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第07節(jié) 解三角形及其應用舉例 班級__________ 姓名_____________ 學號___________ 得分__________ 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1.【2018年全國卷II理】1．海上兩小島到海洋觀察站的距離都是，小島在觀察站的北偏東，小島在觀察站的南偏東，則與的距離是( ) A. B. C. D. 【答案】C 2．一船沿北偏西方向航行，正東有兩個燈塔A,B, 海里，航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏東，另一燈塔在船的南偏東，則這艘船的速度是每小時 （ ） A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 如圖所示,∠COA=135,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15,∠OAC=30，AB=10，∴AC=10. △AOC中,由正弦定理可得， ∴， ∴， ∴這艘船的速度是每小時海里， 本題選擇D選項. 3．如圖，有一長為的斜坡，它的傾斜角為，現(xiàn)要將傾斜角改為，則坡底要加長（　　） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 32 【答案】B 【解析】設坡頂為A，A到地面的垂足為D，坡底為B，改造后的坡底為C，根據(jù)題意要求得BC的長度，如圖 ∵∠ABD=，∠C=， ∴∠BAC=. ∴AB=BC， ∴BC=1， 即坡底要加長1km. 故選B. 4．如圖，在海岸線上相距千米的A、C兩地分別測得小島B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且，則BC之間的距離是 A. 千米 B. 30千米 C. 千米 D. 12千米 【答案】D 【解析】依題意得，AC=，sinA=sin(+α)=cosα=． sinB=sin(-2α)=cos2α=2cos2α-1=， 在ΔABC中，由正弦定理得， =12． 則C與B的距離是12km． 6.如圖，在三角形ABC中，點 在 邊上，， ， ,則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意，根據(jù)條件知為等邊三角形，則，，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，則，故正確答案為D. 7．【山東省青島市2018年春季高考二模】如圖所示，設，兩點在河的兩岸，一測量者在所在的同側河岸邊選定一點，測出的距離為，，后，就可以計算出，兩點的距離為 A． B． C． D． 【答案】A 8.【2018屆湖北省穩(wěn)派教育第二次聯(lián)考】如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，且滿足 A． B． C． D． 0 【答案】D 9.【2018屆廣西二模】我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了三角形三邊求三角形面積的“三斜求積公式”，設三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，則“三斜求積公式”為.若，，則用“三斜求積公式”求得的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 可得， 由 可得， 整理計算有：， 結合三角形面積公式可得： . 本題選擇D選項. 10.【2018屆安徽亳州市渦陽一中最后一卷】已知銳角的內(nèi)角為，，，點為上的一點，，，，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根據(jù)極限位置，可得當時，， 當時，，從而可得的取值范圍. 詳解：中，由余弦定理可得， ，， 中，由正弦定理得，， 得， 當時，， 當時，， 為銳角三角形， ， 的取值范圍為，故選A. 二、填空題：本大題共7小題，共36分． 11.【2018屆安徽省示范高中（皖江八校）5月聯(lián)考】如圖，《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，現(xiàn)被風折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為__________尺． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，列出等式關系，聯(lián)立即可求解. 詳解：如圖，已知（尺），（尺），， ∴，解得， 因此，解得， 故折斷后的竹干高為尺. 12.【2018屆吉林省吉大附中四?！繛榱嗽谝粭l河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁 (如圖)，要測算兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線，測得，，就可以計算出兩點的距離為__________． 【答案】 13.如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔的南偏西，距燈塔68海里的處，下午2時到達這座燈塔的東南方向處，則該船航行的速度為__________海里/小時. 【答案】 【解析】 如圖,在△MNO中，由正弦定理可得， ， 則這艘船的航行速度 (海里/小時). 14.【2018屆貴州省凱里市第一中學《黃金卷》三】如圖，為測量一座山的高度，某勘測隊在水平方向的觀察點， 測得山頂?shù)难鼋欠謩e為， ，且該兩點間的距離是米，則此山的豎直高度為__________米（用含， ， 的式子表達）． 【答案】 【解析】如圖在中有，則． 在中， ，則 故高度： ． 故答案為： 15．【2018年衡水金卷調(diào)研卷三】某港口停泊兩艘船，大船從港口出發(fā)，沿東偏北60方向行駛2.5小時后，小船開始向正東方向行駛，小船出發(fā)1.5小時后，大船接到命令，需要把一箱貨物轉到小船上，便折向駛向小船，期間，小船行進方向不變，從大船折向開始，到與小船相遇，最少需要的時間是__________小時． 