2019高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練(打包20套)文.zip
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培優(yōu)點(diǎn)五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性
例1:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【答案】見(jiàn)解析
【解析】第一步:先確定定義域,定義域?yàn)椋?
第二步:求導(dǎo):
,
第三步:令,即,
第四步:處理恒正恒負(fù)的因式,可得,
第五步:求解,列出表格
2.函數(shù)的極值
例2:求函數(shù)的極值.
【答案】的極大值為,無(wú)極小值
【解析】
令解得:,的單調(diào)區(qū)間為:
的極大值為,無(wú)極小值.
3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值
例3:已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4,則___________.
【答案】
【解析】思路一:函數(shù)的定義域?yàn)?,?
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),所以,,矛盾舍去;
當(dāng)時(shí),若,,為減函數(shù),若,,為增函數(shù),
所以為極小值,也是最小值;
①當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以,
所以(矛盾);
②當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞減,,
所以;
③當(dāng),即時(shí),在上的最小值為,
此時(shí)(矛盾).
綜上.
思路二:,令導(dǎo)數(shù),考慮最小值點(diǎn)只有可能在邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)處取得,因此可假設(shè),,分別為函數(shù)的最小值點(diǎn),求出后再檢驗(yàn)即可.
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、單選題
1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,得,
∴結(jié)合函數(shù)的定義域,得當(dāng)時(shí),函數(shù)為單調(diào)減函數(shù).
因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選A.
2.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則( )
A.有極大值 B.有極小值
C.有極大值0 D.有極小值0
【答案】A
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn),所以,,,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因此有極大值,故選A.
3.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,且在區(qū)間上既有最大值,又有最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,
所以對(duì)于一切恒成立,得,,
又因?yàn)樵趨^(qū)間上既有最大值,又有最小值,
所以,可知在上有零點(diǎn),
也就是極值點(diǎn),即有解,在上解得,
可得,,故選C.
4.函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),則的范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),只需恒成立,
即,.故選C.
5.遇見(jiàn)你的那一刻,我的心電圖就如函數(shù)的圖象大致為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,其定義域?yàn)椋?,?
則函數(shù)為奇函數(shù),故排除C、D,
,則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,排除B,故選A.
6.函數(shù)在內(nèi)存在極值點(diǎn),則( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【解析】若函數(shù)在無(wú)極值點(diǎn),則或在恒成立.
①當(dāng)在恒成立時(shí),時(shí),,得;時(shí),,得;
②當(dāng)在恒成立時(shí),則且,得;
綜上,無(wú)極值時(shí)或.∴在在存在極值.故選A.
7.已知,,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】D
【解析】因?yàn)?,函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上恒成立,
只需,即解得或,故選D.
8.函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖像如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為,則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由圖象知和上遞減,因此的解集為.故選A.
9.設(shè)函數(shù),則( )
A.在區(qū)間,內(nèi)均有零點(diǎn)
B.在區(qū)間,內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)
C.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
D.在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)
【答案】D
【解析】的定義域?yàn)?,在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,,
當(dāng)在區(qū)間上時(shí),在其上單調(diào),,,故在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn),
當(dāng)在區(qū)間上時(shí),在其上單調(diào),,,故在區(qū)間上有零點(diǎn).
故選D.
10.若函數(shù)既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】,,
函數(shù)既有極大值又有極小值,
有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,
,,則或,故選D.
11.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別在與內(nèi),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函數(shù),求導(dǎo),
的兩個(gè)極值點(diǎn)分別在區(qū)間與內(nèi),由的兩個(gè)根分別在區(qū)間與內(nèi),,
令,轉(zhuǎn)化為在約束條件為時(shí),求的取值范圍,
可行域如下陰影(不包括邊界),
目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為,由圖可知,在處取得最大值,在處取得最小值,可行域不包含邊界,的取值范圍.本題選擇A選項(xiàng).
12.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為,在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為,若在區(qū)間
上,則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”,已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,∴,∴,
∵函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”∴,
∴在上恒成立,即在上恒成立.
∵在上為單調(diào)增函數(shù),∴,∴,
故選D.
二、填空題
13.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】,已知,
當(dāng)或時(shí),,在該區(qū)間是增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,在該區(qū)間是減函數(shù),
故函數(shù)在處取極大值,,又,故的最大值是8.
14.若函數(shù)在,上都是單調(diào)增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值集合是______.
【答案】
【解析】,,
函數(shù)在,上都是單調(diào)增函數(shù),
則,即,解得,,即,解得,
則實(shí)數(shù)的取值集合是,故答案為.
15.函數(shù)在內(nèi)不存在極值點(diǎn),則的取值范圍是___________.
【答案】或
【解析】函數(shù)在內(nèi)不存在極值點(diǎn)在內(nèi)單調(diào)函數(shù)或在內(nèi)恒成立,
由在內(nèi)恒成立,,即,
同理可得,故答案為或.
16.已知函數(shù),
① 當(dāng)時(shí),有最大值;
② 對(duì)于任意的,函數(shù)是上的增函數(shù);
③ 對(duì)于任意的,函數(shù)一定存在最小值;
④ 對(duì)于任意的,都有.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
【答案】②③
【解析】由函數(shù)的解析式可得:,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,且,
據(jù)此可知當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,函數(shù)沒(méi)有最大值,說(shuō)法①錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí),函數(shù),均為單調(diào)遞增函數(shù),則函數(shù)是上的增函數(shù),說(shuō)法②正確;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,
且當(dāng),據(jù)此可知存在,
在區(qū)間上,,單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,單調(diào)遞增;
函數(shù)在處取得最小值,說(shuō)法③正確;
當(dāng)時(shí),,
由于,故,,說(shuō)法④錯(cuò)誤;
綜上可得:正確結(jié)論的序號(hào)是②③.
三、解答題
17.已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)證明:恒成立.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減;(2)見(jiàn)解析.
【解析】(1),
當(dāng)時(shí),恒成立,所以,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),令,得到,所以,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)證法一:由(1)可知,當(dāng)時(shí),,
特別地,取,有,即,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),
因此,要證恒成立,只要證明在上恒成立即可,
設(shè) ,則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)時(shí),,即在上恒成立.
因此,有,又因?yàn)閮蓚€(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立,所以有恒成立.
證法二:記函數(shù),則,
可知在上單調(diào)遞增,又由,知,在上有唯一實(shí)根,
且,則,即(*),
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
所以,結(jié)合(*)式,知,
所以,
則,即,所以有恒成立.
18.已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)使得成立?并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)或;(2)不存在,見(jiàn)解析.
【解析】(1)當(dāng)時(shí),,,,,
由題意得,即,
令,則,解得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
則或時(shí),在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(2)由,得,
假設(shè)存在,則有,
即,
,
,
,
即,,,
令,則,
兩邊同時(shí)除以,得,即,
令,,
令在上單調(diào)遞增,且,
對(duì)于恒成立,即對(duì)于恒成立,
在上單調(diào)遞增,,
對(duì)于恒成立,不成立,
同理,時(shí),也不成立,
不存在實(shí)數(shù)使得成立.
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