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第四節(jié)　雙曲線 突破點一　雙曲線的定義和標準方程 1．雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. (1)當2a＜|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線； (2)當2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線； (3)當2a＞|F1F2|時，P點不存在． 2．標準方程 (1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)； (2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線．(　　) (2)在雙曲線標準方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(　　) (3)雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是a＞b.(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 二、填空題 1．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． 答案：44 2．經(jīng)過點P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是________． 答案：－＝1 3．已知定點A，B且|AB|＝4，動點P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為________． 答案： 考法一　雙曲線的定義及應用　 (1)在解決與雙曲線的焦點有關的問題時，通常考慮利用雙曲線的定義解題； (2)在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的“差的絕對值”，弄清是整個雙曲線還是雙曲線的某一支． [例1]　(1)(2019寧夏育才中學月考)設P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．17 C．1或17 D．以上均不對 (2)已知點P在曲線C1：－＝1上，點Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 [解析]　(1)根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?PF2＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故選B. (2)由題意可知C3，C2的圓心分別是雙曲線C1：－＝1的左、右焦點，點P在雙曲線的左支上，則|PC2|－|PC3|＝8. |PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1， 所以|PQ|－|PR|的最大值為(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故選C. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 雙曲線定義的主要應用方面 (1)判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程． (2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1||PF2|的聯(lián)系．　　 考法二　雙曲線的標準方程　 待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型 類型一 與雙曲線－＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0) 類型二 若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x或y＝－x，則可設雙曲線方程為－＝λ(λ≠0) 類型三 與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線方程可設為－＝1(－b2＜k＜a2) 類型四 過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設為－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0) 類型五 與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有共同焦點的雙曲線方程可設為－＝1(b2＜λ＜a2) [例2]　(2018天津高考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析]　法一：如圖，不妨設A在B的上方，則A，B. 又雙曲線的一條漸近線為bx－ay＝0， 則d1＋d2＝＝＝2b ＝6，所以b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝. 所以雙曲線的方程為－＝1. 法二：由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b＝3.因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C. [答案]　C [方法技巧] 求雙曲線方程的思路 (1)如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在x軸上或y軸上，則設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標準方程(求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)當焦點位置不確定時，有兩種方法來解決： 一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設雙曲線的一般方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．　　 1.虛軸長為2，離心率e＝3的雙曲線的兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線的一支于A，B兩點，且|AB|＝8，則△ABF2的周長為(　　) A．3 B．16＋ C．12＋ D．24 解析：選B　∵2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a， ∴9a2＝a2＋1，∴a＝. 由雙曲線的定義知：|AF2|－|AF1|＝2a＝， ① |BF2|－|BF1|＝， ② ①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8， ∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，則△ABF2的周長為16＋，故選B. 2.設k＞1，則關于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是(　　) A．長軸在x軸上的橢圓 B．長軸在y軸上的橢圓 C．實軸在x軸上的雙曲線 D．實軸在y軸上的雙曲線 解析：選D　∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是實軸在y軸上的雙曲線，故選D. 3.已知雙曲線過點(2,3)，漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的標準方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1 解析：選C　法一：當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線的標準方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得解得所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1；當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線的標準方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得無解．故該雙曲線的標準方程為x2－＝1，選C. 法二：當其中的一條漸近線方程y＝x中的x＝2時，y＝2＞3，又點(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由題意得解得所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C. 法三：因為雙曲線的漸近線方程為y＝x，即＝x，所以可設雙曲線的方程是x2－＝λ(λ≠0)，將點(2,3)代入，得λ＝1，所以該雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選C. 突破點二　雙曲線的幾何性質(zhì) 標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0) 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的關系 c2＝a2＋b2 實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)雙曲線方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即＝0.(　　) (2)等軸雙曲線的離心率等于，且漸近線互相垂直．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 二、填空題 1．雙曲線－＝1的漸近線方程為________． 答案：3x4y＝0 2．若雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點坐標是(3,0)，則k＝________. 答案：1 3．雙曲線的漸近線方程為y＝x，則離心率為________． 答案：或 考法一　漸近線問題　 [例1]　(1)(2018全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝x　 　　　　 　B．y＝x C．y＝x D．y＝x (2)(2019鄭州一中入學測試)已知拋物線x2＝8y與雙曲線－x2＝1(a＞0)的一個交點為M，F(xiàn)為拋物線的焦點，若|MF|＝5，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．5x3y＝0 B．3x5y＝0 C．4x5y＝0 D．5x4y＝0 [解析]　(1)∵e＝＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.∴漸近線方程為y＝x. (2)設點M(x0，y0)，則有|MF|＝y(tǒng)0＋2＝5，所以y0＝3，x＝24， 由點M(x0，y0)在雙曲線－x2＝1上，得－x＝1， 即－24＝1，解得a2＝， 所以雙曲線－x2＝1的漸近線方程為－x2＝0，即3x5y＝0，選B. [答案]　(1)A　(2)B [方法技巧] 求雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝x；或令－＝0，得y＝x.反之，已知漸近線方程為y＝x，可設雙曲線方程為－＝λ(a＞0，b＞0)．　　 考法二　離心率問題　 [例2]　(1)(2018全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B．2 C. D. (2)(2018長春二測)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2] D. [解析]　(1)不妨設一條漸近線的方程為y＝x， 則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b. 在Rt△F2PO中，|F2O|＝c， 所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a， 又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中， 根據(jù)余弦定理得 cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－， 即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝. (2)由雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由雙曲線上的點到焦點的最短距離為c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又雙曲線的離心率e＞1，故該雙曲線離心率的取值范圍為，故選B. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 求雙曲線離心率或其范圍的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．　　 1.已知雙曲線－＝1(m＞0)的一個焦點在直線x＋y＝5上，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：選B　由于雙曲線－＝1(m＞0)的焦點在y軸上，且在直線x＋y＝5上，直線x＋y＝5與y軸的交點為(0,5)，所以c＝5，m＋9＝25，則m＝16，則雙曲線的方程為－＝1，則雙曲線的漸近線方程為y＝x.故選B. 2.若a＞1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) 解析：選C　由題意得雙曲線的離心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜. 3.(2018全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　∵e＝＝ ＝，∴＝1.∴雙曲線的漸近線方程為xy＝0. ∴點(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 4.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1，F(xiàn)2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 解析：選A　如圖，不妨設F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立得解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2＜c2，化簡得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又雙曲線的離心率e＝＞1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)．故選A .