高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何習題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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3.3 空間向量運算的坐標表示
課時目標 1.理解空間向量坐標的概念.2.掌握空間向量的坐標運算規(guī)律，會判斷兩個向量的共線或垂直.3.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些知識解決一些相關問題．
1．空間向量的直角坐標運算律
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
(1)a＋b＝_____________________________；
(2)a－b＝_________________________________________；
(3)λa＝______________________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________________；
(5)a∥b________________________________；
(6)a⊥b________________________．
2．幾個重要公式
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，則＝________________________________.即一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的________的坐標減去________的坐標．
(2)模長公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝＝_________________，|b|＝＝________________________.
(3)夾角公式：cos〈a，b〉＝________________＝____________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(4)兩點間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．則||＝＝.
一、選擇題
1．在空間直角坐標系Oxyz中，已知點A的坐標為(－1,2,1)，點B的坐標為(1,3,4)，則( )
A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4)
C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是( )
A．1 B. C. D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為( )
A. B. C．4 D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)則|b－a|的最小值是( )
A. B. C. D.
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，點P(x，－1,3)在平面ABC內，則x＝______.
8．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則在上的投影為______．
三、解答題
9．設a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
10.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)線段AB的中點坐標和長度；
(2)到A，B兩點距離相等的點P(x，y，z)的坐標x，y，z滿足的條件．
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中點分別為P、Q.
(1)求的長；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比較〈，〉與〈，〉的大??；
(3)求證：⊥.
能力提升
12．在長方體OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中點，建立空間直角坐標系，用向量方法解下列問題：
(1)求與所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求點O1到點D的距離．
1．空間向量的坐標運算，關鍵是要注意向量坐標與點的坐標間的關系，并熟練掌握運算公式．
2．關于空間直角坐標系的建立
建系時，要根據(jù)圖形特點，充分利用圖形中的垂直關系確定原點和各坐標軸．同時，使盡可能多的點在坐標軸上或坐標平面內，這樣可以較方便的寫出點的坐標．
3．3 空間向量運算的坐標表示
知識梳理
1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)(λa1，λa2，λa3) (4)a1b1＋a2b2＋a3b3 (5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
(6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 終點 起點
(2)
(3)
作業(yè)設計
1．C
2．B [∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A [設＝＝＝k，易知a∥b，即條件具有充分性．又若b＝0時，b＝(0,0,0)，
雖有a∥b，但條件＝＝顯然不成立，所以條件不具有必要性，故選A.]
4．D [∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
(ka＋b)⊥(2a－b)，∴3(k－1)＋2k－4＝0.
∴k＝.]
5．A [設向量a、b的夾角為θ，
于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.
所以以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為
S＝2××3×3×＝.]
6．C [∵|b－a|＝＝
＝≥ ＝，
∴|b－a|的最小值是.]
7．11
解析 ∵點P在平面ABC內，∴存在實數(shù)k1，k2，
使＝k1＋k2，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴ 解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8．－4
解析 ∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影為||cos〈，〉
＝×＝－4.
9．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
則＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，則(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
10．解 (1)設M是線段AB的中點，
則＝(＋)＝(2，，3)，
所以線段AB的中點坐標是(2，，3)．
|AB|＝＝.
(2)點P(x，y，z)到A，B兩點距離相等，則
＝，
化簡，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B兩點距離相等的點P(x，y，z)的坐標x，y，z滿足的條件是4x＋6y－8z＋7＝0.
11．解
以C為原點O，建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知，得C(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)||＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos x在內單調遞減，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)證明 ∵·
＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解
建立如圖所示的空間直角坐標系．
(1)由題意得A(2,0,0)，
O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－.
(2)由題意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，設D(x，y,0)，∴＝(x，y，－2)，
＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴ 解得
∴D，
∴||＝ ＝.
即點O1到點D的距離為.
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