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專題十三 二項式定理 【母題原題1】【2018浙江，14】二項式的展開式的常數(shù)項是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根據(jù)二項式展開式的通項公式寫出第r+1項，再根據(jù)項的次數(shù)為零解得r，代入即得結果. 詳解：二項式的展開式的通項公式為, 令得，故所求的常數(shù)項為 點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略： (1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可. (2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)的值，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出特定項的系數(shù). 【母題原題2】【2017浙江，13】已知多項式 2=，則=________________， =________. 【答案】 16 4 【命題意圖】考查二項式定理的基礎知識和基本解題方法、規(guī)律；考查運算能力及分析問題解決問題的能力. 【命題規(guī)律】二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項式定理的應用．近兩年，浙江緊緊圍繞二項展開式的通項公式命題，考查某一項或考查某一項的系數(shù). 【答題模板】求二項展開式中的指定項（系數(shù)），一般考慮： 利用通項公式進行化簡,令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時,指數(shù)為零;求有理項時,指數(shù)為整數(shù)等),解出項數(shù)r+1,代回通項公式即可. 【方法總結】 (1)利用二項式定理求解的兩種常用思路 ①二項式定理中最關鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程思想解決的． ②二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值．一般取“1,-1或0”,有時也取其他值. （2）一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)的展開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2. (3)【警示】在應用通項公式時，要注意以下幾點： ①它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定； ②Tr＋1是展開式中的第r＋1項，而不是第r項； ③公式中，a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置； ④對二項式(a－b)n展開式的通項公式要特別注意符號問題． 1．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】二項式（2x-1x)5的展開式中 x3項的系數(shù)是（ ） A. 80 B. 48 C. －40 D. －80 【答案】D 【解析】分析：寫出二項式2x-1x5的展開式的通項，由x的指數(shù)為3求得r值，代入即可求出結果. 詳解：由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式得，Tr+1=-1r?25-r?C5r?x5-2r，由5-2r=3，解得r=1，則所求x3項的系數(shù)為-124C51=-80，故正解答案為D. 2．【“超級全能生”浙江省2017屆3月聯(lián)考】在二項式的展開式中，常數(shù)項是（ ） A. -240 B. 240 C. -160 D. 160 【答案】C 【解析】 ,由 得 ,所以常數(shù)項是選C. 3．【浙江省湖州、衢州、麗水三市2017屆4月聯(lián)考】二項式的展開式中含項的系數(shù)是( ) A. 21 B. 35 C. 84 D. 280 【答案】C 【解析】的系數(shù)為： ，故選C． 4．【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應性考試】x2+1x-15的展開式中的x5的系數(shù)為（ ） A. 1 B. -9 C. 11 D. 21 【答案】C. 5．【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學期考】展開式中的系數(shù)為（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 ，故展開式中的系數(shù)為，選C 6．【2018屆浙江省臺州中學模擬】二項式(x+1x2)5的展開式中常數(shù)項為__________．所有項的系數(shù)和為__________． 【答案】 5 32 【解析】分析：利用二項展開式的通項公式求出(x+1x3)5展開式的通項，令x的指數(shù)為0，求出r的值，將r的值代入通項求出展開式的常數(shù)項，令x=1，得到所有項的系數(shù)和. 詳解：展開式的通項為Tr+1=C5r(x)5-r(1x2)r=C5rx52-52r， 令52-52r=0，解得r=1， 所以展開式中的常數(shù)項為T2=C51=5， 令x=1，得到所有項的系數(shù)和為25=32，得到結果. 7．【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】已知多項式(x+1)6(3x2+1)2=a0+a1x+a2x2+???a9x9+a10x10，則a0=__________；a2=__________． 【答案】 1. 21. 【解析】分析：題設中給出的等式是恒等式，可令x=0得到a0．另外，我們可利用二項式定理求出x+16的展開式中x2的系數(shù)和常數(shù)項，再利用多項式的乘法得到a2． 8．【2018屆浙江省金麗衢十二校第二次聯(lián)考】在(x-12x2)9 的展開式中，常數(shù)項為_____；系數(shù)最大的項是_____． 【答案】 -212 9x3 【解析】分析：先根據(jù)二項展開式通項公式得項的次數(shù)與系數(shù)，再根據(jù)次數(shù)為零，算出系數(shù)得常數(shù)項，根據(jù)系數(shù)大小比較，解得系數(shù)最大的項. 詳解：因為Tr+1=C9rx9-r(-12x2)r=C9r(-12)rx9-3r，所以由9-3r=0得r=3,常數(shù)項為C93(-12)3=-212 因為系數(shù)最大的項系數(shù)為正，所以只需比較C90(-12)0=1，C92(-12)2=9，C94(-12)4=638，C96(-12)6=2116，C98(-12)8=9256大小 因此r=2時系數(shù)最大，項是9x3， 9．【2018屆浙江省嵊州市高三上期末】的展開式的第項的系數(shù)為__________，展開式中的系數(shù)為__________． 【答案】 21 -35 【解析】的通項為，要得到展開式的第項的系數(shù)，令，令的系數(shù)為，故答案為(1) ， (2) . 10．【2018屆浙江省“七彩陽光”聯(lián)盟高三上期初聯(lián)考】展開式中的系數(shù)為__________． 【答案】14. 11．【2018屆浙江省部分市學校（新昌中學、臺州中學等）上學期9+1聯(lián)考】在的展開式中，各項系數(shù)之和為64，則__________；展開式中的常數(shù)項為__________. 【答案】 6 15 【解析】∵在的展開式中，各項系數(shù)之和為64 ∴將代入，得 ∴ ∵ ∴令，即，則其系數(shù)為 故答案為：6，15 12．【2018屆浙江省杭州市高三上期末】在二項式的展開式中，若含的項的系數(shù)為-10，則__________． 【答案】-2