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基于逆冪法的解決本地修改系統(tǒng)本征解的一種數(shù)值方法
K. Krishnapillai, R.Jones
摘要：快速再分析修改系統(tǒng)本征解的問題具有相當(dāng)大的實際意義，現(xiàn)在已經(jīng)開發(fā)出了用于計算特征值修改系統(tǒng)的幾種方法。本文提出的正是這種基于逆功率的方法，僅修改部分使用自由度。這種做法不論規(guī)模的修改和使用的濃縮程度的修改部分，都能使精確解的特征值盡快找到。提出的方法的優(yōu)勢是比較研究解決方案的逆功率方法的若干數(shù)值例子。這一做法將有助于改進系統(tǒng)的自由度大和修改系統(tǒng)小的問題。
關(guān)鍵詞：局部修改系統(tǒng) 逆冪法 特征值 特征向量 再分析
1 引言
振動工程包括從機械震動到電氣振蕩和擺動的大結(jié)構(gòu)的廣泛的各種領(lǐng)域。動態(tài)分析的特征值和特征向量在自由振動的這種系統(tǒng)（動力學(xué)）是一項基本的分支工程，而且大量的數(shù)值計算方法已經(jīng)被提出了有效地執(zhí)行這種分析。最近取得的進展有限元法（ FEM ）和大型計算機，使很多分析家治療更大程度的自由（自由度） ，而且越來越多的軟件正在開發(fā)，以適應(yīng)這些因素。但是，如果任何參數(shù)的變化（例如，形狀，材料，初始條件或環(huán)境條件）在先前分析系統(tǒng)，整個系統(tǒng)都必須再分析。特征值分析是一個更艱巨的任務(wù)，比較相應(yīng)的靜態(tài)分析，后者的計算時間一般是前者的幾倍甚至幾十倍。如果一個系統(tǒng)進行多次修改，因為分析修訂后的系統(tǒng)一樣需要時間，勞動力和金錢，就像分析原始系統(tǒng)一樣，這可以使這一進程相當(dāng)費時。
“再分析”是用來執(zhí)行部分分析（而不是全面分析），以便由于設(shè)計修改或其他一些變化使部分矩陣被更改時而獲得有效數(shù)據(jù)。如果可以找到采用先前計算特征值和特征向量表演再分析的方便方法，這將是非常有用的解決涉及部分改變矩陣的特征值問題的。再分析方法在許多文件中得到高度重視，這些文件涉及變化的特征值在本地修改系統(tǒng)中的問題[1-9]。許多這些文件都使用微擾理論[1，4，7]。Fox and Kapoor [1]和Rogers [7]應(yīng)用一階微分方程的特征值和特征向量的設(shè)計變量。這種擾動的方法是使設(shè)計變量的初始值假定不變而有相對較小的調(diào)整時的是有效解決方案。但是，如果改變設(shè)計變量大甚至是增加，這些方法一般是提供低精度的擾動。
除Hirai等人[2]證實了只使用程序的修改部分以獲取準確的特征值和特征向量證明以外，還有Parazzola等人[ 6，10 ]采用此方法做為特征值和特征向量的阻尼系統(tǒng)的理論解決方案。這些方法在確切的解決辦法的基礎(chǔ)上使用特征值和特征向量的修改制度來確定一個基本公式具有相同程度的矩陣代表后修改的制度。他們不論規(guī)模的修改都是有效的。如果特征值可再分析問題使用這種凝聚方程，這將意味著，矩陣可以簡化程度較低，這是一個減少計算時間非常有效的方法。這基本方程是非線性的，它可以用來解決一個矩陣方程的組成是否合理的問題。但解決這類問題的試驗和錯誤是非常耗時的，而且通過這種過程無法顯示順序特征。此外，很少有前景的實現(xiàn)穩(wěn)定的計算過程中使用Newton—Raphson法或其他方法，其中的差別系數(shù)為當(dāng)?shù)亟鉀Q辦法和初步估計而設(shè)置為適當(dāng)?shù)闹?，其解決辦法必須合理地接近實際的解決辦法（如果不是合理地接近實際的解決辦法則其進程不可預(yù)測）。即使大致范圍的解決方案已經(jīng)確定，很難找到穩(wěn)定的解決方案，利用逐次逼近的方法，如反向線性插值或多項式逼近。使用這些方法可能提供一些解決辦法，但眾所周知，數(shù)值計算可以提供解決方案的一個隨機秩序。當(dāng)一個解決方案已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)使用，例如，Newton—Raphson法，通貨緊縮是建立和重復(fù)的程序，以確定下一個特征。因此，傳統(tǒng)的方法解決這些非線性方程組有一些根本性的弱點。
