《初一數(shù)學(xué)01有理數(shù)的巧算.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《初一數(shù)學(xué)01有理數(shù)的巧算.ppt（22頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第一講有理數(shù)的巧算 數(shù)的運(yùn)算和表達(dá)式 所有內(nèi)容來自網(wǎng)路 如果有損你的版權(quán) 請告訴我 我立即改正 謝謝 要求 有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ) 它要求 在理解有理數(shù)的有關(guān)概念 法則的基礎(chǔ)上 能根據(jù)法則 公式等正確 迅速地進(jìn)行運(yùn)算 要善于根據(jù)題目條件 將推理與計(jì)算相結(jié)合 靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題 1 括號的使用 在代數(shù)運(yùn)算中 可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律 去掉或者添上括號 以此來改變運(yùn)算的次序 使復(fù)雜的問題變得較簡單 由于負(fù)數(shù)的引入 符號 與 具有了雙重涵義 它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號 也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號 因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí) 一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則 尤其是要注意去括號時(shí)符號的變化 注意 在本例中的乘除運(yùn)算中 常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù) 把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù) 這樣便于計(jì)算 2 注意 在本例中的乘除運(yùn)算中 常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù) 把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù) 這樣便于計(jì)算 例2 計(jì)算下式的值 211 555 445 789 555 789 211 445 分析直接計(jì)算很麻煩 根據(jù)運(yùn)算規(guī)則 添加括號改變運(yùn)算次序 可使計(jì)算簡單 本題可將第一 第四項(xiàng)和第二 第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算 211 555 445 789 555 789 211 445 解原式 211 555 211 445 445 789 555 789 211 555 445 445 555 789 211 1000 1000 789 1000 211 789 1000000說明加括號的一般思想方法是 分組求和 它是有理數(shù)巧算中的常用技巧 例3計(jì)算 S 1 2 3 4 1 n 1 n 分析不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)?1 或?yàn)?1 如果按照將第一 第二項(xiàng) 第三 第四項(xiàng) 分別配對的方式計(jì)算 就能得到一系列的 1 于是一改 去括號 的習(xí)慣 而取 添括號 之法 解S 1 2 3 4 1 n 1 n 下面需對n的奇偶性進(jìn)行討論 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 上式是n 2個(gè) 1 的和 所以有s n 2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 上式是 n 1 2個(gè) 1 的和 再加上最后一項(xiàng) 1 n 1 n n 所以有 例4在數(shù)1 2 3 1998前添符號 和 并依次運(yùn)算 所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少 分析與解因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性 只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān) 所以在1 2 3 1998之前任意添加符號 或 不會改變和的奇偶性 在1 2 3 1998中有1998 2個(gè)奇數(shù) 即有999個(gè)奇數(shù) 所以任意添加符號 或 之后 所得的代數(shù)和總為奇數(shù) 故最小非負(fù)數(shù)不小于1 現(xiàn)考慮在自然數(shù)n n 1 n 2 n 3之間添加符號 或 顯然 n n 1 n 2 n 3 0 這啟發(fā)我們將1 2 3 1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組 再按上述規(guī)則添加符號 即 1 2 3 4 5 6 7 8 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 所以 所求最小非負(fù)數(shù)是1 說明本例中 添括號是為了造出一系列的 零 這種方法可使計(jì)算大大簡化 2 用字母表示數(shù) 我們先來計(jì)算 100 2 100 2 的值 100 2 100 2 100 100 2 100 2 100 2 2 100 100 2 100 2 100 2 2 1002 22這是一個(gè)對具體數(shù)的運(yùn)算 若用字母a代換100 用字母b代換2 上述運(yùn)算過程變?yōu)?a b a b a2 ab ab b2 a2 b2于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式 a b a b a2 b2 這個(gè)公式叫平方差公式 以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí) 