(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第三節(jié) 橢圓講義(含解析).doc
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第三節(jié) 橢圓 突破點(diǎn)一 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù). (1)若a>c,則集合P為橢圓. (2)若a=c,則集合P為線段. (3)若a<c,則集合P為空集. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1(a>b>0),焦點(diǎn)為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2-b2. (2)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1(a>b>0),焦點(diǎn)為F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c),其中c2=a2-b2. 一、判斷題(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“”) (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.( ) (2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲線是橢圓.( ) (3)+=1(a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.( ) 答案:(1) (2)√ (3) 二、填空題 1.已知△ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓+y2=1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長(zhǎng)是________. 答案:4 2.如果方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案:(-6,-2)∪(3,+∞) 3.已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________. 答案:+=1 考法一 橢圓的定義及應(yīng)用 [例1] (1)(2019衡水調(diào)研)已知A(-1,0),B是圓F:x2-2x+y2-11=0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為( ) A.+=1 B.-=1 C.-=1 D.+=1 (2)(2019齊齊哈爾八中模擬)如圖,橢圓+=1(a>2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn),若∠F1PF2=60,那么△PF1F2的面積為( ) A. B. C. D. [解析] (1)由題意得|PA|=|PB|,∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=2>|AF|=2, ∴點(diǎn)P的軌跡是以A,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓,且a=,c=1,∴b=, ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+=1,故選D. (2)設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則cos 60===,化簡(jiǎn)得,3mn=4(a2-c2)=4b2,∵b2=4,∴mn=,∴S△PF1F2=mnsin 60=.故選D. [答案] (1)D (2)D [方法技巧] 橢圓焦點(diǎn)三角形中的常用結(jié)論 以橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的 △PF1F2中,若∠F1PF2=θ,則 (1)|PF1|+|PF2|=2a. (2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. (3) S△PF1F2=|PF1||PF2|sin θ,當(dāng)|y0|=b,即P為短軸端點(diǎn)時(shí),S△PF1F2取最大值為bc. (4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c). 考法二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 [例2] (1)如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(xiàn)(-2,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF|且|PF|=4,則橢圓C的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 (2)(2019武漢調(diào)研)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓方程為_(kāi)___________. [解析] (1)設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn),連接PF′,在△POF中,由余弦定理,得cos∠POF==,則|PF′|==8,由橢圓定義,知2a=4+8=12,所以a=6,又c=2,所以b2=16. 故橢圓C的方程為+=1. (2)∵橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上, ∴可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0), ∵P(2,)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列, ∴又a2=b2+c2,∴a=2,b=,c=, ∴橢圓方程為+=1. [答案] (1)C (2)+=1 [方法技巧] 待定系數(shù)法求橢圓方程的思路 1.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:選B 由題意可得=,2a=6,解得a=3,c=1,則b==, 所以橢圓C的方程為+=1.故選B. 2.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率為,且橢圓G上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:選A 依題意設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0),∵橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12,∴2a=12,∴a=6,∵橢圓的離心率為,∴e== =,即=,解得b2=9,∴橢圓G的方程為+=1,故選A. 3.P為橢圓+=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)作PH⊥F1F2于點(diǎn)H,若PF1⊥PF2,則|PH|=( ) A. B. C.8 D. 解析:選D 由橢圓+=1得a2=25,b2=9, 則c===4, ∴|F1F2|=2c=8. 由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=10, ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=82. ∴2|PF1||PF2| =(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2) =100-64=36, ∴|PF1||PF2|=18. 又S△PF1F2=|PF1||PF2|=|F1F2||PH|, ∴|PH|==.故選D. 突破點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心:(0,0) 頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 離心率 e=,且e∈(0,1) a,b,c的關(guān)系 c2=a2-b2 一、判斷題(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“”) (1)橢圓+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于a.( ) (2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a-c.( ) (3)橢圓的離心率e越小,橢圓越圓.( ) 答案:(1) (2)√ (3)√ 二、填空題 1.若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1的離心率為,則m的值為_(kāi)_______. 答案: 2.橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13),另一個(gè)頂點(diǎn)是(-10,0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______. 