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第06節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 對數(shù)運算 1. 理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式. 2．理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質及應用. 3.了解對數(shù)函數(shù)的變化特征. 2014?浙江文8；理7； 2015?浙江文9；理10，12； 2016?浙江文,5；理12； 2018?浙江10，22. 1.對數(shù)運算； 2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質及其應用； 3.除單獨考查外，在大題中考查對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的應用是熱點. 4.備考重點： （1）對數(shù)運算 （2）對數(shù)函數(shù)單調性的應用，如比較函數(shù)值的大小； （3）圖象過定點； （4）底數(shù)分類討論問題. 對數(shù)函數(shù)的圖象和性質 【知識清單】 1. 對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 對點練習 設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A. B.10 C.20 D.100 【答案】A 【解析】由已知，得， 則.解得. 2.對數(shù)的性質、換底公式與運算性質 (1)對數(shù)的性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1) (2)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3.對數(shù)函數(shù)及其性質 (1)概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞). (2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 a>1 01時，y>0； 當01時，y<0； 當00 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù) 【重點難點突破】 考點1 對數(shù)的化簡、求值 【1-1】【2018年新課標I卷文】已知函數(shù)，若，則________． 【答案】-7 【解析】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案. 【1-2】【2018屆安徽省宿州市第三次檢測】已知，，，則（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先求得m,n的關系，然后結合對數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果. 本題選擇C選項. 【1-3】若則________,用表示為________. 【答案】 12 ，. 【解析】∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3， a2m+n=(am)2an=223=12， . 【領悟技法】 1.對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此，經(jīng)常會用到換底公式及其推論；在對含有字母的對數(shù)式化簡時，必須保證恒等變形． 2. (a>0且a≠1)是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中要注意靈活運用． 3.利用對數(shù)運算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進行轉化． 4.有限制條件的對數(shù)化簡、求值問題，往往要化簡已知和所求，利用“代入法”. 【觸類旁通】 【變式一】【2017北京】根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（ ） （參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 【答案】D 【變式二】【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知，則__________． 【答案】2 【解析】 ， ， ，故答案為. 【變式三】【2017屆浙江省麗水市高三下學期測試】計算： __________； 三個數(shù)最大的是__________． 【答案】 【解析】①； ②,因此最大的數(shù)是. 考點2 對數(shù)函數(shù)的圖象、性質及其應用 【2-1】【2018屆湖南省張家界市高三第三次?！吭谕恢苯亲鴺讼抵校瘮?shù)， （，且）的圖象大致為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，當，函數(shù)為單調遞減函數(shù)，若時，函數(shù)與的零點，且函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)；若時，函數(shù)與的零點，且函數(shù)在上為單調遞增函數(shù).綜上得，正確答案為A. 【2-2】【2018屆河南省南陽市第一中學第十四次考】函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：先判斷出偶函數(shù)在上單調遞減，然后根據(jù)對稱性將函數(shù)不等式化為絕對值不等式求解． 詳解：由題意知函數(shù)的定義域為， 當時，， ∴在上單調遞減， ∵是偶函數(shù)， ∴在上單調遞增． ∵， ∴， 兩邊平方后化簡得且， 解得或， 故使不等式成立的取值范圍是． 故選B． 【2-3】【2018年天津卷理】已知，，，則a，b，c的大小關系為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意結合對數(shù)函數(shù)的性質整理計算即可求得最終結果. 詳解：由題意結合對數(shù)函數(shù)的性質可知： ，，， 據(jù)此可得：. 本題選擇D選項. 點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確． 【2-4】已知函數(shù)若關于的方程有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在時，是增函數(shù)，值域為，在時，是減函數(shù)，值域是，因此方程有兩個不等實根，則有. 【2-5】【2017課標1】已知函數(shù)，則 A．在（0，2）單調遞增 B．在（0，2）單調遞減 C．y=的圖像關于直線x=1對稱 D．y=的圖像關于點（1，0）對稱 【答案】C 【領悟技法】 1. 的底數(shù)變化，其圖象具有如下變化規(guī)律：（1）上下比較：在直線的右側，時，底大圖低（靠近軸）；時，底大圖高（靠近軸）．（2）左右比較（比較圖象與的交點）：交點橫坐標越大，對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大. 2. 涉及對數(shù)函數(shù)的定義域問題，要考慮底數(shù)大于零且不為1，真數(shù)大于零． 3.涉及對數(shù)函數(shù)單調性問題，要注意底數(shù)的不同取值情況． 4. 比較兩個對數(shù)值的大小，若同底數(shù)，考慮應用函數(shù)的單調性；若底數(shù)不同，首先化同底數(shù). 5.對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題，要考慮底數(shù)大于零且不為1，真數(shù)大于零． 6.數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想的應用，是本節(jié)的一突出特點． 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆四川省南充市三診】在同一坐標系中，函數(shù)與的圖象都正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性和對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對稱性可得解. 詳解：因為，.所以函數(shù)單調遞減，排除B，D. 與的圖象關于軸對稱.排除A. 故選A. 【變式二】【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關系為 （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，， 從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【變式三】【2017河南（中原名校）模擬】若函數(shù)的兩個零點是，則（ ） A. B. C. D. 以上都不對 【答案】C 【解析】 【變式四】【2017課標II】函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)有意義，則： ，解得： 或 ，結合二次函數(shù)的單調性、對數(shù)函數(shù)的單調性和復合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調增區(qū)間為 . 故選D. 【變式五】【2018屆福建省泉州市第二次（5月）質量檢查】已知偶函數(shù)在上單調遞增，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，以及f（x）在（0，+∞）上單調遞增，這樣根據(jù)函數(shù)單調性定義以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷每個選項的正誤，從而選出正確選項． 詳解：f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調遞增； A．f（﹣3e）=f（3e），且2e＜3e； ∴f（2e）＜f（3e）； ∴f（2e）＜f（﹣3e），∴該選項錯誤； B．f（﹣e3）=f（e3），且e2＜e3； ∴f（e2）＜f（e3）； ∴f（e2）＜f（﹣e3），∴該選項錯誤； C.，； ∴； ∵f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調遞增； ∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減； ∴，∴該選項錯誤； D.，； ∴； ∴，∴該選項正確． 故答案為：D 【易錯試題常警惕】 易錯典例：函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞) 易錯分析：解答本題，易于因為忽視函數(shù)的定義域，而導致錯誤． 而函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴的單調遞減區(qū)間為(3，＋∞)，單調遞增區(qū)間為(－∞，1)． 溫馨提醒： (1)復合函數(shù)的單調性，遵循“同增異減”； (2)注意遵循“定義域優(yōu)先”的原則. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】【2017浙江溫州中學3月模擬】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)的判斷正確的是（ ） A. 當時，有4個零點；當時，有1個零點 B. 無論為何值，均有2個零點 C. 當時，有3個零點；當時，有2個零點 D. 無論為何值，均有4個零點 【答案】A 【解析】畫出函數(shù)的圖像如圖，結合圖像可知：由題設可得若，則問題轉化為存在多少個的值使得函數(shù)值，且使得。則當時，因與函數(shù)的圖像的交點的縱坐標為1，，即函數(shù)無零點；當時，存在唯一與函數(shù)的圖像的交點的橫坐標滿足使得，故函數(shù)只有一個零點；當時，分別存在兩個值使得與函數(shù)的圖像的交點的橫坐標滿足題設，故函數(shù)有四個零點.應選答案A.。