2019屆高考數(shù)學(xué)全冊(cè)精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練（打包20套）理.zip,2019,高考,數(shù)學(xué),精準(zhǔn),培優(yōu)專(zhuān)練,打包,20 培優(yōu)點(diǎn)一 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.單調(diào)性的判斷 例１：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． （2）的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______． 【答案】（1）D；（2）， 【解析】（1）因?yàn)椋诙x域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間， 即求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為． （2）由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的圖象如圖． 由圖象可知，函數(shù)在，上是增函數(shù)． 2．利用單調(diào)性求最值 例2：函數(shù)的最小值為_(kāi)_______． 【答案】1 【解析】易知函數(shù)在上為增函數(shù)，∴時(shí)，． 3．利用單調(diào)性比較大小、解抽象函數(shù)不等式 例3：（1）已知函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為 （ ） A． B． C． D． （2）定義在R上的奇函數(shù)在上遞增，且，則滿(mǎn)足的的集合為_(kāi)_______________． 【答案】（1）D；（2） 【解析】（1）根據(jù)已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)， 因?yàn)椋?，所以? （2）由題意知，，由得或 解得或． ４．奇偶性 例４：已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又在上單調(diào)遞增， ，所以，所以． ５．軸對(duì)稱(chēng) 例５：已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上只有1和3兩個(gè)零點(diǎn)，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A．404 B．804 C．806 D．402 【答案】C 【解析】，為偶函數(shù)，，關(guān)于 ，軸對(duì)稱(chēng)，為周期函數(shù)，且， 將劃分為 關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng)， ，， 在中只含有四個(gè)零點(diǎn)，而共201組 所以；在中，含有零點(diǎn)，共兩個(gè)， 所以一共有806個(gè)零點(diǎn) ６．中心對(duì)稱(chēng) 例６：函數(shù)的定義域?yàn)椋襞c都是奇函數(shù)，則（ ） A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C． D．是奇函數(shù) 【答案】D 【解析】從已知條件入手可先看的性質(zhì)，由，為奇函數(shù)分別可得到：，，所以關(guān)于，中心對(duì)稱(chēng)，雙對(duì)稱(chēng)出周期可求得，所以C不正確，且由已知條件無(wú)法推出一定符合A，B． 對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，進(jìn)而可推出關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)， 所以為圖像向左平移3個(gè)單位，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以為奇函數(shù)，D正確． ７．周期性的應(yīng)用 例７：已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且， 則的值為（ ） A． B．1 C．0 D．無(wú)法計(jì)算 【答案】C 【解析】由題意，得，∵是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)， ∴，，∴， ∴，∴，∴的周期為4， ∴，， 又∵，∴． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則的值為（ ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】由圖象易知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，令，∴． 2．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使在上是增函數(shù)，則且，即． 3．設(shè)函數(shù)，則是（ ） A．奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在內(nèi)是減函數(shù) 【答案】A 【解析】易知的定義域?yàn)?，且，則為奇函數(shù)， 又在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)． 4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，， ，則，，的大小關(guān)系為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，又在上單調(diào)遞增， ∴，即，故選B． 5．已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，，則等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由已知得，，則有解得，故選B． 6．函數(shù)的圖象可能為（ ） 【答案】D 【解析】因?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除A，B．當(dāng)時(shí)，，排除C，故選D． 7．奇函數(shù)的定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，且，則的值為（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】∵為偶函數(shù)，∴，則， 又為奇函數(shù)，則，且． 從而，的周期為4． ∴，故選A． 8．函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，所得圖象與曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為．依題意，的圖象向右平移一個(gè)單位， 得的圖象．∴的圖象由的圖象向左平移一個(gè)單位得到．∴． 9．使成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出，的圖象，知滿(mǎn)足條件的，故選A． 10．已知偶函數(shù)對(duì)于任意都有，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的， 則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，∴函數(shù)的周期是2． ∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，． ∵在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，∴，即． 