不必重復(fù)公式的證明過程 可直接利用該公式計(jì)算 例5計(jì)算3001 2999的值 解3001 2999 3000 1 3000 1 30002 12 8999999 例6計(jì)算103 97 10009的值 解原式 100 3 100 3 10000 9 1002 9 1002 9 1004 92 99999919 例7計(jì)算 分析與解直接計(jì)算繁 仔細(xì)觀察 發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù) 12345 12346 12347 可設(shè)字母n 12346 那么12345 n 1 12347 n 1 于是分母變?yōu)閚2 n 1 n 1 應(yīng)用平方差公式化簡得n2 n2 12 n2 n2 1 1 即原式分母的值是1 所以原式 24690 例8計(jì)算 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 分析式子中2 22 24 每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方 若在 2 1 前面有一個(gè) 2 1 就可以連續(xù)運(yùn)用 a b a b a2 b2了 解原式 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 22 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 24 1 24 1 28 1 216 1 232 1 232 1 232 1 264 1 例9計(jì)算 分析在前面的例題中 應(yīng)用過公式 a b a b a2 b2這個(gè)公式也可以反著使用 即a2 b2 a b a b 例10計(jì)算 我們用一個(gè)字母表示它以簡化計(jì)算 3 觀察算式找規(guī)律 例11某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦?請計(jì)算他們的總分與平均分 87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 分析與解若直接把20個(gè)數(shù)加起來 顯然運(yùn)算量較大 粗略地估計(jì)一下 這些數(shù)均在90上下 所以可取90為基準(zhǔn)數(shù) 大于90的數(shù)取 正 小于90的數(shù)取 負(fù) 考察這20個(gè)數(shù)與90的差 這樣會大大簡化運(yùn)算 所以總分為90 20 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 0 2 2 0 1 4 1 2 5 2 1800 1 1799 平均分為90 1 20 89 95 例12計(jì)算1 3 5 7 1997 1999的值 分析觀察發(fā)現(xiàn) 首先算式中 從第二項(xiàng)開始 后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2 其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000 于是可有如下解法 解用字母S表示所求算式 即S 1 3 5 1997 1999 再將S各項(xiàng)倒過來寫為S 1999 1997 1995 3 1 將 兩式左右分別相加 得2S 1 1999 3 1997 1997 3 1999 1 2000 2000 2000 2000 500個(gè)2000 2000 500從而有S 500000說明一般地 一列數(shù) 如果從第二項(xiàng)開始 后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等 本題3 1 5 3 7 5 1999 1997 都等于2 這一列數(shù)叫等差數(shù)列 那么 這列數(shù)的求和問題 都可以用上例中的 倒寫相加 的方法解決 一般有公式 第一項(xiàng) 最后一項(xiàng) 2 項(xiàng)數(shù) 例13計(jì)算1 5 52 53 599 5100的值 分析觀察發(fā)現(xiàn) 上式從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍 如果將和式各項(xiàng)都乘以5 所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外 其余與原和式中的項(xiàng)相同 于是兩式相減將使差易于計(jì)算 解設(shè)S 1 5 52 599 5100 所以5S 5 52 53 5100 5101 得4S 5101 1 說明如果一列數(shù) 從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等 本例中是都等于5 這一列數(shù)叫等比數(shù)列 那么這列數(shù)的求和問題 均可用上述 錯(cuò)位相減 法來解決 一般有公式 S A1 Rn 1 R 1 A1 首項(xiàng)R 比例n 項(xiàng)數(shù) 例14計(jì)算 分析一般情況下 分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分 本題通分計(jì)算將很繁 所以我們不但不通分 反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差 然后再計(jì)算 這種方法叫做拆項(xiàng)法 解由于所以說明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng) 這種方法在有理數(shù)巧算中很常用 練習(xí)一計(jì)算下列各式的值 1 1 3 5 7 9 11 1997 1999 2 11 12 13 14 15 16 17 18 99 100 3 1991 1999 1990 2000 4 4726342 4726352 472633 472635 472634 472636 5 1 4 7 244 練習(xí)二計(jì)算平均分 某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績?nèi)缦?試計(jì)算他們的平均分 81 72 77 83 73 85 92 84 75 63 76 97 80 90 76 91 86 78 74 85