《（浙江專用）2019高考數學二輪復習精準提分 第三篇 滲透數學思想提升學科素養(yǎng)（一）函數與方程思想、數形結合思想試題.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2019高考數學二輪復習精準提分 第三篇 滲透數學思想提升學科素養(yǎng)（一）函數與方程思想、數形結合思想試題.docx（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1函數與方程思想、數形結合思想
數學教學的最終目標，是要讓學生會用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數學的思維思考現(xiàn)實世界．數學素養(yǎng)就是指學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性能力，數學核心素養(yǎng)高于具體的數學知識技能，具有綜合性、整體性和持久性，反映數學本質與數學思想，數學核心素養(yǎng)是數學思想方法在具體學習領域的表現(xiàn)．二輪復習中如果能自覺滲透數學思想，加強個人數學素養(yǎng)的培養(yǎng)，就會在復習中高屋建瓴，對整體復習起到引領和導向作用．
一、函數與方程思想在不等式中的應用
函數與不等式的相互轉化，把不等式轉化為函數，借助函數的圖象和性質可解決相關的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數思想構造新函數，建立函數關系求解.
1．設0
0，則f′(x)＝ex－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且f(0)＝0，f(x)>0，
∴ex－1>x，即ea－1>a.
又y＝ax(0ae，
從而ea－1>a>ae.
2．已知定義在R上的函數g(x)的導函數為g′(x)，滿足g′(x)－g(x)<0，若函數g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且g(4)＝1，則不等式>1的解集為________．
答案 (－∞，0)
解析 ∵函數g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，∴g(0)＝g(4)＝1.
設f(x)＝，則f′(x)＝＝.
又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R上單調遞減．
又f(0)＝＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.
3．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，則實數x的取值范圍是__________________．
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
問題轉化為m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，
當x＝2時，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.
問題轉化為g(m)在上恒大于0，
則即
解得x>2或x<－1.
4．若x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是_______.
答案 [－6，－2]
解析 當－2≤x<0時，不等式轉化為a≤.
令f(x)＝(－2≤x<0)，
則f′(x)＝＝，
故f(x)在[－2，－1]上單調遞減，在(－1,0)上單調遞增，
此時有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
當x＝0時，不等式恒成立．
當00,
設Sn＝f(n)，則f(n)為二次函數，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的圖象開口向上，關于直線n＝12對稱，
故Sn取最小值時n的值為12.
8．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝－2，S6＝3，則nSn的最小值為_______．
答案 －9
解析 由解得a1＝－2，d＝1，所以Sn＝，故nSn＝.
令f(x)＝，則f′(x)＝x2－5x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
∴f(x)在上單調遞減，在上單調遞增．
又∵n是正整數，當n＝3時，nSn＝－9，n＝4時，
nSn＝－8，故當n＝3時，nSn取得最小值－9.
三、函數與方程思想在解析幾何中的應用
解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標、離心率、幾何量等經常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關系問題，可以通過轉化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉化為求函數的值域、最值，用函數的思想分析解答.
9．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為( )
A．2B．4C．6D．8
答案 B
解析 不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，圓的方程設為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，
又可設A(x0，2)，D，
點A(x0，2)在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，①
點A(x0，2)在圓x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②
點D在圓x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2，③
聯(lián)立①②③，解得p＝4(負值舍去)，即C的焦點到準線的距離為p＝4，故選B.
10．如圖，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，若∠PAQ＝60，且＝3，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 因為∠PAQ＝60，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，設|AQ|＝2R，
又＝3，則|OP|＝|PQ|＝R.
雙曲線C的漸近線方程是y＝x，A(a，0)，
所以點A到直線y＝x的距離
d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos60
＝(3R)2＋(2R)2－23R2R＝7R2＝a2.
由得
所以雙曲線C的離心率為
e＝＝＝＝＝＝.
11．設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y＝kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點．若＝6，則k的值為________．
答案 或
解析 依題意得橢圓的方程為＋y2＝1，直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如圖，設D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1.
所以k的取值范圍為.
