《2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例（第1課時）高度、距離問題學案（含解析）新人教B版必修5.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例（第1課時）高度、距離問題學案（含解析）新人教B版必修5.docx（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第1課時　高度、距離問題 學習目標　1.會用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關不可到達點距離的測量問題.2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力． 知識點一　實際應用問題中的有關術語 1．鉛垂平面 與地面垂直的平面． 2．仰角和俯角 與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角．目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示． 3．視角 觀察物體時，從物體兩端引出的光線在人眼光心處形成的角． 知識點二　測量方案 測量某個量的方法有很多，但是在實際背景下，有些方法可能沒法實施，比如直接測量某樓高．這個時候就需要設計方案繞開障礙間接地達到目的．設計測量方案的基本任務是把目標量轉化為可測量的量，并盡可能提高精確度．一般來說，基線越長，精確度越高． 1．已知三角形的三個角，能夠求其三條邊．(　　) 2．兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解．(　√　) 3．兩點間可視但不可到達問題的測量方案實質是構造已知兩角及一邊的三角形并求解．(　√　) 題型一　測量高度問題 例1　如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30和45，則A點離地面的高AB等于(　　) A．10m B．5m C．5(－1) m D．5(＋1) m 答案　D 解析　方法一　設AB＝xm，則BC＝xm. ∴BD＝(10＋x)m. ∴tan∠ADB＝＝＝. 解得x＝5(＋1)． ∴A點離地面的高AB等于5(＋1)m. 方法二　∵∠ACB＝45，∴∠ACD＝135， ∴∠CAD＝180－135－30＝15. 由正弦定理，得AC＝sin∠ADC ＝sin30＝m， ∴AB＝ACsin45＝5(＋1)m. 反思感悟　利用正弦、余弦定理來解決實際問題時，要從所給的實際背景中，進行加工、提煉，抓住本質，抽象出數(shù)學模型，使之轉化為解三角形問題． 跟蹤訓練1　江岸邊有一炮臺C高30m，江中有兩條船B，A，船與炮臺底部D在同一直線上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，則兩條船相距________m. 答案　30(－1) 解析　在△ABC中，由題意可知AC＝＝60(m)， BC＝＝30(m)，∠ACB＝15， AB2＝(30)2＋602－23060cos15＝1800(2－)， 所以AB＝30(－1)m. 題型二　測量距離問題 例2　如圖，為測量河對岸A，B兩點的距離，在河的這邊測出CD的長為km，∠ADB＝∠CDB＝30，∠ACD＝60，∠ACB＝45，求A，B兩點間的距離． 解　在△BCD中，∠CBD＝180－30－105＝45， 由正弦定理得＝， 則BC＝＝(km)． 在△ACD中，∠CAD＝180－60－60＝60， ∴△ACD為正三角形， ∴AC＝CD＝(km)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 45 ＝＋－2＝， ∴AB＝(km)． ∴河對岸A，B兩點間的距離為km. 反思感悟　測量兩個不可到達的點之間的距離，一般是把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把求未知的另外邊長問題轉化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題，運用正弦定理解決． 跟蹤訓練2　要測量河對岸兩地A，B之間的距離，在岸邊選取相距100米的C，D兩點，并測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求A，B兩地的距離． 解　如圖在△ACD中，∠CAD＝180－(120＋30)＝30， ∴AC＝CD＝100(米)． 在△BCD中，∠CBD＝180－(45＋75)＝60， 由正弦定理得BC＝＝200sin 75(米)． 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝(100)2＋(200sin 75)2－2100200sin 75cos 75 ＝1002 ＝10025， ∴AB＝100(米)． ∴河對岸A，B兩點間的距離為100米． 三角測量中的數(shù)學抽象 典例　如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝，cosC＝.求索道AB的長． 解　在△ABC中，因為cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝＋＝. 由＝，得AB＝sin C＝＝1 040(m)． 所以索道AB的長為1 040 m. [素養(yǎng)評析]　數(shù)學抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象．在本例中，我們舍去A，B，C三處的景致、海拔、經(jīng)度、緯度等非本質屬性，得到純粹的三個點，舍掉步行、乘纜車、速度等表征，直接抽象出線段AC，AB的長，都屬于數(shù)學抽象. 1．如圖，在河岸AC上測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是 (　　) A．a(chǎn)，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ 答案　D 解析　由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故選D. 2．