Kashiwagi等人對Hirai等人[11–16]出版的方程壓縮版本進行了系統(tǒng)的研究[ 11-16日] 。他們已經(jīng)解決了在當(dāng)?shù)亟?jīng)修改的制度中找到所有特征值的這個問題，提出了找到低度系統(tǒng)為特征的組合Durand–Kerner[ 12 ]法與Newton法[ 16 ]和合理的功能[ 13 ]的可靠的解決方案。他們還表明，Sturm序列對某些壓縮的強烈非線性方程組[ 14,15 ] 是有用的 ，討論了如何確定該地區(qū)的Sturm 序列的特征值是否存在問題，并說明了使用Sturm序列一分為二的解決方案。Sturm序列方法是計算特征值常用的傳統(tǒng)計算方法，一般，它最適合已轉(zhuǎn)化為三對角矩陣的矩陣 [ 9 ] 。轉(zhuǎn)換的過程中，需要進行大量的計算，一般以三對角矩陣形式和代表半數(shù)以上的特征值來計算確定。由Kashiwagi等人制定的Sturm序列法的版本需要查明所有的特征值和特征向量的修改制度，但并不需要轉(zhuǎn)化成三對角矩陣的形式，所以它是這一領(lǐng)域獨特的貢獻。
許多特征解決問題，尋求公正的幾個特征值及其相應(yīng)的來自低度系統(tǒng)的載體。逆功率職能是這種系統(tǒng)用迭代方法來獲得解決方案的一個例子 [ 17 ] 。逆冪法是一個獲得解決方案的特征值分析的基本方法;許多分析都是根據(jù)它得到的。例如，子空間迭代[ 18,19 ]是一個確定本征值非常常用的方法。因此，我們必須早日完成工具箱的方法來確定特征值的本地修改的制度，但目前還沒有一種已提議的基于逆功率的職能。
本文提出的正是這種僅修改部分使用自由度的基于逆功率的方法。這種做法不論使用的濃縮程度的修改部分的規(guī)模都能盡快找到精確解的特征值。當(dāng)程度的矩陣低，計算時間很短，特別是當(dāng)逆冪函數(shù)相結(jié)合轉(zhuǎn)變的起源，所有的特征值和特征向量的修改系統(tǒng)從最小的本征解開始對前幾個本征解（ 10個或更少的實際系統(tǒng)）相對較小的系統(tǒng)是否有效必須被了解。以下各節(jié)中描述的理論和算法證明了數(shù)值求解典型特征值問題這一有效的做法。
2 本地修改系統(tǒng)的理論與算法的逆功率方法
本節(jié)描述修改系統(tǒng)的逆功率方法的理論和什么是本地修改系統(tǒng)轉(zhuǎn)向逆功率方法的理論。這些理論使只是濃縮版修改部分的本征解完全確定。
2.1 本地修改系統(tǒng)的逆功率方法
一般特征值問題如下，假設(shè)一個n×n實對稱矩陣A和一個積極的實對稱矩陣B組：
（1）
從最小的數(shù)值和是相應(yīng)的特征值特征向量開始，是隨著那里的特征值。A和B有以下幾種形式：
（2）
（3）
如果是模式矩陣的特征向量包含的問題，則用等式（1）表示
（4）
然后用下列關(guān)系表示：
（5）
（6）
這里，Ⅰ是n × n的矩陣，由等式 （ 5 ）可得
（7）
通常由有限元分析的自由結(jié)構(gòu)振動和屈曲有兩個特征值。在自由振動問題中，A是剛度矩陣K，B是質(zhì)量矩陣M。在屈曲中， A是剛度矩陣K，B是幾何剛度矩陣KG。
根據(jù)當(dāng)?shù)氐男薷模?A是由A+A替代，B是由B+B替代的。讓我們假設(shè)A和B如下：
（8）
（9）
如果零要素從A變到B ，我們會得到和：
（10）
（11）
這是化簡后的部分（m×m矩陣，在等式（8）和（9）中假設(shè)m=2） 。
我們考慮一個m × n的布爾矩陣（使等式（12）中m = 2） ：
（12）
和由下式給出
（13）
（14）
一般等式（1）表示的特征值問題可以用來表示上述化簡的當(dāng)?shù)鼐仃嚕?
