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2019-2020學年高二數學下學期期末考試試題 理(普通班，含解析) (I) 選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1. 已知點M的極坐標為，下列所給出的四個坐標中能表示點M的坐標是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于 和是終邊相同的角，故點M的極坐標也可表示為． 【詳解】點M的極坐標為，由于 和是終邊相同的角， 故點M的坐標也可表示為， 故選：D． 【點睛】本題考查點的極坐標、終邊相同的角的表示方法，屬于基礎題． 2. 下列點不在直線 (t為參數)上的是(　　) A. (－1，2) B. (2，－1) C. (3，－2) D. (－3，2) 【答案】D 【解析】 【分析】 求出直線的普通方程，代入各點坐標驗證即可． 【詳解】兩式相加得直線的普通方程為x+y=1， 顯然（﹣3，2）不符合方程x+y=1． 故選：D． 【點睛】消去參數的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法. 3. 將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有(　　). A. 12種 B. 10種 C. 9種 D. 8種 【答案】A 【解析】 試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有C21=2種選法；第二步，為甲地選兩個學生，有C42=6種選法；第三步，為乙地選1名教師和2名學生，有1種選法，故不同的安排方案共有261=12種，故選A． 考點：排列組合的應用． 視頻 4. 六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排 法共有(　　). A. 192種 B. 216種 C. 240種 D. 288種 【答案】B 【解析】 分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據加法原理可得結論． 解：最左端排甲，共有A55=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有C41A44=96種，根據加法原理可得，共有120+96=216種．故選：B． 視頻 5. 從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有（　?。? A. 5種 B. 6種 C. 7種 D. 8種 【答案】B 【解析】 由分步計數原理得，可選方式有23＝6種．故選B． 考點：分步乘法計數原理． 6. 已知x與y之間的一組數據：則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過（ ） x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A. (1.5，4)點 B. (1.5，0）點 C. （1，2）點 D. （2，2）點 【答案】A 【解析】 由題意：x=0+1+2+34=1.5,y=1+3+5+74=4 ，回歸方程過樣本中心點，即回歸方程過點(1.5,4) . 本題選擇A選項. 7. 在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的，則下列說法中正確的是(　　) A. 100個吸煙者中至少有99人患有肺癌 B. 1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌 C. 在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D. 在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有 【答案】D 【解析】 試題分析：∵“吸煙與患肺癌有關”的結論，有99%以上的把握認為正確，表示有99%的把握認為這個結論成立，與多少個人患肺癌沒有關系，只有D選項正確，故選D． 考點：本題主要考查獨立性檢驗。 點評：解題的關鍵是正確理解有多大把握認為這件事正確，實際上是對概率的理解。 8. 如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有（　?。? A. 72種 B. 48種 C. 24種 D. 12種 【答案】A 【解析】 試題分析：先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種，而為了讓C與AB都不一樣，則C有2種，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種，所以一共有4x3x2x3=72種，故選A。 考點：本題主要考查分步計數原理的應用。 點評：從某一區(qū)域涂起，按要求“要求相鄰的矩形涂色不同”，分步完成。 9. 某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐 班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是 A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 【答案】B 【解析】 由題意，這是一個幾何概型問題，班車每30分鐘發(fā)出一輛，到達發(fā)車站的時間總長度為40，等車不超過10分鐘的時間長度為20，故所求概率為2040=12，選B． 【名師點睛】求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度”,常見的測度有長度、面積、體積等. 10. 如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 【答案】B 【解析】 設正方形邊長為，則圓的半徑為a2，正方形的面積為a2，圓的面積為πa24.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是12?πa24a2=π8，選B. 點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算P(A). 11. 