11．對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，若的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且， 則（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 即函數(shù)是偶函數(shù)，令，則， ∴，即，則， 即，則函數(shù)的周期是2，又， 則． 12．已知函數(shù)，，若存在，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，， 若，則，即，即， 解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D． 二、填空題 13．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的遞減區(qū)間是_______． 【答案】 【解析】由題意知，函數(shù)的圖象如圖所示的實(shí)線(xiàn)部分， 根據(jù)圖象， 的減區(qū)間是． 14．若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為， 則________． 【答案】 【解析】由于函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，所以． 15．設(shè)函數(shù)，，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取 值范圍是________． 【答案】 【解析】如圖作出函數(shù)與的圖象，觀察圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立，因此的取值范圍是． 16．設(shè)定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：①；②；③當(dāng)時(shí)，，則________． 【答案】 【解析】依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， ∴ ． 三、解答題 17．已知函數(shù)，其中是大于0的常數(shù)． （1）求函數(shù)的定義域； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值； （3）若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）． 【解析】（1）由，得， 當(dāng)時(shí)，恒成立，定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋? （2）設(shè)，當(dāng)，時(shí)，∴． 因此在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)．則． （3）對(duì)任意，恒有．即對(duì)恒成立． ∴．令，． 由于在上是減函數(shù)，∴． 故時(shí)，恒有．因此實(shí)數(shù)的取值范圍為． 18．設(shè)是定義域?yàn)榈闹芷诤瘮?shù)，最小正周期為2，且，當(dāng)時(shí)，． （1）判定的奇偶性； （2）試求出函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式． 【答案】（1）是偶函數(shù)；（2）． 【解析】（1）∵，∴． 又，∴．又的定義域?yàn)椋嗍桥己瘮?shù)． （2）當(dāng)時(shí)，，則； 進(jìn)而當(dāng)時(shí)，，． 故． 10 培優(yōu)點(diǎn)七 解三角形 1．解三角形中的要素 例1：的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則_____． 【答案】 【解析】（1）由已知，，求可聯(lián)想到使用正弦定理：， 代入可解得：．由可得：，所以． 2．恒等式背景 例2：已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊， 且有． （1）求； （2）若，且的面積為，求，． 【答案】（1）；（2）2，2． 【解析】（1） ， 即 ∴或（舍），∴； （2）， ， ∴，可解得． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．在中，，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得， 且， 由余弦定理可得：．故選A． 2．在中，三邊長(zhǎng)，，，則等于（ ） A．19 B． C．18 D． 【答案】B 【解析】∵三邊長(zhǎng)，，， ∴， ．故選B． 3．在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若，則三角形一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 【答案】C 【解析】∵，由正弦定理，，∴， ∵，，為的內(nèi)角，∴，，， ∴，，整理得， ∴，即．故一定是等腰三角形．故選C． 4．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， ∴由余弦定理，可得：， 解得：，，∴．故選A． 5．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)正弦定理由得：， 所以，即， 則， 又，所以．故選A． 6．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，如果，且，那么外接圓的半徑為（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因?yàn)?，所以，化為? 所以，又因?yàn)?，所以? 由正弦定理可得，所以，故選A． 7．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，若， 則的形狀是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因?yàn)椋裕? 也就是，所以，從而， 故，為等邊三角形．故選C． 8．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，且滿(mǎn)足，則是（ ） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得： ，即， ∵，，為三角形的內(nèi)角，∴，即， 則為直角三角形，故選B． 9．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【解析】因?yàn)椋裕? 又，∴，解方程組得，， 由余弦定理得，所以．故選A． 10．在中，，，分別為角，，所對(duì)的邊．若， 則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ∵，可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案為C． 11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，則是（ ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 【答案】D 【解析】∵，由正弦定理得：，，代入， 得，∴進(jìn)而可得， ∴，則是等邊三角形．故選D． 12．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，， 則（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，原式可化為：， 去分母移項(xiàng)得：， 所以， 所以．由同角三角函數(shù)得， 由正弦定理，解得所以或（舍）．