3．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(－x－1)＝f(x－1)，當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，則關于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的所有實數解之和為________．
答案?。?
解析 因為函數f(x)為偶函數，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函數f(x)的周期為2.
又當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐標系內作出函數y1＝f(x)與y2＝|cosπx|的圖象如圖所示．
由圖象知關于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的實數解有7個．
不妨設x11時，f(x)＝lnx，f′(x)＝，
設切點A的坐標為(x1，lnx1)，則＝，
解得x1＝，故kAC＝.
結合圖象可得，實數m的取值范圍是.
二、數形結合思想在求解不等式或參數范圍中的應用
構建函數模型，分析函數的單調性并結合其圖象特征研究量與量之間的大小關系、求參數的取值范圍或解不等式.
5．(2018全國Ⅰ )設函數f(x)＝則滿足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
答案 D
解析 方法一 ①當即x≤－1時，f(x＋1)＜f(2x)即為2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，
解得x＜1.
因此不等式的解集為(－∞，－1]．
②當時，不等式組無解．
③當即－1＜x≤0時，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集為(－1,0)．
④當即x＞0時，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意．
綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，0)．
故選D.
方法二 ∵f(x)＝
∴函數f(x)的圖象如圖所示．
由圖可知，當x＋1≤0且2x≤0時，函數f(x)為減函數，故f(x＋1)＜f(2x)轉化為x＋1＞2x.
此時x≤－1.
當2x＜0且x＋1＞0時，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，
滿足f(x＋1)＜f(2x)．
此時－1＜x＜0.
綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．
故選D.
6．設A，B在圓x2＋y2＝1上運動，且|AB|＝，點P在直線l：3x＋4y－12＝0上運動，則|＋|的最小值為( )
A．3B．4C.D.
答案 D
解析 設AB的中點為D，由平行四邊形法則可知＋＝2，
所以當且僅當O，D，P三點共線時，|＋|取得最小值，
此時OP垂直于直線3x＋4y－12＝0，OP⊥AB，
因為圓心到直線的距離為＝，
|OD|＝＝，
所以|＋|的最小值為2＝.
7．若不等式|x－2a|≥x＋a－1對x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是________．
答案
解析 作出y1＝|x－2a|和y2＝x＋a－1的簡圖，如圖所示．
依題意得
故a≤.
8．已知函數f(x)＝若存在兩個不相等的實數x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，則實數a的取值范圍為________．
答案 [0，＋∞)
解析 根據題意知f(x)是一個分段函數，當x≥1時，是一個開口向下的二次函數，對稱軸方程為x＝a；當x<1時，是一個一次函數．當a>1時，如圖(1)所示，符合題意；當0≤a≤1時，如圖(2)所示，符合題意；當a<0時，如圖(3)所示，此時函數在R上單調遞減，不滿足題意．綜上所述，可得a≥0.
三、數形結合思想在解析幾何中的應用
在解析幾何的解題過程中，通常要數形結合，挖掘題中所給的代數關系式和幾何關系式，構建解析幾何模型并應用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結構的代數形式主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點到直線的距離；④根式——可考慮兩點間的距離.
9．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則m的最大值為( )
A．7B．6C．5D．4
答案 B
解析 根據題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m，因為∠APB＝90，連接OP，可知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離．因為|OC|＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.
10．設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為( )
A.B.C．2D.
答案 D
解析 如圖所示，設以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點為Q，連接OQ，則OQ⊥PF2.
又PF1⊥PF2，O為F1F2的中點，
所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.
又|PF2|－|PF1|＝2a，
所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，
由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝＝.
11．已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點，點A(－2,4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標為________．
答案
解析 因為(－2)2<84，所以點A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內部，
如圖，設拋物線的準線為l，
過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ，
由拋物線的定義可知，△APF的周長為
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|
≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
當且僅當P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因為A(－2,4)，所以不妨設△APF的周長最小時，點P的坐標為(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝.
故使△APF的周長最小的點P的坐標為.