（15）
等式（15）可重寫布爾矩陣形式：
（16）
讓我們重寫上述矩陣，分別用P代表n × n矩陣，Q代表n ×m矩陣，R代表m× n矩陣，代表m×m對稱矩陣。然后，我們可以寫成
（17）
的逆矩陣是
（18）
這里，是修改部分元素對應(yīng)的m×m矩陣 。
用逆功率的方法，如果后面的特征值試驗值為然后等式（16）和（18）可得
（19）
我們又可以寫成
（20）
是下面等式（25）中的；是前迭代中獲得的近似特征向量?？紤]到式中的 （等式（9）中）可得
（21）
這里，和是未修改部分的矢量
（22）
（23）
然后，由下式給出
（24）
這里
（25）
因此，我們可以用數(shù)值本身的表示來尋找該特征向量。同樣在等式（24）中我們只需要只用簡明修改部分的自由度的化簡特征向量：
（26）
（27）
一旦等式（26）中的被找出和保存，則由等式（24）所得出的自由度就可以計算出近似的特征向量。
2.2 本地修改系統(tǒng)的逆功率轉(zhuǎn)換法
讓我們指定當(dāng)前特征值和下一個特征值為。冪函數(shù)的收斂速度由||/||給出。當(dāng)原特征值為時，逆冪函數(shù)的收斂速度隨原值的改變由|－|/|－|給出，其值是一個比未修改的逆冪函數(shù)較低的值。
因此，選擇適當(dāng)?shù)闹翟谠俜治龅倪^程中收斂可能會被大大提高。在本節(jié)中，我們得出一個本地修改系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換逆功率方法。等式（28）的基本方程具有跟一個完整的系統(tǒng)逆功率轉(zhuǎn)換方法相同的格式，因此預(yù)計將對本地修改系統(tǒng)是有效地。
此處重述等式（1）代表本地修改系統(tǒng)逆功率轉(zhuǎn)換方法作為一般特征值問題：
（28）
等式（7）也可被重新寫為：
（29）
我們按照上一節(jié)中給出的相同的方法：
(30)
(31)
這確保我們說明地點時尋找到近似的特征向量。而且，由等式（30）可得到濃縮修改部分基礎(chǔ)上的近似特征向量：
(32)
(33)
一旦用等式（32）算出并保存，近似特征向量可以用等式（30）給予的自由度計算得到。
2.3 初始近似特征向量和初始近似特征值
這種重新分析的方法需要以往修改系統(tǒng)的特征向量和特征值的知識。我們討論如何將這些數(shù)據(jù)可用于生成隨著i的初始近似特征值和特征向量，我們由下式開始：
(34)
考慮到正?；臈l件為：
我們發(fā)現(xiàn)：
(35)
表明如果我們考慮到，可得：
(36)
初始的近似特征向量只占簡明修改部分：
(37)
此外，考慮到初始近似特征值為：
并考慮本地化的和，我們發(fā)現(xiàn)
(38)
2.4 特征向量正?；吞卣髦?
我們現(xiàn)在描述如何隨著i近似特征向量正?；约叭绾斡嬎憬铺卣髦怠Ｎ覀冎付?
(39)
和條件
由等式（24）、（30）和的本地化，我們可以得出
（40）
然后
（41）
并且初始近似特征向量根據(jù)濃縮修改部分
（42）
我們指定初始近似特征值為
并且由等式（24）、（30）和和本地化，我們可以得到為：
（43）
這操作要求用代替
2.5 提取已取得的特征值
當(dāng)發(fā)現(xiàn)高階特征值，有必要提取使用逆冪函數(shù)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的本征解。革蘭氏Schmidt正交是用來配合等式（6）、（24）、（30）和的本地化：
（44）
并且：
（45）
方程僅由簡明修改部分得到。如果我們定義的組成部分為，那么我們可以重寫如下：
（46）
2.6 算法
本節(jié)說明一個根據(jù)擬議法創(chuàng)建算法的例子：
（1）K＝0（初始值）。和版本的特征值，特征向量和m×m矩陣（m：一定程度的修改部分）可以得出，并且mq（數(shù)目的本征解）初始近似特征向量和特征值可以使用等式（37）和（38）算出?？梢杂玫仁剑?5）算出并保存。得出的特征值按升序重新排列。
（2）K＝K＋1（計算K的特征值）。
1、當(dāng)上一步計算的近似特征值和本步驟中的近似特征值之差的絕對值除以本步驟近似特征值所除得的值大于一些指定的值（在實驗中用計算）則用逆功率近似法；當(dāng)小于時則用轉(zhuǎn)向逆功率近似法。在目前的數(shù)值試驗中，轉(zhuǎn)向的起源（是上一步驟中的近似特征值）。
2、簡明特征向量和值可由等式（32）和（33）計算得出。
3、（K－1）組的特征向量可由等式（45）計算得出。
4、簡明近似特征向量的規(guī)范化使用等式（42）和（43），并可以計算出近似值。
5、收斂測試；如果計算值被收斂，則用等式（30）所得的自由度計算特征值，否則，該程序返回到步驟1。
（3）如果沒有得到指定的一些特征值，則該程序返回到步驟（2）。
3 數(shù)值實驗
圖1. 平面框架模型（ A型）
本實驗使用的是如圖1顯示的利用有限元法求解包含關(guān)節(jié)強度的結(jié)構(gòu)框架的一般特征值問題。當(dāng)上一步的近似特征值與目前步驟中的近似特征值所確定的差的絕對值除以目前步驟中的近似特征值小于時，每一個特征值則被決定。所有的數(shù)值計算都用雙精度。計算機使用的是一個富士通FMV（賽揚處理器2.40GHz，RAM768MB，Windows XP系統(tǒng)，F(xiàn)ujitsu Fortran和C Academic Package Ver.3）。由鋼筋混凝土制成的柱子和梁都具有楊氏模量和密度。柱子和梁的橫截面分別是800mm×800mm和400mm×800mm（寬×高）。柱子的長度都是3000mm（落地式地板高度），梁的跨度都是6000mm。結(jié)構(gòu)中的每個節(jié)點有三個自由度（X方向的位移u ， Y方向的位移V和傾斜角度）。剛度矩陣A和質(zhì)量系數(shù)矩陣B中的元素值與變量的角度傾斜是對應(yīng)的，并允許是不同的層面。矩陣B表示分布式質(zhì)量，而不是集中質(zhì)量。因為通常在工程問題中的需要，前18個特征值的計算可以用兩個建議的方法和逆冪函數(shù)的方法。表1給出了數(shù)值實驗中的參數(shù)。為計算五個級別的自由度n，如圖1所顯示的修改了地點的①和②；這些列被刪除。當(dāng)只有列①被移動時標(biāo)明“m=3”，當(dāng)列①②都被移動時則標(biāo)明“m=6”。