故選B． 二、填空題 13．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，則角的最大值為_(kāi)____； 【答案】 【解析】在中，由角的余弦定理可知 ， 又因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立． 14．已知的三邊，，成等比數(shù)列，，，所對(duì)的角分別為，，，則的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】∵的三邊，，成等比數(shù)列， ∴，得， 又∵，∴，， 可得，故答案為． 15．在中三個(gè)內(nèi)角，，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，則面積的最大值是________ 【答案】 【解析】∵， ∴， 則，結(jié)合正弦定理得，即， 由余弦定理得，化簡(jiǎn)得， 故，，故答案為． 16．在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，成等差數(shù)列，， 則面積的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】∵中，，成等差數(shù)列，∴． 由正弦定理得，∴，， ∴ ， ∵為銳角三角形，∴，解得． ∴，∴， ∴，故面積的取值范圍是． 三、解答題 17．己知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且． （1）求角的大?。? （2）若，且的面積為，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得，， ∵，∴，即． ∵∴，∴，∴． （2）由可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：， ∴． 18．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，． ． （1）求的面積． （2）若，求的長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意， 在中，由余弦定理可得 即或（舍）， ∴的面積． （2）在中，由正弦定理得， 代入得，由為銳角，故， 所以， 在中，由正弦定理得， ∴，解得． 9 培優(yōu)點(diǎn)三 含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造 1．對(duì)于，可構(gòu)造 例1：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)造函數(shù)，所以，由于對(duì)任意，， 所以恒成立，所以是上的增函數(shù)， 又由于，所以， 即的解集為．故選B． 2．對(duì)于，構(gòu)造；對(duì)于，構(gòu)造 例2：已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)，成立，，，，則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)為奇函數(shù)． 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減． 因?yàn)?，，，所以，所以．故選D． 3．對(duì)于，構(gòu)造；對(duì)于或，構(gòu)造 例3：已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，均有，則有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】構(gòu)造函數(shù)，則， 因?yàn)榫胁⑶?，所以，故函?shù)在上單調(diào)遞減， 所以，，即，， 也就是，． 4．與，構(gòu)造 例4：已知函數(shù)對(duì)任意的滿(mǎn)足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】提示：構(gòu)造函數(shù)． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．若函數(shù)在上可導(dǎo)且滿(mǎn)足不等式恒成立，對(duì)任意正數(shù)、，若， 則必有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知∴構(gòu)造函數(shù)， 則，從而在上為增函數(shù)。 ∵，∴，即，故選C． 2．已知函數(shù)滿(mǎn)足，且，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構(gòu)造新函數(shù)，則， ，對(duì)任意，有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減， 所以的解集為，即的解集為，故選D． 3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題得，設(shè)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，，所以． 當(dāng)時(shí)，，，所以． 當(dāng)時(shí)，，所以． 綜上所述，故答案為C． 4．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減， 因?yàn)?，即?dǎo)函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)， 所以函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心， 由于，即函數(shù)過(guò)點(diǎn)， 其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù)上， 所以有，所以， 而不等式，即，即，所以， 故使得不等式成立的的取值范圍是．故選B． 5．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)對(duì)于任意的滿(mǎn)足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，為奇函數(shù)，函數(shù)對(duì)于任意的滿(mǎn)足， 得，即， 所以在上單調(diào)遞增；又因?yàn)闉榕己瘮?shù)， 所以在上單調(diào)遞減．所以，即． 故選C． 6．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單獨(dú)遞減， 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，∴，． 因此不等式等價(jià)于，即，故選B． 7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是偶函數(shù)，則的對(duì)稱(chēng)軸為， 構(gòu)造函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 當(dāng)時(shí)，由，得， 則在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增， 故，∴．本題選擇A選項(xiàng)． 8．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，， 若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)， 設(shè)，∴為上的偶函數(shù)，∴， ∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． ，，， ∵，∴．即，故選C． 9．