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附加題滿分練1
1.如圖，過點P作圓O的切線PC，切點為C，過點P的直線與圓O交于點A，B(PA
0，y>0，z>0，證明：≥.
證明 因為x>0，y>0，z>0，
所以≥，≥，
所以≥.
當且僅當x∶y∶z＝1∶2∶3時，等號成立.
5.已知點A(1,2)在拋物線F：y2＝2px上.
(1)若△ABC的三個頂點都在拋物線F上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3, 求－＋的值；
(2)若四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線F上，記四邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，k4，求－＋－的值.
解 (1)由點A(1,2)在拋物線F上，得p＝2，
∴拋物線F：y2＝4x，
設B，C，
∴－＋＝－＋＝－＋＝1.
(2)另設D，則－＋－＝－＋－＝0.
6.已知fn(x)＝Cxn－C(x－1)n＋…＋(－1)kC(x－k)n＋…＋(－1)nC(x－n)n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n.
(1)試求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；
(2)試猜測fn(x)關于n的表達式，并證明你的結論.
解 (1)f1(x)＝Cx－C(x－1)＝1，
f2(x)＝Cx2－C(x－1)2＋C(x－2)2＝x2－2(x－1)2＋(x－2)2＝2，
f3(x)＝Cx3－C(x－1)3＋C(x－2)3－C(x－3)3＝x3－3(x－1)3＋3(x－2)3－(x－3)3＝6.
(2)猜測fn(x)＝n！，n∈N*.
以下用數學歸納法證明.
①當n＝1時，f1(x)＝1，等式成立.
②假設當n＝m(m≥1，m∈N*)時，等式成立，即
fm(x)＝(－1)kC(x－k)m＝m！.
當n＝m＋1時，則fm＋1(x)＝(－1)kC(x－k)m＋1.
因為C＝C＋C，kC＝(m＋1)C，其中k＝1,2，…，m，
且C＝C，C＝C，
所以fm＋1(x)＝(－1)kC(x－k)m＋1
＝x(－1)kC(x－k)m－(－1)kkC(x－k)m
＝x(－1)kC(x－k)m＋x(－1)kC(x－k)m－(m＋1)(－1)kC(x－k)m
＝xm?。?－x＋m＋1)(－1)kC[(x－1)－k]m
＝xm！＋(－x＋m＋1)m!
＝(m＋1)m?。?m＋1)！.
即當n＝m＋1時，等式也成立.
由①②可知，對n∈N*，均有fn(x)＝n！.
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