Parrondo 悖 論 表 明 （ 1） （ 2） ， 交 替 進 行 的 2 個 輸 的 博 弈 游 戲 會 最 終 導致 贏 。 但 這 個 令 人 驚 奇 的 結 果 只 是 用 來 解 答 簡 單 的 博 弈 架 構 。 而 對 于 棘 齒勢 （ 3） ， 特 別 是 脈 沖 式 棘 齒 勢 （ 4） （ 5） 能 夠 維 持 一 個 粒 子 在 兩 個 外 在 勢 能下 交 替 運 動 ， 且 其 中 任 何 一 個 都 無 法 產(chǎn) 生 純 粹 的 運 動 。 盡 管 這 種 現(xiàn) 象 和Parrondo 悖 論 有 性 質(zhì) 上 的 矛 盾 ， 但 二 者 之 間 的 關 系 一 直 很 “融 洽 ”（ 事 實上 ， 這 促 成 了 我 們 對 于 博 弈 游 戲 的 啟 發(fā) ） ， 而 最 近 在 致 力 于 推 導 出 兩 者 之 間的 關 系 （ 6） （ 7） 。在 這 里 ， 我 們 重 新 列 出 了 主 方 程 ， 利 用 脈 沖 棘 齒 勢 中 Fokker–Planck方 程 來 清 晰 地 描 述 它 們 的 關 系 。 這 樣 ， 我 們 就 能 夠 按 照 博 弈 游 戲 中 的 概 率 定義 給 出 動 力 學 表 達 式 以 及 電 學 表 達 式 ， 同 樣 ， 給 出 棘 齒 勢 ， 我 們 就 能 對 應博 弈 游 戲 來 構 建 出 它 的 勢 能 。Parrondo 悖 論 中 ， 參 與 者 投 擲 不 同 的 硬 幣 出 現(xiàn) 正 （ 反 ） 面 則 贏 （ 輸 ）得 一 單 位 的 資 金 ， 盡 管 提 出 了 許 多 可 能 性 (8)(9)(10)（ 11） （ 12） （ 13）（ 14） ， 這 里 我 們 只 考 慮 最 原 始 的 那 種 贏 的 可 能 性 。 定 義 為 資 金 的 實 際 價iP值 ， i 為 系 數(shù) ， 來 給 出 完 全 指 定 的 集 合 或 概 率 。 則 對 于 任 意},.{10?LPk 都 是 一 個 公 平 的 博 弈 ， 輸 贏 都 相 等 ， 有 :。)(001ii PiLPiL????這 個 悖 論 表 明 了 交 替 進 行 （ 隨 機 或 者 周 期 ） 兩 個 公 平 的 博 弈 游 戲 可 以產(chǎn) 生 贏 的 結 果 。 舉 例 來 說 ， 定 義 交 替 的 博 弈 游 戲 A 為 定,2/1ii???義 游 戲 B 為 且 p0=1/10,p1=p2=3/4,這 樣 產(chǎn) 生 了 贏 的 結 果 ， 盡 管 游 戲 A3?L和 游 戲 B 都 是 公 平 的 游 戲 。定 義 一 個 離 散 次 數(shù) τ ， 則 每 投 擲 一 次 硬 幣 τ 增 加 1。 如 果 我 們 定 義Pi 為 次 數(shù) τ 下 i 所 對 應 的 資 產(chǎn) 的 概 率 ， 能 夠 得 到 下 列 方 程 ：τ)(τ)( )(1)( 1i01i- ?????ii PaaPaP（ 1）這 里 指 當 資 產(chǎn) 為 時 贏 的 概 率 ， 指 當 資 產(chǎn) 為 時 輸 的 概 率 ，i1-a1?i i1a1?i并 且 為 了 完 整 性 ， 我 們 已 經(jīng) 介 紹 了 為 資 產(chǎn) i 不 變 時 的 概 率 （ 一 個 基 本 沒ia有 考 慮 Parrondo 悖 論 的 博 弈 游 戲 ） 。 這 里 注 意 ， 之 前 按 照 規(guī) 則 的 描 述 ， 我們 已 經(jīng) 設 定 了 概 率 { ， ， }并 不 取 決 于 次 數(shù) ， 很 明 顯 這 滿 足 ：i1-i0i1+ + =1 。 （ 2）i1-i0確 保 這 個 概 率 為 ： 。 τ)(1)τ(ii PP????這 樣 可 以 連 續(xù) 寫 出 主 方 程 ：， )](J-[τ)(-τ( i1ittpii ??（ 3）當 前 給 出= ， )τ(Jiτ)](D-τ)([-τ)](τ)( [21 1ii1 ???iii PPF（ 4）且 ： ， 11????iiia)(211???iii a（ 5）這 是 與 Fokker–Plank 離 散 方 程 (15)中 一 個 電 流 的 概 率 P(x, t)一 致 的 形式xtJtx???),(),(（ 6）以 及 電 流xtPDtxPFtxJ ???)],()[),()),(（ 7）這 里 有 一 般 的 趨 勢 ， 及 其 映 射 。 如 果 和 分 別 是 時)(x)(xt?間 和 空 間 的 離 散 變 量 ， 那 么 有 ， ,可 以 清 晰 的 得 到i??tτ， . )(xiFti ??)()(2xiDxti ??（ 8）這 里 離 散 和 連 續(xù) 的 概 率 與 有 關 ， 并 且 考 慮 到xtiPi?)τ,(τ)(連 續(xù) 極 限 有 極 值 ， 在 這 種 情 況 下txMxt????20,lim且 。)(1ixFi?? )(1xiDMi ???現(xiàn) 在 ， 我 們 考 慮 了 的 情 況 ， 因 于 是 有 ：0?oa1???iiaP， 2/1?Di iipF21???（ 9）并 且 電 流 只 不 過 是 到 1 的 概 率 變τ)(τ)((τ) 1????iii PppJ i化 。因 恒 定 電 流 ， 我 們 發(fā) 現(xiàn) 從 （ 4） 導 出 的 固 定 的 能 夠 解 決 邊 界JistiP情 況 下 的 循 環(huán) 關 系 ：stListiP??]121[//????iJjDVDvsti FeNeji（ 10）則 電 流]12[//????iJjDVDVFeNeJji（ 11）是 從 得 到 的 歸 一 化 常 數(shù) ， 這 些 表 達 式 中 我 們 介 紹 了 勢N10???stiLiP能 按 照 博 弈 游 戲 形 式 的 概 率iV]1ln[]1ln[???????ij jjiJjji pDFDV(12)零 電 流 的 情 況 下 ,暗 示 了 周 期 的 勢 能 。 這 種 情 況 再 次 出0J 0?Vl現(xiàn) 在 這 樣 公 平 的 博 弈 中 ， 那 么 得 出 指 數(shù) 函 數(shù))1(ii PL????注 意 方 程 （ 12） 分 為 極 限 到DVstiiNeP/?? 0??x或 ,即 為 推 力 和 移 動 系 數(shù)??dxFMx)()(1 VM??)()( )(xF之 間 的 一 個 通 常 的 關 系 。按 照 勢 能 ， 獲 取 博 弈 概 率 的 逆 運 算 需 要 解 出 方 程 （ 12） 在（ 17） 這 種 極 限 情 況 ：LF?0 ][)1(1)1(][[)( ///)( /// 101???????? ??? ij DVVjDVLJJDvii jjLjji eee(13)通 過 已 給 的 概 率 集 合 ， 利 用 （ 12） 這 些 結 果 可 以 得 到 隨 機 概},.{10?LP率 （ 和 電 流 ） ， 利 用 （ 12） ； 以 及 逆 運 算 ： 獲 得 了 隨 機 的 勢 能 下 博 弈 游iVJ戲 的 概 率 ， 利 用 （ 13） 。 注 意 交 替 進 行 的 博 弈 結 果 ， γ 表 示 時 游 戲2/1?iPA 的 概 率 ， 以 及i?