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）， 且當(dāng)時(shí)，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，∴， ∵，∴時(shí)，，則， ∴，在上單調(diào)遞減，∴， 即， ∵，∴， ∴，，故選C． 10．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意，都有，則使得成立的的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構(gòu)造函數(shù)：，， ∵對(duì)任意，都有， ∴， ∴函數(shù)在單調(diào)遞減，由化為：， ∴．∴使得成立的的取值范圍為．故選D． 11．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足且（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），若且，則下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】構(gòu)造函數(shù)，，所以是上的減函數(shù)． 令，則，由已知，可得，下面證明，即證明， 令，則，即在上遞減，，即， 所以，若，，則．故選C． 12．定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足： ，且， 又時(shí)，，即， ∴，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)， 又，∴是偶函數(shù)； ∴時(shí)，是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)?，且? 可得函數(shù)與的大致圖象如圖所示， ∴由圖象知，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選C． 二、填空題 13．設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，且，，．則的值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】由得，所以，即， 設(shè)函數(shù)，則此時(shí)有，故，． 14．已知，為奇函數(shù)，，則不等式的解集為_(kāi)________． 【答案】 【解析】∵為奇函數(shù)，∴，即， 令，，則， 故在遞增，，得， 故，故不等式的解集是，故答案為． 15．已知定義在實(shí)數(shù)集的函數(shù)滿(mǎn)足，且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】設(shè)，則不等式等價(jià)為， 設(shè)，則， ∵的導(dǎo)函數(shù)，∴，函數(shù)單調(diào)遞減， ∵，∴，則此時(shí)，解得， 即的解為，所以，解得， 即不等式的解集為，故答案為． 16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．若時(shí)，， 則不等式的解集為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由已知得，為增函數(shù)， 由為奇函數(shù)得，即， ∴當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，，又是奇函數(shù)， ∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，． ∴不等式的解集為．故答案為． 10 培優(yōu)點(diǎn)九 線(xiàn)性規(guī)劃 1．簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題應(yīng)注意取點(diǎn)是否取得到 例1：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示： 由當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，取最小值為6，故選C． 2．目標(biāo)函數(shù)為二次式 例2：若變量，滿(mǎn)足，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】目標(biāo)函數(shù)可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方， 所以只需求出可行域里距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)即可，作出可行域， 觀察可得最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以． 3．目標(biāo)函數(shù)為分式 例3：設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求可視為點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率． 從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可， 可得在處的斜率最小，即， 在處的斜率最大，為， 結(jié)合圖像可得的范圍為．故選D． 4．面積問(wèn)題 例4：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)分成面積相等的兩部分，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在坐標(biāo)系中作出可行域， 如圖所示為一個(gè)三角形，動(dòng)直線(xiàn)為繞定點(diǎn)的一條動(dòng)直線(xiàn)， 設(shè)直線(xiàn)交于，若將三角形分為面積相等的兩部分，則， 觀察可得兩個(gè)三角形高相等，所以，即為中點(diǎn)， 聯(lián)立直線(xiàn)方程可求得，，則，代入直線(xiàn)方程可解得． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】由圖可知，可行域?yàn)榉忾]的三角區(qū)域， 由在軸上的截距越小，目標(biāo)函數(shù)值越大， 所以最優(yōu)解為，所以的最大值為1，故選B． 2．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件，則其表示的平面區(qū)域的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】滿(mǎn)足約束條件，如圖所示： 可知范圍擴(kuò)大，實(shí)際只有， 其平面區(qū)域表示陰影部分一個(gè)三角形，其面積為．故選B． 3．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，若只在點(diǎn)處取得最大值，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式組作可行域如圖， 聯(lián)立，解得,當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)化為， 由圖可知，可行解使取得最大值，符合題意； 當(dāng)時(shí)，由，得，此直線(xiàn)斜率大于0， 當(dāng)在軸上截距最大時(shí)最大， 可行解為使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，符合題意； 當(dāng)時(shí)，由，得，此直線(xiàn)斜率為負(fù)值， 要使可行解為使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的唯一的最優(yōu)解， 則，即． 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C． 