(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解橢圓的定義.2.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程. 知識(shí)點(diǎn)一 橢圓的定義 思考 給你兩個(gè)圖釘,一根無(wú)彈性的細(xì)繩,一張紙板,一支鉛筆,如何畫(huà)出一個(gè)橢圓? 答案 在紙板上固定兩個(gè)圖釘,繩子的兩端固定在圖釘上,繩長(zhǎng)大于兩圖釘間的距離,筆尖貼近繩子,將繩子拉緊,移動(dòng)筆尖即可畫(huà)出橢圓. 梳理 (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距. (2)橢圓的定義用集合語(yǔ)言敘述為: P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. (3)2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表: 條件 結(jié)論 2a>|F1F2| 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓 2a=|F1F2| 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 2a<|F1F2| 動(dòng)點(diǎn)不存在,因此軌跡不存在 知識(shí)點(diǎn)二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 思考 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b>c一定成立嗎? 答案 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小關(guān)系不確定. 梳理 (1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式 焦點(diǎn)位置 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn) 焦距 焦點(diǎn)在x軸上 +=1(a>b>0) F1(-c,0), F2(c,0) 2c 焦點(diǎn)在y軸上 +=1(a>b>0) F1(0,-c), F2(0,c) 2c (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系 橢圓在坐標(biāo)系中的位置 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c) a,b,c的關(guān)系 b2=a2-c2 (3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點(diǎn)位置及求焦點(diǎn)坐標(biāo) 判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些,即“誰(shuí)大在誰(shuí)上”.如方程為+=1的橢圓,焦點(diǎn)在y軸上,而且可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1),焦距|F1F2|=2. (1)已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓.() (2)已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓.() (3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(√) (4)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓.() 類(lèi)型一 橢圓定義的應(yīng)用 例1 點(diǎn)P(-3,0)是圓C:x2+y2-6x-55=0內(nèi)一定點(diǎn),動(dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過(guò)P點(diǎn),判斷圓心M的軌跡. 考點(diǎn) 橢圓的定義 題點(diǎn) 橢圓定義的應(yīng)用 解 方程x2+y2-6x-55=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-3)2+y2=64,圓心為(3,0),半徑r=8.因?yàn)閯?dòng)圓M與已知圓相內(nèi)切且過(guò)P點(diǎn),所以|MC|+|MP|=r=8,根據(jù)橢圓的定義,動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C,P的距離之和為定值8>6=|CP|,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓. 引申探究 若將本例中圓C的方程改為:x2+y2-6x=0且點(diǎn)P(-3,0)為其外一定點(diǎn),動(dòng)圓M與已知圓C相外切且過(guò)P點(diǎn),求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 解 設(shè)M(x,y),由題意可知,圓C:(x-3)2+y2=9, 圓心C(3,0),半徑r=3. 由|MC|=|MP|+r,故|MC|-|MP|=r=3, 即-=3, 整理得-=1(x<0). 反思與感悟 橢圓是在平面內(nèi)定義的,所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視. 定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù),而不能是變量. 常數(shù)2a必須大于兩定點(diǎn)間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列命題是真命題的是________.(將所有真命題的序號(hào)都填上) ①已知定點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),則滿足|PF1|+|PF2|=的點(diǎn)P的軌跡為橢圓; ②已知定點(diǎn)F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),則滿足|PF1|+|PF2|=4的點(diǎn)P的軌跡為線段; ③到定點(diǎn)F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓. 考點(diǎn) 橢圓的定義 題點(diǎn) 橢圓定義的應(yīng)用 答案?、? 解析 ①<2,故點(diǎn)P的軌跡不存在;②因?yàn)?a=|F1F2|=4,所以點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2;③到定點(diǎn)F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸). (2)已知一動(dòng)圓M與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程. 考點(diǎn) 橢圓的定義 題點(diǎn) 橢圓定義的應(yīng)用 解 由題意可知C1(-3,0),r1=1,C2(3,0),r2=9, 設(shè)M(x,y),半徑為R, 則|MC1|=1+R,|MC2|=9-R, 故|MC1|+|MC2|=10, 由橢圓定義知,點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓,且a=5,c=3,故b2=a2-c2=16. 故所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為+=1. 類(lèi)型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 求中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P,Q的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 考點(diǎn) 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 題點(diǎn) 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 解 方法一?、佼?dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 依題意,有 解得 由a>b>0,知不合題意,故舍去; ②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +=1(a>b>0). 依題意,有解得 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 方法二 設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 則解得 所以所求橢圓的方程為5x2+4y2=1, 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 引申探究 求與橢圓+=1有相同焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(3,)的橢圓方程. 解 由題意可設(shè)其方程為+=1(λ>-9), 又橢圓過(guò)點(diǎn)(3,),將此點(diǎn)代入橢圓方程,得 λ=11(λ=-21舍去), 故所求的橢圓方程為+=1. 反思與感悟 (1)若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定,需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論,也可設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0). (2)與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為+=1(a>b>0,b2>-λ),與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為+=1(a>b>0,b2>-λ). 