圖 1： 左 邊 ： 因 公 平 的 博 弈 B， 從 12 中 可 以 定 義 在時 的 勢 能 。 右 邊 ： 在4/3,0/20??pp iV時 博 弈 B 的 勢 能 ， 結 果 來 自 于 隨 機 變 化 的 博 弈85''3'1B 和 一 個 博 弈 A 在 概 率 的 情 況 ， 。2/1pi i?通 過 ， 定 義 一 個 博 弈 B 的 集 合 對 應 了iγ)1(' ???ip },.{10?LP一 個 概 率 集 合 ， 又 因 變 量 ， 得 到 這 種 關 系 ：}',.'{10?LPsFi'iiγ'?（ 14）并 且 相 關 概 率 服 從 （ 12） 。我 們 給 出 了 兩 個 應 用 了 上 述 形 式 的 例 子 ， 在 第 一 個 中 我 們 計 算 了 公 平 的博 弈 和 贏 的 博 弈 的 隨 機 概 率 ， 概 率 時 博 弈 B 和 博 弈 A 的 隨 機 結B' 2/1γ?合 是 不 變 的 概 率 ， 而 悖 論 （ 1） 最 基 本 的 解 釋 中 ， 產(chǎn) 生 了 圖 1 的 結 果 ， 這 里注 意 組 合 博 弈 的 勢 能 是 如 何 顯 示 區(qū) 域 中 那 種 大 幅 增 加 的 不 對 稱 性 。圖 2： 左 邊 ： 在 時 的 棘 齒 勢 。 那 些 零 星 的 離 散 值 適 用 于 博 弈3.1,9?ALB 的 定 義 。 右 邊 ： 從 概 率 的 博 弈 A 和 博 弈 B 得 到 了 組 合 博 弈 的2/γ 'B勢 能 離 散 值 ,其 中 的 線 是 在 條 件 下iV' 0952.),()(' ????xaVxV的 預 估 。第 2 個 應 用 即 為 輸 入 勢 能)]Lπx4sin(1)πx2[sin()(??LAxV（ 15） 已 被 廣 泛 應 用 于 棘 齒 原 型 。 設 ， ， 將 時 的 概 率iVi?ei,1??離 散 化 ， 利 用 （ 13） 我 們 可 以 得 到 一 個 概 率 集 合 。 因 勢 能},.{0?LP是 周 期 性 的 ， 則 博 弈 的 B 的 結 果 取 決 于 這 些 概 率 是 公 平 的 且 當 前)(xV為 零 。 博 弈 A 也 同 樣 取 決 于 ， 。 我 們 繪 制 了 圖 2 博 弈J 2/1?pi i?和 博 弈 的 勢 能 ， 時 博 弈 A 和 博 弈 B 的 隨 機 組 合 ， 再 次 注 意 ， 與B' 2/1γ?贏 的 博 弈 B 一 樣 ， 已 經(jīng) 傾 斜 了 。 如 圖 3 所 示 電 流 基 于 交 替 進 行 的 博 弈iV' JA 和 B。圖 3： 方 程 （ 11） 得 出 的 電 流 ， 作 為 交 替 進 行 的 博 弈 A 和 B 的 概 率 函J數(shù) 。 博 弈 B 被 定 義 為 在 時 離 散 化 的 棘 齒 勢 ， 對 應 最 大 值9,4.0?LA57.0γ?綜 上 所 述 ， 我 們 已 經(jīng) 利 用 Fokker–Planck 方 程 寫 出 了 主 方 程 來 描 述 過阻 尼 狀 態(tài) 的 布 朗 粒 子 所 體 現(xiàn) 的 離 散 一 致 性 。 這 樣 我 們 能 夠 把 博 弈 概 率與 動 力 學 勢 能 關 聯(lián) 起 來 ， 我 們 的 方 法 產(chǎn) 生 了 一 個 公 平 博 弈 對},.{10?LP)(xV應 的 周 期 性 勢 能 和 贏 的 游 戲 對 應 的 傾 斜 的 勢 能 。 生 成 的 表 達 式 在 極 限時 用 來 獲 取 脈 沖 棘 齒 勢 的 有 效 勢 能 以 及 由 此 產(chǎn) 生 的 電 流 。??x