某射手射擊所得環(huán)數ξ的分布列如下: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的數學期望E(ξ)=8.9,則y的值為(　　). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】 根據分布列的概率之和是1，得到關于x和y之間的一個關系式，由變量的期望值，得到另一個關于x和y的關系式，聯立方程，解出要求的y的值． 【詳解】由表格可知：x+0.1+0.3+y=1， 7x+80.1+90.3+10y=8.9 解得y=0.4． 故選：B． 【點睛】本題考查了離散型隨機變量分布列的基本性質，考查了離散型隨機變量的期望，屬于基礎題. 12. 在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(　　). A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】 由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數，求和即可． 【詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數是：C63?C40=20．f（3，0）=20； 含x2y1的系數是C62?C41=60，f（2，1）=60； 含x1y2的系數是C61?C42=36，f（1，2）=36； 含x0y3的系數是C60?C43=4，f（0，3）=4； ∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120． 故選：C． 【點睛】本題考查二項式定理系數的性質，二項式定理的應用，考查計算能力． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. 在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知射線θ＝π4與曲線x=t+1y=(t?1)2 (t為參數)相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為________． 【答案】(52,52) 【解析】 【分析】 化極坐標方程為直角坐標方程，參數方程為普通方程，聯立可求線段AB的中點的直角坐標． 【詳解】射線θ=π4的直角坐標方程為y=x（x≥0），曲線&x=t+1&y=(t-1)2（t為參數）化為普通方程為y=（x﹣2）2， 聯立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的兩個根分別為1，4 ∴線段AB的中點的橫坐標為52，縱坐標為52 ∴線段AB的中點的直角坐標為(52,52) 故答案為：(52,52) 【點睛】本題考查化極坐標方程為直角坐標方程，參數方程為普通方程，考查直線與拋物線的交點，中點坐標公式，屬于基礎題． 14. 在8張獎券中有一、二、三等獎各1張,其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人,每人2張,不同的獲獎情況有____種.(用數字作答) 【答案】60 【解析】 試題分析：當一，二，三等獎被三個不同的人獲得，共有種不同的方法，當一，二，三等獎被兩個不同的人獲得，即有一個人獲得其中的兩個獎，共有,所以獲獎的不同情況有種方法,故填：60. 考點：排列組合 【方法點睛】本題主要考察了排列組合和分類計數原理，屬于基礎題型，重點是分析不同的獲獎情況包含哪些情況，其中一，二，三等獎看成三個不同的元素，剩下的5張無獎獎券看成相同元素，那8張獎券平均分給4人，每人2張，就可分為三張獎券被3人獲得，或是被2人獲得的兩種情況，如果是被3人獲得，那這4組獎券就可看成4個不同的元素的全排列，如何2人獲得，3張獎券分為2組，從4人挑2人排列，最后方法相加. 視頻 15. 4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率是________ 【答案】78 【解析】 【分析】 求得4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動、周六、周日都有同學參加公益活動的情況，利用古典概型概率公式求解即可． 【詳解】4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，共有24=16種情況， 周六、周日都有同學參加公益活動，共有24﹣2=16﹣2=14種情況， ∴所求概率為1416=78． 故答案為：78． 【點睛】有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數：1．基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉；2．注意區(qū)分排列與組合，以及計數原理的正確使用． 16. 隨機變量X的分布列是 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 則EX,DX分別是________ 【答案】2,0.8 【解析】 【分析】 于已知分布列，故可直接使用公式求期望、方差． 【詳解】Eξ=10.4+20.2+30.4=2， Dξ=（1﹣2）20.4+（2﹣2）20.2+（3﹣2）20.4=0.8． 故答案為：2,0.8． 【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布和數學期望、方差等基礎知識，熟記期望、方差的公式是解題的關鍵． 三、解答題(本大題共6小題，70分) 17. 某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法． 【答案】37 【解析】 試題分析：解：首先分類的標準要正確，可以選擇“只會排版”、“只會印刷”、“既會排版又會印刷”中的一個作為分類的標準．下面選擇“既會排版又會印刷”作為分類的標準，按照被選出的人數，可將問題分為三類： 第一類：2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，有3種選法；只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數原理知共有31=3種選法． 第二類：2人中被選出一人，有2種選法．