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寒假訓練07點、線、面的位置關系 典題溫故 [2018吉安月考]四面體如圖所示，過棱的中點作平行于，的平面，分別交四面體的棱，，于點，，．證明：四邊形是平行四邊形． 【答案】見解析． 【解析】由題設知，平面，又平面平面，平面平面，，，． 同理，，． 故四邊形是平行四邊形． 一、選擇題 1．[2018天河區(qū)期末]設，是兩條直線，，是兩個平面，若，，，則內(nèi)與相交的直線與的位置關系是（） A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 2．[2018汕頭月考]如果直線平面，，那么過點且平行于的直線（） A．只有一條，不在平面內(nèi) B．有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi) C．只有一條，且在平面內(nèi) D．有無數(shù)條，一定在平面內(nèi) 3．[2018田家炳中學]下列說法中正確的是（） A．平行于同一直線的兩個平面平行 B．垂直于同一直線的兩個平面平行 C．平行于同一平面的兩條直線平行 D．垂直于同一直線的兩條直線平行 4．[2018天津期末]已知平面，，下列命題錯誤的是（） A．若，則內(nèi)所有直線都垂直于 B．如果不垂直于，那么內(nèi)不存在直線垂直于 C．若，則內(nèi)一定存在直線平行于 D．若，則經(jīng)過內(nèi)一點與垂直的直線在內(nèi) 5．[2018長安月考]在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是（） A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或平行 6．[2018菏澤模擬]若三個平面兩兩相交，則它們的交線條數(shù)是（） A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條 7．[2018重慶期末]從空間一點向二面角的兩個面，分別作垂線，，，為垂足，若，則二面角的平面角的大小是（） A． B． C．或 D．不確定 8．[2018天河區(qū)期末]如圖所示，在三棱錐中，、、、分別是棱、、、的中點，則與的位置關系是（） A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面 9．[2018邢臺期末]下列說法中，正確的個數(shù)是（） ①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個平面相交； ②一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面都平行； ③經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線，有一個平面與另一條直線平行； ④兩條相交直線，其中一條與一個平面平行，則另一條一定與這個平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 10．[2018南開模擬]在正方體中，若經(jīng)過的平面分別交和于點，，則四邊形的形狀是（） A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形 11．[2018大慶實驗中學]正方體中為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值（） A． B． C． D． 12．[2018張家界期末]如圖，在三棱錐中，底面，，則直線與平面所成角的大小為（） A． B． C． D． 二、填空題 13．[2018雅安模擬]經(jīng)過平面外兩點可作該平面的平行平面的個數(shù)是________． 14．[2018綿陽期中]如圖所示，已知三棱錐的三個側(cè)面與底面全等，且，，則二面角的大小為________． 15．[2018廣州期末]在正三棱柱中，各棱長均相等，與的交點為，則與平面所成角的大小是________． 16．[2018宜昌一中]如圖，四棱柱的底面是平行四邊形， 且，，，分別是的中點，，若，則異面直線與所成角的余弦值為______． 三、解答題 17．[2018靜寧縣一中]如圖所示，在空間四邊形各邊，，，上分別取，，，四點，如果，交于一點，求證：點在直線上． 18．[2018北京四中]已知：正方體，如圖， （1）若、為、的中點，畫出過、、的截面； （2）若、、為、、上的點（均不與重合），求證：是銳角三角形．  寒假訓練07點、線、面的位置關系 一、選擇題 1．【答案】C 【解析】條件即為線面平行的性質(zhì)定理，所以，又與無公共點，故選C． 2．【答案】C 【解析】根據(jù)公理2的推論，直線和直線外一點確定一個平面，再結(jié)合，線面平行的性質(zhì)定理，可知C選項正確． 3．【答案】B 【解析】A，平行于同一直線的兩個平面平行或相交，故錯誤 B，垂直于同一直線的兩個平面平行，故正確 C，平行于同一平面的兩條直線平行，相交或異面直線，故錯誤 D，垂直于同一直線的兩條直線平行，相交或異面直線，故錯誤 故選B． 4．【答案】A 【解析】如圖， 平面，，，且不垂直于平面，故A不正確，故選A． 5．【答案】B 【解析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，可知母線垂直于圓柱的兩個底面，已知另一底面的垂線上的點不在底面圓周上，故這條垂線與圓柱的母線所在直線平行，故選B． 6．【答案】D 【解析】如圖，三個平面兩兩相交有1條交線的情況，也有3條交線的情況，故選D． 7．【答案】C 【解析】就是兩個平面和的法向量的夾角，它與二面角的平面角相等或 互補，故二面角的平面角的大小為或．故選C． 8．【答案】A 【解析】∵、分別是和的中點，∴． 同理可證，∴． 9．【答案】C 【解析】①正確； ②錯誤，如圖1所示， ，而，； ③正確，如圖2所示， 在正方體中，直線與直線異面，平面，且平面，故③正確； ④錯誤，直線還可能與平面相交．由此可知，①③正確，故選C． 10．【答案】C 【解析】∵平面平面，平面平面，平面平面，∴， 同理可得：，∴四邊形是平行四邊形，故選C． 11．【答案】B 【解析】取的中點為點，的中點為點，連接，，， 平行于，平行于，故平行于，則三角形中，角或其補角為所求，設正方形邊長為2，根據(jù)三角形的三邊關系得到， 故，，故，， 由余弦定理得到角的余弦值為．故答案為B． 12．【答案】B 【解析】由題意可知，底面，所以為直線與平面所成角，，所以三角形為等腰直角三角形，所以，故選B． 二、填空題 13．【答案】0或1 【解析】若平面外兩點所在直線與該平面相交，則過這兩個點不存在平面與已知平面平行；若平面外兩點所在直線與該平面平行，則過這兩個點存在唯一的平面與已知平面平行．故答案為0或1． 14．【答案】 【解析】如圖，由題意知，． 取的中點，連接、， 則，，所以為所求二面角的平面角．易得， 又，所以． 15．【答案】 【解析】如圖所示，取的中點，連接，， 易得平面，則與平面所成的角為，設正三棱柱棱長為2，則，，所以，所以． 16．【答案】 【解析】取的中點為點，連接，，在三角形中，求線線角即可，，，連接，根據(jù)三角形三邊關系得到，，，在三角形應用余弦定理得到夾角的余弦值為，故答案為． 三、解答題 17．【答案】證明見解析． 【解析】∵，∴且． 又∵平面，平面，∴平面，且平面， 又平面平面，平面平面，由公理3可得． ∴點在直線上． 18．【答案】（1）畫圖見解析．（2）證明見解析． 【解析】（1） （2）證明：設，，， 則，，， 則中，， 同理可得，， 則、、均為銳角，即是銳角三角形．