12．已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________．
答案 2
解析 連接PC，由題意知圓的圓心C(1,1)，半徑為1，從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，Rt△PAC的面積S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直于直線l時，S四邊形PACB有唯一的最小值，此時|PC|＝＝3，從而|PA|＝＝2，所以(S四邊形PACB)min＝2|PA||AC|＝2.
1．已知定義在R上的函數f(x)的導函數為f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，設a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，則a，b的大小關系為( )
A．ab
C．a＝b D．無法確定
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
則g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，
即g(x)在R上為增函數．
所以g(3)>g(2)，即e3f(3)－e3>e2f(2)－e2，
整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a0，b>0)的右焦點F作直線y＝－x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點，若＝2，則該雙曲線的離心率為( )
A. B．2
C. D.
答案 C
解析 設F(c，0)，則直線AB的方程為y＝(x－c)，代入雙曲線漸近線方程y＝－x，得A.由＝2，可得B，把B點坐標代入－＝1，得－＝1，∴c2＝5a2，∴離心率e＝＝.
5．記實數x1，x2，…，xn中最小數為min{x1，x2，…，xn}，則定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值為( )
A．5B．6C．8D．10
答案 C
解析 在同一坐標系中作出三個函數y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的圖象如圖．
由圖可知，在實數集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}為y＝x＋3上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC與直線y＝13－x在點C下方的部分的組合體．顯然，在區(qū)間[0，＋∞)上，在C點時，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．
解方程組得點C(5,8)．所以f(x)max＝8.
6．若關于x的不等式3－|x－a|>x2在(－∞，0)上有解，則實數a的取值范圍是( )
A.B. C.D.
答案 A
解析 3－|x－a|>x2可化為3－x2>|x－a|，畫出y＝3－x2與y＝|x－a|的草圖如圖所示，當y＝x－a與y＝3－x2相切時，a＝－；當y＝a－x過點(0,3)時，a＝3，所以實數a的取值范圍為.
7．已知函數f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，則實數m的取值范圍為( )
A．[－3－2，－3＋2] B．[－3＋2，0]
C．[－3－2，0] D．(－∞，－3－2]∪[－3＋2，＋∞)
答案 C
解析 函數f(x)及y＝mx的圖象如圖所示，由圖象可知，當m>0時，不等式f(x)≥mx不恒成立，設過原點的直線與函數f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于點A(x0，x－3x0＋2)，因為f′(x0)＝2x0－3，所以該切線方程為y－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因為該切線過原點，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即該切線的斜率k＝－2－3.由圖象得－2－3≤m≤0.故選C.
8．設函數f(x)＝ex－，若不等式f(x)≤0有正實數解，則實數a的最小值為( )
A．3 B．2
C．e2 D．e
答案 D
解析 原問題等價于a≥ex(x2－3x＋3)在x>0時能成立，
令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，
則a≥g(x)min，而g′(x)＝ex(x2－x)，
由g′(x)>0，可得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，
由g′(x)<0，可得x∈(0,1)．
據此可知，函數g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為g(1)＝e，∴a≥e.
綜上可得，實數a的最小值為e.
9．已知正四棱錐的體積為，則正四棱錐的側棱長的最小值為________．
答案 2
解析 如圖所示，設正四棱錐的底面邊長為a，高為h.則該正四棱錐的體積V＝a2h＝，
故a2h＝32，即a2＝.
則其側棱長為l＝＝.
令f(h)＝＋h2，則f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
當h∈(0,2)時，f′(h)<0，f(h)單調遞減；當h∈(2，＋∞)時，f′(h)>0，f(h)單調遞增，
所以當h＝2時，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故lmin＝＝2.
10．若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________．
答案 (0,2)
解析 由f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，
可得|2x－2|＝b有兩個不等的實根，
從而可得函數y1＝|2x－2|的圖象與函數y2＝b的圖象有兩個交點，如圖所示．
結合函數的圖象，可得00，
故φ(x)在上單調遞增，
所以φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上單調遞增，
則g(x)≥g＝＝2－，
所以a－＝2－，解得a＝2，
所以a的取值集合為{2}．
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