表1 例舉參數(shù)
類型
mr
nr
n
A
8
8
216
B
12
12
468
C
16
16
816
D
20
20
1260
E
24
24
1800
F
28
28
2436
mr:存儲數(shù)目，nr:跨度，n:自由度
表2 所得特征值的舉例（類型 A,m=3）
序號
提出的方法
逆冪法
1
0.272888641053
0.272888641053
2
2.712802279429
2.712802279430
3
4.132181003310
4.132181003310
4
8.949844231526
8.949844231525
5
17.110318347381
17.110318347409
6
18.455201910472
18.455201911020
7
18.694790497310
18.694790496682
8
20.124657349311
20.124657349413
9
21.272968144586
21.272968144488
10
22.391939618166
22.391939618438
11
23.161264697183
23.161264696928
12
27.052631104578
27.052631104671
13
28.734377712798
28.734377712946
14
29.783422706474
29.783422706224
15
34.877946938428
34.877946941330
16
35.081364019585
35.081364016670
17
40.495367536585
40.495367536877
18
43.004770987907
43.004770987659
圖2.計算時間為最低特征值18（m=3）
圖3. 迭代次數(shù)（類型E，m= 3 ）
圖4. 計算時間為18最低特征值（m=6）
圖5.迭代次數(shù)（類型E，m=3）
表2列舉了一個所取得結(jié)果的例子。很顯然，本文提出的這種方法能正確計算出特征值，因為它們與其他計算方法的預(yù)測是一致的。圖 2和圖4提供了這些結(jié)果和逆冪函數(shù)方法所預(yù)測的比較（帶系數(shù)矩陣）和CPU所需要的時間。在m=3時，用逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時間大約為該逆功率方法解決整個系統(tǒng)所需時間的1/25，而且轉(zhuǎn)向逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時間大約為逆功率方法解決整個系統(tǒng)所需時間的1/100。在m = 6時 ，用逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時間大約為逆功率方法解決整個系統(tǒng)所需時間的一半，而且轉(zhuǎn)向逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分所需要的時間大約為逆功率方法解決整個系統(tǒng)所需要時間的1/30。
圖3和圖5比較了三種方法所需要的迭代次數(shù)。在m=3時，用逆功率方法解決本地系統(tǒng)修改部分的收斂迭代次數(shù)遠小于用逆功率方法解決整個系統(tǒng)的收斂迭代次數(shù)，而在m=6時，幾乎沒有區(qū)別這兩種方法。本地修改部分的逆功率轉(zhuǎn)向方法需要比其他兩種方法更少的迭代次數(shù)，保證使用這種方法時有較低的計算。
4 總結(jié)
本文提出的理論研究，其目的是利用以前獲得的數(shù)據(jù)用于未修改系統(tǒng)，使修改系統(tǒng)再分析獲得其新的特征值和特征向量，是一種穩(wěn)定且有效的分析方法。這種方法的主要特點是經(jīng)過修改可以得到一個壓縮的低階矩陣，而不論修改的規(guī)模，這矩陣為修改后的特征值和特征向量提供了一個準確的解決方案。這個較低階矩陣為大大縮短計算時間提供了解決方案。
在一個部分修改系統(tǒng)特征值分析的基本方程基礎(chǔ)上產(chǎn)生了逆功率法，并且這種方法的有效性和穩(wěn)定性證明了數(shù)值分析。在這一分析，也有人認為，修改部分的轉(zhuǎn)向逆功率分析特別有效。它比修改部分和整個系統(tǒng)的未轉(zhuǎn)向逆功率分析更急劇地減少迭代而收斂。然而，數(shù)量的計算主要是確定原系統(tǒng)的自由度，特征值和特征向量，而且代表一定修改程度的矩陣中的數(shù)據(jù)必須在采用這種方法之前就已獲得。預(yù)計該方法也可與斯特姆序列或二等分法結(jié)合進一步提高穩(wěn)定性。未來的研究需要提供這種算法的進一步驗證和處理理論方面的裁斷。
參考文獻
[1] R.L. Fox, M.P. Kapoor, Rates of eigenvalues and eigenvectors, AIAA J. 6 (1968) 2426–2429.