跟蹤訓(xùn)練2 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10; (2)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,2),(5,1); (3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1). 考點(diǎn) 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn) 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 (1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 由題意可知2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9, 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), 則解得 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0). 由解得 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. 類(lèi)型三 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程 例3 已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn),|BC|=8,且△ABC的周長(zhǎng)等于18.求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程. 考點(diǎn) 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn) 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 以過(guò)B,C兩點(diǎn)的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖所示. 由|BC|=8可知點(diǎn)B(-4,0), C(4,0). 由|AB|+|AC|+|BC|=18, 得|AB|+|AC|=10>8=|BC|, 因此,點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓,這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和2a=10,但點(diǎn)A不在x軸上. 由a=5,c=4, 得b2=a2-c2=25-16=9. 所以點(diǎn)A的軌跡方程為+=1(y≠0). 反思與感悟 求與橢圓有關(guān)的軌跡方程常用的方法: (1)定義法:若動(dòng)點(diǎn)的軌跡特點(diǎn)符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義,則可用定義直接求解. (2)直接法:將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化,列出等式后化簡(jiǎn),得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (3)相關(guān)點(diǎn)法:根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程,通過(guò)轉(zhuǎn)換求出動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程. 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,設(shè)定點(diǎn)A(6,2),P是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn),求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程. 考點(diǎn) 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn) 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 設(shè)M(x,y),P(x1,y1). ∵M(jìn)為線段AP的中點(diǎn), ∴ 又∵+=1, ∴點(diǎn)M的軌跡方程為+=. 1.橢圓+y2=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( ) A.5B.6C.7D.8 考點(diǎn) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn) 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)、焦距 答案 D 解析 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,|PF1|=2, 結(jié)合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8. 2.已知橢圓的焦點(diǎn)為(-1,0)和(1,0),點(diǎn)P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為( ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+x2=1 考點(diǎn) 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn) 待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 答案 A 解析 c=1,a=(+)=2,∴b2=a2-c2=3, ∴橢圓的方程為+=1. 3.設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=2∶1,則△F1PF2的面積=________. 考點(diǎn) 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 題點(diǎn) 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用 答案 4 解析 由橢圓方程,得a=3,b=2,c=. ∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴△PF1F2是直角三角形, 故△F1PF2的面積為|PF1||PF2|=24=4. 4.在橢圓+y2=1中,有一沿直線運(yùn)動(dòng)的粒子從一個(gè)焦點(diǎn)F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)F1,再次被橢圓反射后又回到F2,則該粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 題點(diǎn) 橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用 答案 4 解析 把粒子運(yùn)動(dòng)軌跡表示出來(lái),可知整個(gè)路程為4a,即4. 5.若△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c成等差數(shù)列,且b=6,求頂點(diǎn)B的軌跡方程. 考點(diǎn) 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法 題點(diǎn) 定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 以直線AC為x軸,AC的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(-3,0),C(3,0),B(x,y), 則|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12, ∴B點(diǎn)的軌跡是以A,C為焦點(diǎn)的橢圓, 且a′=6,c′=3,b′2=27. 故所求的軌跡方程為+=1(y≠0). 1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為常數(shù),即|MF1|+|MF2|=2a, 當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),軌跡是橢圓; 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是一條線段F1F2; 當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),軌跡不存在. 2.所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn);在+=1與+=1這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中,都有a>b>0的要求,如方程+=1(m>0,n>0,m≠n)就不能確定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上;分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,可與直線截距式+=1類(lèi)比,如+=1中,由于a>b,所以在x軸上的“截距”更大,因而焦點(diǎn)在x軸上(即看x2,y2分母的大小). 3.對(duì)于求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法:一是通過(guò)待定系數(shù)法求解,二是通過(guò)橢圓的定義進(jìn)行求解. 一、選擇題 1.平面內(nèi),F(xiàn)1,F(xiàn)2是兩個(gè)定點(diǎn),“動(dòng)點(diǎn)M滿足||+||為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 考點(diǎn) 橢圓的定義 題點(diǎn) 橢圓定義的應(yīng)用 答案 B 解析 當(dāng)||+||>||時(shí),M的軌跡才是橢圓. 2.已知方程+=1表示橢圓,則k的取值范圍為( ) A.k>-3且k≠- B.-3- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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