4．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】畫(huà)出不等式表示的可行域，如圖陰影三角形所示， 由題意得，． 由得， 所以可看作點(diǎn)和連線(xiàn)的斜率，記為， 由圖形可得， 又，，所以， 因此或，所以的取值范圍為．故選C． 5．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件作出可行域，如圖： ∵，，∴， 聯(lián)立，解得， 的幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，其最大值． 故選D． 6．已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出可行域如圖： 觀察圖象可知，最小距離為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離， 即，故選C． 7．，滿(mǎn)足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A．或 B．2或 C．2或1 D．2或 【答案】D 【解析】由題意作出約束條件，平面區(qū)域， 將化為，相當(dāng)于直線(xiàn)的縱截距， 由題意可得，與或與平行， 故或；故選D． 8．若，滿(mǎn)足不等式組，則成立的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示： 因?yàn)楸硎军c(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率， 所以成立的點(diǎn)只能在圖中的內(nèi)部（含邊界）， 所以由幾何概型得：成立的概率為， 由，得，由，得， 由，得，由，解得， 由，解得，所以，， 所以成立的概率為，故選A． 9．若，滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為（ ） A．7 B．6 C． D．4 【答案】C 【解析】畫(huà)出可行城如圖所示， 目標(biāo)函數(shù)可化為，共圖象是對(duì)稱(chēng)軸為的兩條射線(xiàn)， 由得取得最小值時(shí)的最優(yōu)解為． 即．故選C． 10．已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．則的最大值為（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【解析】如圖所示：，即， 首先做出直線(xiàn)：，將平行移動(dòng)， 當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最大，從而最大． 因?yàn)?，故的最大值?．故選C． 11．若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式，可行域如圖： ∵平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿(mǎn)足， ∴直線(xiàn)與可行域有交點(diǎn)，解方程組得． ∴點(diǎn)在直線(xiàn)下方．可得．解得．故選B． 12．已知圓，平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切， 則圓心與點(diǎn)連線(xiàn)斜率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫(huà)出可行域如圖， 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心，半徑為1， 因?yàn)閳A與軸相切，所以， 直線(xiàn)分別與直線(xiàn)與交于點(diǎn)，， 所以，圓心與點(diǎn)連線(xiàn)斜率為， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)； 所以圓心與點(diǎn)連線(xiàn)斜率的取值范圍是，故選A． 二、填空題 13．設(shè)，滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)___________． 【答案】13 【解析】如圖，作出可行域（圖中陰影部分）， 目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最大值13．故答案為13． 14．若變量，滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)________． 【答案】1 【解析】作可行域，，表示可行域內(nèi)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方， 由圖可得最小值為． 15．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____． 【答案】4 【解析】由實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，作出可行域如圖， 聯(lián)立，解得，， 其幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率加2． ∵，∴的最小值為4．故答案為4． 16．某公司計(jì)劃明年用不超過(guò)6千萬(wàn)元的資金投資于本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)和遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)．經(jīng)過(guò)對(duì)本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)年利潤(rùn)率的調(diào)研，其結(jié)果是：年利潤(rùn)虧損的概率為，年利潤(rùn)獲利的概率為，年利潤(rùn)獲利的概率為，對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的調(diào)研結(jié)果是：年利潤(rùn)獲利為的概率為，持平的概率為，年利潤(rùn)虧損的可能性為．為確保本地的鮮魚(yú)供應(yīng)，市政府要求該公司對(duì)遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)的投資不得高于本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)的投資的2倍．根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，該公司如何分配投資金額，明年兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)之和最大值為_(kāi)________千萬(wàn)． 【答案】 【解析】設(shè)本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)平均年利潤(rùn)，遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)平均平均年利潤(rùn)； ，； 設(shè)本地養(yǎng)魚(yú)場(chǎng)投千萬(wàn)元，遠(yuǎn)洋捕撈隊(duì)投千萬(wàn)元， 則利潤(rùn)之和，， 如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)利潤(rùn)最大，千萬(wàn)元． 16 培優(yōu)點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn) 1．零點(diǎn)的判斷與證明 例1：已知定義在上的函數(shù)， 求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】，，，在單調(diào)遞增， ，，，，使得 因?yàn)閱握{(diào)，所以的零點(diǎn)唯一． 