若此人去排版，則再從會排版的3人中選1人，有3種選法，只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數原理知共有231=6種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的2人中選1人，有2種選法，從會排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計數原理知共有232=12種選法；再由分類計數原理知共有6+12=18種選法． 第三類：2人全被選出，同理共有16種選法． 所以共有3+18+16=37種選法． 考點：本題主要考查分類、分步計數原理的綜合應用。 點評：是一道綜合性較強的題目，分類中有分步，要求有清晰的思路。首先將人員分屬集合，按集合分類法處理，對不重不漏解題有幫助。 視頻 18. 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數相等，所出次品數分別為X1，X2，且X1和X2的分布列為： 0 1 2 0 1 2 試比較兩名工人誰的技術水平更高． 【答案】工人乙的技術水平更高 【解析】 【分析】 計算平均數與方差，即可得出結論． 【詳解】∵EX1=0610+1110+2310=0.7，EX2=0510+1310+2210=0.7． ∴EX1=EX2，說明兩人出的次品數相同，可以認為他們技術水平相當， 又∵DX1=(0-0.7)2610+(1-0.7)2110+(2-0.7)2310=0.81， DX2=(0-0.7)2510+(1-0.7)2310+(2-0.7)2210=0.61． ∴DX1>DX2，∴工人乙的技術比較穩(wěn)定. ∴可以認為工人乙的技術水平更高. 【點睛】本題考查平均數與方差的實際意義，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 19. 張華同學上學途中必須經過A，B，C，D四個交通崗，其中在A，B崗遇到紅燈的概率均為12，在C，D崗遇到紅燈的概率均為13．假設他在4個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，X表示他遇到紅燈的次數． （1）若x≥3，就會遲到，求張華不遲到的概率；（2）求EX． 【答案】（1）2936（2）見解析 【解析】 試題分析：先求出張華遲到P(X=3)=C21(12)2(13)2+C21(12)21323=16；P(X=4)=(12)2(13)2=136．再求出不遲到的概率P(X≤2)=1?P(X=3)?P(X=4)=2936?！郋X=019+113+21336+316+4136=53 試題解析：（1）P(X=3)=C21(12)2(13)2+C21(12)21323=16；P(X=4)=(12)2(13)2=136． 故張華不遲到的概率為P(X≤2)=1?P(X=3)?P(X=4)=2936． （2）X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 19 13 1336 16 136 ∴EX=019+113+21336+316+4136=53． 考點：離散型隨機變量及其分布列數學期望。 20. 為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下： 性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （2）請根據上面的數據分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關嗎？ 【答案】（1）14%（2）有99%的把握 【解析】 試題分析：（1）由列聯表可知調查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，兩個數據求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據列聯表所給的數據，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結果，把觀測值的結果與臨界值進行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關. 試題解析： 解：（1）調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為 （2）根據表中數據計算得：。 由于9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關。 考點：獨立性檢驗. 21. 某城市理論預測xx年到xx人口總數與年份的關系如下表所示 年份xx+x（年） 0 1 2 3 4 人口數y（十萬） 5 7 8 11 19 請根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程； (2) 據此估計xx該城市人口總數。 【答案】（1）=3.2x+3.6（2）196 【解析】 試題分析：（1）先求出五對數據的平均數，求出年份和人口數的平均數，得到樣本中心點，把所給的數據代入公式，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數，再求出a的值，從而得到線性回歸方程； （2）把x=5代入線性回歸方程，得到∧y=19.6，即xx該城市人口數大約為19.6（十萬）. 試題解析： 解：（1）， = 05+17+28+311+419=132， = 故y關于x的線性回歸方程為∧y=3.2x+3.6 （2）當x=5時，∧y=3.2x+3.6，即∧y=19.6 據此估計xx該城市人口總數約為196萬. 考點：線性回歸方程. 22. 在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25． （Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； （Ⅱ）直線的參數方程是x=tcosαy=tsinα（為參數）,與C交于A,B兩點，|AB|=10，求的斜率． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用，化簡即可求解；（Ⅱ）先將直線化成極坐標方程，將的極坐標方程代入的極坐標方程得，再利用根與系數的關系和弦長公式進行求解. 試題解析：（Ⅰ）化圓的一般方程可化為.由，可得圓的極坐標方程. （Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為. 設，所對應的極徑分別為，，將的極坐標方程代入的極坐標方程得. 于是，. . 由得，. 所以的斜率為或. 視頻