如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側，在A所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，可以計算出A，B兩點的距離為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．50m B．50m C．25m D.m 答案　A 解析　∠ABC＝180－45－105＝30，在△ABC中，由＝，得AB＝100＝50 m. 3．如圖，某人向正東方向走了x千米，然后向右轉120，再朝新方向走了3千米，結果他離出發(fā)點恰好千米，那么x的值是________． 答案　4 解析　由余弦定理，得x2＋9－3x＝13， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍負)． 4．如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點共圓，則AC的長為________km. 答案　7 解析　因為A，B，C，D四點共圓，所以D＋B＝π. 在△ABC和△ADC中， 由余弦定理可得82＋52－285cos(π－D) ＝32＋52－235cos D， 整理得cos D＝－， 代入得AC2＝32＋52－235＝49，故AC＝7. 1．運用正弦定理就能測量“一個可到達點與一個不可到達點間的距離”，而測量“兩個不可到達點間的距離”要綜合運用正弦定理和余弦定理．測量“一個可到達點與一個不可到達點間的距離”是測量“兩個不可到達點間的距離”的基礎，這兩類測量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別． 2．正弦、余弦定理在實際測量中的應用的一般步驟 (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖． (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解． (4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解. 一、選擇題 1．海上有A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是(　　) A．10nmile B.nmile C．5nmile D．5nmile 答案　D 解析　在△ABC中，C＝180－60－75＝45. 由正弦定理得＝，∴＝， 解得BC＝5 (nmile)． 2.學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30，則其跨度AB的長為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．12mB．8mC．3mD．4m 答案　D 解析　由題意知，∠A＝∠B＝30， 所以∠C＝180－30－30＝120， 由正弦定理，得＝， 即AB＝＝＝4. 3．在某個位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在地面上前進600m后測得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進200m以后測得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為(　　) A．200mB．300mC．400mD．100m 答案　B 解析　方法一　如圖，△BED，△BDC為等腰三角形， BD＝ED＝600 m，BC＝DC＝200 m. 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝＝， 又∵0＜2θ＜180， ∴2θ＝30，4θ＝60. 在Rt△ABC中， AB＝BCsin 4θ＝200＝300(m)， 故選B. 方法二　由于△BCD是等腰三角形，BD＝DCcos 2θ， 即300＝200cos 2θ， ∴cos 2θ＝，又0＜2θ＜180，∴2θ＝30，4θ＝60. 在Rt△ABC中， AB＝BCsin 4θ＝200＝300(m)， 故選B. 4．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A－C－B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC＝10km，∠A＝30，∠B＝45，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走(結果精確到0.1 km)(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)(　　) A．3.4km B．2.3km C．5.1km D．3.2km 答案　A 解析　過點C作CD⊥AB，垂足為D. 在Rt△CAD中，∠A＝30，AC＝10 km， CD＝ACsin 30＝5(km)， AD＝ACcos 30＝5(km)． 在Rt△BCD中，∠B＝45，BD＝CD＝5(km)， BC＝＝5(km)． AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)， AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5) ＝5＋5－5≈5＋51.41－51.73 ＝3.4(km)． 5．某人在C點測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進10m到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為(　　) A．15m B．5m C．10m D．12m 答案　C 解析　如圖，設塔高為h， 在Rt△AOC中，∠ACO＝45， 則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30， 則OD＝h. 在△OCD中，∠OCD＝120，CD＝10， 由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OCCDcos∠OCD， 即(h)2＝h2＋102－2h10cos120， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)． 6．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500m，則電視塔在這次測量中的高度是(　　) A．