答案:(0,) 3.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且過(guò)P(-5,4),則橢圓的方程為_(kāi)_______. 答案:+=1 考法一 橢圓的離心率 橢圓的離心率是一個(gè)重要的基本量,在橢圓中有著極其特殊的作用,也是高考常考的知識(shí)點(diǎn),主要考查兩類(lèi)問(wèn)題:一是求橢圓的離心率;二是求橢圓離心率的取值范圍. [例1] (1)(2018全國(guó)卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120,則C的離心率為( ) A. B. C. D. (2)(2019江西臨川二中、新余四中聯(lián)考)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B上下兩點(diǎn),若△ABF2是銳角三角形,則該橢圓的離心率e的取值范圍是( ) A.(0,-1) B.(-1,1) C.(0,-1) D.(-1,1) [解析] (1)如圖,作PB⊥x軸于點(diǎn)B.由題意可設(shè)|F1F2|=|PF2|=2,則c=1.由∠F1F2P=120,可得|PB|=,|BF2|=1,故|AB|=a+1+1=a+2,tan ∠PAB===,解得a=4,所以e==. (2)∵F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B上下兩點(diǎn),∴F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A,B,∵△ABF2是銳角三角形,∴∠AF2F1<45,∴tan∠AF2F1<1,∴<1,整理得b2<2ac,∴a2-c2<2ac,兩邊同時(shí)除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1(舍去),∵0<e<1,∴橢圓的離心率e的取值范圍是(-1,1),故選B. [答案] (1)D (2)B [方法技巧] 1.求橢圓離心率的3種方法 (1)直接求出a,c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列方程組,解出a,c的值. (2)構(gòu)造a,c的齊次式,解出e.由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解. (3)通過(guò)取特殊值或特殊位置,求出離心率. [提醒] 在解關(guān)于離心率e的二次方程時(shí),要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進(jìn)行根的取舍,否則將產(chǎn)生增根. 2.求橢圓離心率范圍的2種方法 方法 解讀 適合題型 幾何法 利用橢圓的幾何性質(zhì),設(shè)P(x0,y0)為橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),則|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等關(guān)系,或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系 題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系 直接法 根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系,直接轉(zhuǎn)化為含有a,b,c的不等關(guān)系式 題設(shè)條件直接有不等關(guān)系 考法二 與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值范圍問(wèn)題 [例2] (1)(2017全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0, ]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, ]∪[4,+∞) (2)(2019合肥質(zhì)檢)如圖,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1的離心率e=,F(xiàn),A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),則的最大值為_(kāi)_______. [解析] (1)當(dāng)0<m<3時(shí),焦點(diǎn)在x軸上, 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120, 則≥tan 60=,即≥, 解得0<m≤1. 當(dāng)m>3時(shí),焦點(diǎn)在y軸上, 要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120, 則≥tan 60=,即≥,解得m≥9. 故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞). (2)由題意知a=2, 因?yàn)閑==, 所以c=1,b2=a2-c2=3. 故橢圓方程為+=1. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0). 所以-2≤x0≤2,-≤y0≤. 因?yàn)镕(-1,0),A(2,0), =(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0), 所以=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2. 則當(dāng)x0=-2時(shí),取得最大值4. [答案] (1)A (2)4 [方法技巧] 與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法 (1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義,尤其是橢圓的性質(zhì),求最值或取值范圍. (2)利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍. (3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍. (4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍. [提醒] 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí),要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系. 1.已知橢圓+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M,上頂點(diǎn)為N,右焦點(diǎn)為F,若=0,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 解析:選D 由題意知,M(-a,0),N(0,b),F(xiàn)(c,0),∴=(-a,-b),=(c,-b).∵=0,∴-ac+b2=0,即b2=ac.又b2=a2-c2,∴a2-c2=ac.∴e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去).∴橢圓的離心率為,故選D. 2.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線C1:x2-=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn),點(diǎn)A是C1,C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),若|F1F2|=|F1A|,則C2的離心率是( ) A. B. C. D. 解析:選C 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a.由題意可知,|F1F2|=|F1A|=6,∵|F1A|-|F2A|=2,∴|F2A|=4,∴|F1A|+|F2A|=10,∴2a=10,∴C2的離心率是=.故選C. 3.已知橢圓C:+y2=1的兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(x0,y0)滿足0<+y<1,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是________. 解析:由點(diǎn)P(x0,y0)滿足0<+y<1,可知P(x0,y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn)),因?yàn)閍=,b=1,所以由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|<2a=2,當(dāng)P(x0,y0)與F1或F2重合時(shí),|PF1|+|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|的取值范圍是[2,2). 答案:[2,2)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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