2．零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題 例2：已知函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)，，若在區(qū)間內(nèi)， 函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，當(dāng)時(shí)，， 所以，而有三個(gè)不同零點(diǎn)與有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線(xiàn)應(yīng)在圖中兩條虛線(xiàn)之間，所以可解得： 3．零點(diǎn)的性質(zhì) 例3：已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在中，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)， 由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個(gè)周期中，關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，以此類(lèi)推。 從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到），再看圖像，，可視為將的圖像向左平移2個(gè)單位后再向上平移2個(gè)單位， 所以對(duì)稱(chēng)中心移至，剛好與對(duì)稱(chēng)中心重合，如圖所示：可得共有3個(gè)交點(diǎn)， 其中，與關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，所以有。所以．故選C． 4．復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn) 例4：已知函數(shù)，若方程恰有七個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考慮通過(guò)圖像變換作出的圖像（如圖），因?yàn)樽疃嘀荒芙獬?個(gè)，若要出七個(gè)根，則，，所以，解得：． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴， ∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)， ∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間是．故選B． 2．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿(mǎn)足（ ） A． B． C． D．的符號(hào)不確定 【答案】C 【解析】在上是增函數(shù)，若，則． 3．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則由題意得，解得， 故選C． 4．若，則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（ ） A．和內(nèi) B．和內(nèi) C．和內(nèi) D．和內(nèi) 【答案】A 【解析】∵，∴，，， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間，內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)是二次函數(shù)， 最多有兩個(gè)零點(diǎn)．因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間，內(nèi)，故選A． 5．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，分別畫(huà)出函數(shù)和的圖象， 如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)， 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)時(shí)函數(shù)也有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．故選C． 6．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．7 D．0 【答案】B 【解析】方法一：由得或，解得或， 因此函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn)． 方法二：函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn)． 7．已知函數(shù)，則使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即， 解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D． 8．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí)，與軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得或．故選B． 9．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，畫(huà)出的大致圖象（圖略）．觀察它與直線(xiàn)的交點(diǎn)，得知當(dāng)或時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn)．故選D． 10．已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，則，因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以，只有一個(gè)實(shí)根，即只有一個(gè)實(shí)根，則，解得． 11．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與的大致圖象．分兩種情形： （1）當(dāng)時(shí)，，如圖①，當(dāng)時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意． （2）當(dāng)時(shí)，，如圖②，要使與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)， 只需，即，解得或（舍去）． 綜上所述，．故選B． 12．已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個(gè)命題： （1）方程有且只有6個(gè)根 （2）方程有且只有3個(gè)根 （3）方程有且只有5個(gè)根 （4）方程有且只有4個(gè)根 則正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】每個(gè)方程都可通過(guò)圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù)． （1）中可得，，，進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的，有2個(gè)，有2個(gè)，總計(jì)6個(gè)，（1）正確； （2）中可得，，進(jìn)而有1個(gè)對(duì)應(yīng)的，有3個(gè)，總計(jì)4個(gè)， （2）錯(cuò)誤； （3）中可得，，，進(jìn)而有1個(gè)對(duì)應(yīng)的，有3個(gè)，有1個(gè)，總計(jì)5個(gè)，（3）正確； （4）中可得：，，進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的，有2個(gè)，共計(jì)4個(gè)，（4）正確 則綜上所述，正確的命題共有3個(gè)． 