【答案】3.5 【解析】 設港口為O，小船行駛1.5小時到達B，此時大船行駛到A，大船折向按方向行駛，大船與小船同時到達C點時，用時最少. 設從A到C，大船行駛時間為t，則OA=， .由余弦定理得，即 ∴，解得 即最少需要3.5小時. 16. 如圖，一棟建筑物的高為(30－10)m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別為15和60，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30，則通信塔CD的高為________ m. 【答案】60 【解析】設AE⊥CD，垂足為E，則 在△AMC中, ， 由正弦定理得： ， ∴， ∴， ∴， 故答案為60. 17.【2018屆四川省綿陽市三診】如圖，在中， ， ， 的垂直平分線與分別交于兩點，且，則__________． 【答案】 【解析】分析：連接，因為是中垂線，所以.在中，由正弦定理得到與角的關系.在直角三角形中， ，兩者結合可得的大小，從而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得 . . 詳解：由題設，有，所以，故. 又， 所以，而，故， 因此為等腰直角三角形，所以. 在中， ，所以，故， 在中， . 三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 18.【河北省邯鄲市2017-2018學年高二下期末】如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30方向逃竄,同時,該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上. （1）求該軍艦艇的速度. （2）求的值. 【答案】（1）14海里/小時；（2）. 【解析】分析：（1）由題設可以得到的長，在中利用余弦定理可以得到的長，從而得到艦艇的速度； （2）在中利用正弦定理可得的值. 詳解：(1)依題意知，，， 在中， 由余弦定理得 ， 解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時． (2)在中，由正弦定理，得，即． 19. 如圖，是兩個小區(qū)所在地，到一條公路的垂直距離分別為，兩端之間的距離為. （1）某移動公司將在之間找一點，在處建造一個信號塔，使得對的張角與對的張角相等，試確定點的位置； （2）環(huán)保部門將在之間找一點，在處建造一個垃圾處理廠，使得對所張角最大，試確定點的位置. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】試題分析： (1)利用張角相等的相似性即可確定點P的位置； (2)由題意得到三角函數(shù)，換元之后結合對勾函數(shù)的性質(zhì)可得當時滿足題意. 試題解析： （1）張角相等，∴，∴ (2)設，∴， ∴，， ，設，，，， ∴ ，， 當且僅當時，等號成立，此時，即 20.如圖，在某海濱城市附近的海面上正形成臺風。據(jù)氣象部門檢測，目前臺風中心位于城市的南偏東方向的海面處，并以的速度向北偏西方向移動.如果臺風侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為，并以的速度不斷增大.幾小時后該城市開始受到臺風侵襲（精確到）？ 【答案】4.1小時． 解：根據(jù)題意可設小時后臺風中心到達點， 該城市開始受到臺風侵襲，如圖中，， ，，， 由余弦定理得， ， 化簡得， 解得. 答：大約4.1小時后該城市開始受到臺風的侵襲。 21.【2018屆江蘇南京溧水高級中學期初模擬】如圖，在海岸線一側處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設立了兩個報名點，滿足中任意兩點間的距離為.公司擬按以下思路運作：先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉點處(點異于兩點)，然后乘同一艘輪游輪前往島．據(jù)統(tǒng)計，每批游客處需發(fā)車2輛， 處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費元，游輪每千米耗費元．（其中是正常數(shù)）設∠，每批游客從各自報名點到島所需運輸成本為元． (1) 寫出關于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍； (2) 問：中轉點距離處多遠時， 最??？ 【答案】(1) ；（2）. 【解析】試題分析：（1）在中，求出相關的角，利用正弦定理，求出，表示出所需運輸成本為元關于的函數(shù)表達式；（2）利用函數(shù)表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)的符號，判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值. 試題解析：(1) 由題知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α. 由正弦定理知， 即CD＝， AD＝， 所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a ＝a＋80a ＝a＋60a 22.【2018屆上海市徐匯區(qū)二?！咳鐖D，某快遞小哥從地出發(fā)，沿小路以平均速度為20公里小時送快件到處，已知公里，，是等腰三角形，． （1）試問，快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到處？ （2）快遞小哥出發(fā)15分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車的平均速度為60公里小時，問，汽車能否先到達處？ 【答案】(1)快遞小哥不能在50分鐘內(nèi)將快件送到處． (2)汽車能先到達處． 【解析】試題分析：（1）由題意結合圖形，根據(jù)正弦定理可得，，求得的長，又，可求出快遞小哥從地到地的路程，再計算小哥到達地的時間，從而問題可得解； （2）由題意，可根據(jù)余弦定理分別算出與的長，計算汽車行馳的路程，從而求出汽車到達地所用的時間，計算其與步小哥所用時間相差是否有15分鐘，從而問題可得解. （2）在中，由， 得（公里）， 在中，，由， 得（公里），- 由（分鐘） 知，汽車能先到達處．