．73.995尺 答案　B 解析　因?yàn)槊恐窆?jié)間的長(zhǎng)相差0.03尺， 設(shè)從地面往上，每節(jié)竹長(zhǎng)為a1，a2，a3，…，a30， 所以{an}是以a1＝0.5為首項(xiàng)，以d1＝0.03為公差的等差數(shù)列， 由題意知竹節(jié)圈長(zhǎng)，上一圈比下一圈少0.013尺， 設(shè)從地面往上，每節(jié)圈長(zhǎng)為b1，b2，b3，…，b30， 由{bn}是以b1＝1.3為首項(xiàng)，d＝－0.013為公差的等差數(shù)列， 所以一螞蟻往上爬，遇圈則繞圈，爬到竹子頂，行程是 S30＝＋＝61.395. 9．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若S2＋a2＝S3－3，則a4＋3a2的最小值為(　　) A．12 B．9 C．6 D．18 答案　D 解析　因?yàn)镾3－S2＝a3， 所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3， 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1＝， 由于{an}的各項(xiàng)為正數(shù)，所以q>1. a4＋3a2＝a1q3＋3a1q ＝a1q(q2＋3)＝q(q2＋3) ＝＝3≥18， 當(dāng)且僅當(dāng)q－1＝2， 即q＝3時(shí)，a4＋3a2取得最小值18. 10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n(n∈N*)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n－1，記它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列為{cn}，令xn＝，則的取值范圍為(　　) A．[1,2) B．(1，e) C. D. 答案　C 解析　由題意知，{an}，{bn}的共同項(xiàng)為2,8,32,128，…，故cn＝22n－1. 由xn＝， 得＝1＋， ＝…. 令Fn＝， 則當(dāng)n≥2時(shí)，＝>1， 故數(shù)列{Fn}是遞增數(shù)列， ∴≥. ∵當(dāng)x>0時(shí)，ln(1＋x)2 018的最小整數(shù)，則n0的值為(　　) A．305 B．306 C．315 D．316 答案　D 解析　由題意，an＝， 當(dāng)n＝1時(shí)，可得a1＝0，(1項(xiàng)) 當(dāng)21≤n<22時(shí)，可得a2＝a3＝1，(2項(xiàng)) 當(dāng)22≤n<23時(shí)，可得a4＝a5＝…＝a7＝2，(4項(xiàng)) 當(dāng)23≤n<24時(shí)，可得a8＝a9＝…＝a15＝3，(8項(xiàng)) 當(dāng)24≤n<25時(shí)，可得a16＝a17＝…＝a31＝4，(16項(xiàng)) ……， 當(dāng)2k≤n<2k＋1時(shí)， 可得a2k＝a2k＋1＝…＝a2k＋1－1＝k，(2k項(xiàng)) 當(dāng)2k≤n<2k＋1時(shí)， 前n項(xiàng)和Sn＝121＋222＋…＋k2k， 2Sn＝122＋223＋…＋k2k＋1， 所以－Sn＝2＋22＋23＋…＋2k－k2k＋1， 所以Sn＝(k－1)2k＋1＋2. 由Sn>2 018，得k≥8. 當(dāng)k＝7時(shí)，Sn＝1 538<2 018； 當(dāng)k＝8時(shí)，Sn＝3 586>2 018， 所以取k＝7，且2 018－1 538＝480， 所以n0＝＋＋1＝316. 13．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋r，則a3－r＝________，數(shù)列的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝________. 答案　19　4 解析　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式具有的特征為 Sn＝aqn－a，據(jù)此可知，r＝－1， 則Sn＝3n－1，a3＝S3－S2＝－＝18， a3－r＝19. 令bn＝nn，且bn>0， 則＝， 由＝>1可得n2<10， 由＝<1可得n2>10， 據(jù)此可得，數(shù)列中的項(xiàng)滿足b1b5>b6>b7>b8>…，則k＝4. 14．(2018上饒模擬)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是1，公比為3，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)是－5，公差為1，把{bn}中的各項(xiàng)按如下規(guī)則依次插入到{an}的每相鄰兩項(xiàng)之間，構(gòu)成新數(shù)列：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在an和an＋1兩項(xiàng)之間依次插入{bn}中n個(gè)項(xiàng)，則c2 018＝________.(用數(shù)字作答) 答案　1 949 解析　由題意可得，an＝3n－1， bn＝－5＋(n－1)1＝n－6， 由題意可得，數(shù)列{cn}中的項(xiàng)為30，－5,31，－4，－3,32，－2，－1,0,33，…，3n時(shí)， 數(shù)列{cn}的項(xiàng)數(shù)為1＋2＋…＋n＋(n＋1)＝， 當(dāng)n＝62時(shí)，＝2 016，即此時(shí)共有2 016項(xiàng)，且第2 016項(xiàng)為362， ∴c2 018＝b1 955＝1 955－6＝1 949. 15．(2018大連模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，a2＝2，a3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n，則S60＝________.(用數(shù)字作答) 答案　264 解析　因?yàn)閍3n＝2n－2an，a3n＋1＝an＋1，a3n＋2＝an－n， 所以a3n＋a3n＋1＋a3n＋2＝n＋1， 因此(a3＋a4＋a5)＋(a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59)＝2＋3＋…＋20＝209， 因?yàn)閍3n＝2n－2an，a3n＋2＝an－n， 所以a60＝a320＝220－2a20，a20＝a36＋2＝a6－6， a6＝a32＝22－2a2＝0， 所以a20＝－6，a60＝52， 綜上，S60＝1＋2＋209＋52＝264. 16．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)，則＋＋…＋的整數(shù)部分是________． 答案　2 解析　因?yàn)閍1＝，an＋1＝a－an＋1(n∈N*)， 所以an＋1－an＝(an－1)2>0， 所以an＋1>an，數(shù)列{an}單調(diào)遞增， 所以an＋1－1＝an(an－1)>0， 所以＝＝－， 所以＝－， 所以Sn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－， 所以m＝S2 017＝3－， 因?yàn)閍1＝，所以a2＝2－＋1＝， a3＝2－＋1＝， a4＝2－＋1>2，…， 所以a2 018>a2 017>a2 016>…>a4>2， 所以a2 018－1>1，所以0<<1， 所以2<3－<3， 因此m的整數(shù)部分是2.