[2] I. Hirai, T. Yoshimura, K. Takamura, On a direct eigensolution of locally modified structure, Int. J. Numer. Methods Eng. 6 (1973) 441–442.
[3] S.A. Jasbir, Survey of structural reanalysis technique, in: ASCE ST4 Proceedings Paper, vol. 12056, 1976, pp. 783–802.
[4] U. Kirsch, Approximate structural reanalysis for optimization along a line, Int. J. Numer. Methods Eng. 18 (1982) 635–651.
[5] L. Kitis, W.D. Pilky, I. Hirai, Reanalysis, in: Finite Element Handbook, McGraw- Hill, New York, 1987.
[6] A.B. Parazzola, Vibration of locally modified mechanical and structural systems, Doctoral Thesis, University of Virginia, 1981.
[7] L.C. Rogers, Derivatives of eigenvalues and eigenvectors, AIAA J. 8 (1970) 943–945.
[8] B.P. Wang, W.D. Pilkey, Efficient reanalysis of locally modified structures, in: Proceedings of the First Chautaqua on Finite Element Modeling, Schaeffer Analysis, 1980.
[9] J.H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Press, Oxford, 1965.
[10] B.P. Wang, A.B. Parazzola, W.D. Pilkey, Reanalysis Modal Synthesis and Dynamic Design in State-of-the-Art Surveys of Finite Element Methods, ASME, 1983.
[11] I. Hirai, M. Kashiwagi, Derivatives of eigenvectors of locally modified structure, Int. J. Numer. Methods Eng. 11 (1977) 1769–1773.
[12] M. Kashiwagi, A numerical method for eigensolution of locally modified systems by Durand–Kerner like method, J. Struct. Eng. 417 (1990) 71–77.
[13] M. Kashiwagi, I. Hirai, T. Katayama, A numerical method for eigensolution of locally modified systems by a rational function approximation, J. Struct. Eng. 37A (1991) 271–278.
[14] M. Kashiwagi, I. Hirai, S. Ohwaki, W.D. Pilkey, Stable eigensolution of locally modified systems based on the Sturm sequence property, Finite Elem. Ana. Des. 9 (1991) 133–139.
[15] M. Kashiwagi, I. Hirai, T. Katayama, W.D. Pilkey, Sturm sequence recurrence formula of locally modified systems, Finite Elem. Anal. Des. 12 (1993) 31–36.
[16] T. Katayama, S. Miyamura, M. Kashiwagi, I. Hirai, Eigensolution of locally modified systems by Newton-like method, J. Struct. Eng. 38A (1992) 303–310.
[17] M. Kashiwagi, An eigensolution method of large sparse symmetric matrices by the CG method, Trans. Jpn. Soc Ind. Appl. Math. 15 (2005) 29–43.
[18] K.J. Bathe, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1982.
[19] B. Nour-omid, B.N. Parlett, R.L. Taylor, Lanczos versus subspace iteration for solution of eigenvalue problems, Int. J. Numer. Method Eng. 19 (1983) 859–971.