二、填空題 13．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】2 【解析】由，得，作出函數(shù)和的圖象， 由上圖知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)． 14．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，若，，則所在的區(qū)間是______． 【答案】 【解析】令，則，易知為增函數(shù)，且，，∴所在的區(qū)間是． 15．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 【答案】2 【解析】當(dāng)時(shí)，令，解得（正根舍去），所以在上有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)．又因?yàn)?，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2． 16．已知函數(shù)，，若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】設(shè)，， 在同一直角坐標(biāo)系中作出，的圖象如圖所示． 由圖可知有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，所以有兩組不同解， 消去得有兩個(gè)不等實(shí)根， 所以，即， 解得或．又由圖象得，∴或． 三、解答題 17．關(guān)于的二次方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】 【解析】顯然不是方程的解， 時(shí)，方程可變形為， 又∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴在上的取值范圍是，∴，∴， 故的取值范圍是． 18．設(shè)函數(shù)． （1）作出函數(shù)的圖象； （2）當(dāng)且時(shí)，求的值； （3）若方程有兩個(gè)不相等的正根，求的取值范圍． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）． 【解析】（1）如圖所示． （2）∵ 故在上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)． 由且，得且，∴． （3）由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正根． 10 培優(yōu)點(diǎn)二十 幾何概型 1.長(zhǎng)度類(lèi)幾何概型 例1：已知函數(shù)，，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先解出時(shí)的取值范圍：， 從而在數(shù)軸上區(qū)間長(zhǎng)度占區(qū)間長(zhǎng)度的比例即為事件發(fā)生的概率，∴，故選C． 2．面積類(lèi)幾何概型 （1）圖形類(lèi)幾何概型 例2-1：如圖所示，在矩形中，，，圖中陰影部分是以為直徑的半圓，現(xiàn)在向矩形內(nèi)隨機(jī)撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計(jì)），根據(jù)你所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，下列四個(gè)選項(xiàng)中最有可能落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目是（ ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】C 【解析】在矩形中，，，面積為，半圓的面積為， 故由幾何概型可知，半圓所占比例為，隨機(jī)撒4000粒豆子， 落在陰影部分內(nèi)的豆子數(shù)目大約為3000，故選C． （2）線(xiàn)性規(guī)劃類(lèi)幾何概型 例2-2：甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定他們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為，乙船到達(dá)的時(shí)間為， 則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω滿(mǎn)足， 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域滿(mǎn)足，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示： 這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率為，故選D． （3）利用積分求面積 例2-3：如圖，圓內(nèi)的正弦曲線(xiàn)與軸圍成的區(qū)域記為（圖中陰影部分），隨機(jī)往圓內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域，面積為， 正弦曲線(xiàn)與軸圍成的區(qū)域記為， 根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性得：面積為， 由幾何概率的計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)， 則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選B． 3．體積類(lèi)幾何概型 例3：一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值． 由三視圖可得，且，，兩兩垂直， 可得， 棱錐體積，而， ∴．從而．故選D． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為．則陰影區(qū)域的面積約為（ ） A． B． C． D．無(wú)法計(jì)算 【答案】C 【解析】設(shè)陰影區(qū)域的面積為，，∴．故選C． 2．某景區(qū)在開(kāi)放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光車(chē)從景區(qū)入口發(fā)車(chē)，某人上午到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車(chē)，則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于10分鐘， ∴概率．故選B． 3．一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】滿(mǎn)足條件的正三角形如圖所示： 其中正三角形的面積 滿(mǎn)足到正三角形的頂點(diǎn)，，的距離都小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則，則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)，，的距離都大于2的概率為： ．故選A． 4．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，，記為事件的概率，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖所示，，表示的平面區(qū)域?yàn)椋? 平面區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足的部分為陰影部分的區(qū)域，其中，， 結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿(mǎn)足題意的概率值為，故選D． 