100m B．400m C．200m D．500m 答案　D 解析　由題意畫出示意圖，設高AB＝h， 在Rt△ABC中，由已知得BC＝h， 在Rt△ABD中，由已知得BD＝h， 在△BCD中， 由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD， 即3h2＝h2＋5002＋h500， 解得h＝500或h＝－250(舍)． 二、填空題 7.如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點，測得∠ACB＝60，∠BCD＝45，∠ADB＝60，∠ADC＝30，則A，B兩點之間的距離是______． 答案　20米 解析　在△BCD中，∠BDC＝60＋30＝90，∠BCD＝45， ∴∠CBD＝90－45＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝＝40. 在△ACD中，∠ADC＝30，∠ACD＝60＋45＝105， ∴∠CAD＝180－(30＋105)＝45. 由正弦定理，得AC＝＝20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝BC2＋AC2－2BCACcos∠BCA ＝(40)2＋(20)2－24020cos60 ＝2400， ∴AB＝20， 故A，B兩點之間的距離為20米． 8．如圖所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30，∠CBA＝75，AB＝120m，則河的寬度為________m. 答案　60 解析　在△ABC中，∠CAB＝30， ∠CBA＝75， ∴∠ACB＝75，∠ACB＝∠ABC， ∴AC＝AB＝120(m)． 如圖，作CD⊥AB，垂足為D，則CD即為河的寬度． 由正弦定理得＝， ∴＝，∴CD＝60，∴河的寬度為60m. 9．地平面上一旗桿設為OP，為測得它的高度h，在地平面上取一基線AB，AB＝200m，在A處測得P點的仰角為∠OAP＝30，在B處測得P的仰角∠OBP＝45，又測得∠AOB＝60，則旗桿的高h為________m. 答案　 解析　如圖．OP＝h，∠OAP＝30，∠OBP＝45，∠AOB＝60，AB＝200m. 在△AOP中，∵OP⊥OA， ∴∠AOP＝90，則OA＝＝h， 同理，在△BOP中，∠BOP＝90，且∠OBP＝45，∴OB＝OP＝h. 在△OAB中，由余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2OAOBcos∠AOB， 即2002＝3h2＋h2－2h2cos60， 解得h＝. 10.我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和點D處，已知CD＝6km，∠ACD＝45，∠ADC＝75，目標出現(xiàn)于地面點B處時，測得∠BCD＝30，∠BDC＝15(如圖)，則我炮兵陣地到目標的距離為________km. 答案　 解析　在△ACD中， ∠CAD＝180－∠ACD－∠ADC＝60，∠ACD＝45， 根據(jù)正弦定理，有AD＝＝CD， 同理，在△BCD中， ∠CBD＝180－∠BCD－∠BDC＝135，∠BCD＝30， 根據(jù)正弦定理，有BD＝＝CD， 在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90， 根據(jù)勾股定理， 有AB＝＝CD ＝CD＝， 所以我炮兵陣地到目標的距離為km. 三、解答題 11．如圖所示，在高出地面30m的小山頂上建造一座電視塔CD，今在距離B點60m的地面上取一點A，若測得∠CAD＝45，求此電視塔的高度． 解　設CD＝xm，∠BAC＝α， 則在△ABC中，tanα＝＝. ∵∠DAB＝45＋α， tan∠DAB＝＝＝tan(45＋α)， 又tan(45＋α)＝＝3， ∴＝3，解得x＝150. ∴電視塔的高度為150m. 12.一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由A點開始做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如圖所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAD＝45，若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？ 解　設機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，連接BC，如圖所示， 設BC＝xdm， 由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45， 解得x1＝5，x2＝. 所以AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)． 所以該機器人最快可在線段AD上離A點7dm的點C處截住足球． 13．如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m 答案　C 解析　由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75－30＝45，∠ABC＝180－45－30＝105，由正弦定理， 得BC＝＝＝120(－1)(m)． 14.在某次地震時，震中A(產(chǎn)生震動的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B，C，D.已知B，C兩市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D兩市之間，如圖所示，某時刻C市感到地表震動，8s后B市感到地表震動，20s后D市感到地表震動，已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距離． 解　在△ABC中，由題意得AB－AC＝1.58＝12 (km)． 在△ACD中，由題意得AD－AC＝1.520＝30(km)． 設AC＝x km，AB＝(12＋x) km，AD＝(30＋x)km. 在△ABC中，cos∠ACB＝ ＝＝， 在△ACD中，cos∠ACD＝ ＝＝. ∵B，C，D在一條直線上，∴＝－， 即＝，解得x＝. ∴AB＝ km，AD＝ km.即震中A到B，C，D三市的距離分別為 km， km， km.