高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip,北師大版,高中數(shù)學(xué),第二章,空間向量與立體幾何習(xí)題打包11套[北師大版]選修2-1,第二,空間,向量,立體幾何,習(xí)題,打包,11,北師大,選修 3.1　空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示 3.2　空間向量基本定理 課時(shí)目標(biāo)　1.掌握空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解.2.了解空間向量基本定理． 1. 標(biāo)準(zhǔn)正交基 在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸，y軸，z軸正方向的________________i，j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基． 2．標(biāo)準(zhǔn)正交分解 設(shè)i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對(duì)空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，則把a(bǔ)＝xi＋yj＋zk叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解． 3．向量的坐標(biāo)表示 在a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解中三元有序?qū)崝?shù)____________叫做空間向量a的坐標(biāo)，_ _____________叫作向量a的坐標(biāo)表示． 4．向量坐標(biāo)與投影 (1)i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝______，a·j＝______，a·k＝______.把x，y，z分別稱為向量a在x軸，y軸，z軸正方向上的投影． (2)向量的坐標(biāo)等于它在______________上的投影． (3)一般地，若b0為b的單位向量，則稱______________________為向量a在向量b上的投影． 5．空間向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)__________的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3使得________________________． 空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底． 一、選擇題 1．在以下3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是(　　) ①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面； ②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線； ③若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 2．已知O、A、B、C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a、b不能構(gòu)成空間基底的是(　　) A. B. C. D.或 3．以下四個(gè)命題中，正確的是(　　) A．若＝＋，則P、A、B三點(diǎn)共線 B．設(shè)向量a，b，c是空間一個(gè)基底，則a＋b，b＋c，c＋a構(gòu)成空間的另一個(gè)基底 C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c| D．△ABC是直角三角形的充要條件是·＝0 4．設(shè)O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) 5．已知點(diǎn)A在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底i，j，k下的坐標(biāo)是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 6．已知空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則等于(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．設(shè)i，j，k是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是____________． 8．已知空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F，則＝____________. 9．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為AC1與BD1的交點(diǎn)，＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝______. 三、解答題 10. 四棱錐P—OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E、F分別是PC和PB的中點(diǎn)，用a，b，c表示、、、. 11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD，求、的坐標(biāo)． 能力提升 12．甲、乙、丙三名工人搬運(yùn)石頭，分別作用于石頭的力為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，若i、j、k是空間中的三個(gè)不共面的基向量，F(xiàn)1＝i＋2j＋3k，F(xiàn)2＝－2i＋3j－k，F(xiàn)3＝3i－4j＋5k，則這三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z. 13．已知e1，e2，e3是空間的一個(gè)基底，試問向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并說明理由． 1．空間的一個(gè)基底是空間任意三個(gè)不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個(gè)．一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量指一個(gè)基底的某一個(gè)向量． 2．對(duì)于＝x＋y＋z，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面． 3．對(duì)于基底a，b，c除了應(yīng)知道a，b，c不共面，還應(yīng)明確： (1)空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，基底選定以后，空間的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是0. §3　向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理 3．1　空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示 3．2　空間向量基本定理 知識(shí)梳理 1．單位向量 3．(x，y，z)　a＝(x，y，z) 4．(1)x　y　z　(2)坐標(biāo)軸正方向 (3)a·b0＝|a|cos〈a，b〉 5．不共面　a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．C　[命題①，②是真命題，命題③是假命題．] 2．C　[∵＝(a－b)，與a、b共面， ∴a，b，不能構(gòu)成空間基底．] 3．B　[A中若＝＋，則P、A、B三點(diǎn)共線，故A錯(cuò)； B中，假設(shè)存在實(shí)數(shù)k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c， 則有方程組無解，即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正確． C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C錯(cuò)． D中，由·＝0△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，則有·＝0，故D錯(cuò)．] 4．A　[因?yàn)椋剑?＋) ＝＋×[(＋)] ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋， 而＝x＋y＋z， 所以x＝，y＝，z＝.] 5．A　[設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對(duì)應(yīng)的向量為p， 則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i ＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)．] 6．B　[＝－＝(＋)－ ＝－a＋b＋c.] 7．(3,2，－1)，(－2,4,2) 8．3a＋3b－5c 解析　∵＝＋＋， 又＝＋＋， ∴兩式相加得2＝(＋)＋＋＋(＋)． ∵E為AC中點(diǎn)，故＋＝0，同理＋＝0， ∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) ＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c. 9. 解析?。剑?＋＋)． 故x＝y(tǒng)＝z＝，∴x＋y＋z＝. 10．解?。剑?＋) ＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋ ＝－a＋(＋) ＝－a－b＋c. ＝＋ ＝＋＋(＋) ＝－a＋c＋(－c＋b) ＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 11．解　 ∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， ∴可設(shè)＝e1，＝e2，＝e3. 以e1、e2、e3為坐標(biāo)向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． ∵＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋(＋＋) ＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2) ＝－e1＋e3， ∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)． 12．解　由題意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k. 又因?yàn)镕＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7. 13．解　由共面向量定理可知，關(guān)鍵是能否找到三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，即x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋z(2e1－e2－4e3)＝0.亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0. 由于e1，e2，e3不共面， 故得 ①＋②求得z＝－5x，代入③得y＝－7x，取x＝－1， 則y＝7，z＝5，于是－a＋7b＋5c＝0，即a＝7b＋5c，所以a，b，c三向量共面． - 7 -