5．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于0到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，或，∴或， 記的值介于0到之間， 則構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度為；全部結(jié)果的區(qū)域長(zhǎng)度為2； ∴，故選A． 6．點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】滿(mǎn)足條件的正方形，如圖所示： 其中滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 則正方形的面積，陰影部分的面積． 故動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的概率．故選C． 7．如圖所示，在橢圓內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則恰好取自橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)連線(xiàn)與橢圓圍成陰影部分的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求橢圓面積的，由知， ∴， 而表示與，圍成的面積，即圓面積的， ∴，∴，∴， ∴概率，故選A． 8．如圖，若在矩形中隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，又，∴， ∴豆子落在圖中陰影部分的概率為．故選A． 9．把不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)記為，則函數(shù)稱(chēng)作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù)，在上任取，則的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，則，滿(mǎn)足； 當(dāng)時(shí)，，，則，滿(mǎn)足； 當(dāng)時(shí)，，，則不滿(mǎn)足； 當(dāng)時(shí)，，，則，不滿(mǎn)足． 綜上，滿(mǎn)足的，則的概率為， 故選D． 10．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)，都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)其中x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)估計(jì)的值．如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么可以估計(jì)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由題意，120對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，面積為1， 兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對(duì)， 滿(mǎn)足且，面積為， ∵統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為， 則，∴，故選B． 11．為了節(jié)省材料，某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形，這個(gè)曲邊三角形稱(chēng)作“菜洛三角形”．現(xiàn)有一顆質(zhì)量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內(nèi)，則彈珠恰好落在三角形內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】彈珠落在萊洛三角形內(nèi)的每一個(gè)位置是等可能的， 由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率： (為萊洛三角形的面積），故選A． 12．下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)，，，則有， 從而可以求得的面積為， 黑色部分的面積為 ， 其余部分的面積為，∴有， 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A． 二、填空題 13．在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則使函數(shù)在上為減函數(shù)的概率是___________． 【答案】 【解析】∵函數(shù)在上為減函數(shù)， ∴，，因此所求概率為． 14．記集合，集合表示的平面區(qū)域分別為，．若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域中的概率為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】畫(huà)出表示的區(qū)域，即圖中以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓； 集合表示的區(qū)域，即圖中的陰影部分． 由題意可得，， 根據(jù)幾何概型概率公式可得所求概率為． 15．如圖，曲線(xiàn)把邊長(zhǎng)為4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是__________． 【答案】 【解析】由題意可知，陰影部分的面積， 正方形的面積：， 由幾何概型計(jì)算公式可知此點(diǎn)取自黑色部分的概率：． 16．父親節(jié)小明給爸爸從網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)了一雙運(yùn)動(dòng)鞋，就在父親節(jié)的當(dāng)天，快遞公司給小明打電話(huà)話(huà)說(shuō)鞋子已經(jīng)到達(dá)快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達(dá)時(shí)間為晚上6點(diǎn)到7點(diǎn)之間，小明的爸爸晚上5點(diǎn)下班之后需要坐公共汽車(chē)回家，到家的時(shí)間在晚上5點(diǎn)半到6點(diǎn)半之間．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快遞員把鞋子送到小明家的時(shí)候，會(huì)把鞋子放在小明家門(mén)口的“豐巢”中）為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】設(shè)爸爸到家時(shí)間為，快遞員到達(dá)時(shí)間為， 以橫坐標(biāo)表示爸爸到家時(shí)間，以縱坐標(biāo)表示快遞送達(dá)時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件構(gòu)成區(qū)域如下圖： 根據(jù)題意，所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，面積， 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)椋? 直線(xiàn)與直線(xiàn)和交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和， ， 由幾何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：． 故答案為． 11