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1 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 2 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 3 初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在各自的定義域上都連續(xù) 初等函數(shù)在其各自的定義域上都連續(xù) 這里定義 區(qū)間指包含在其定義域內(nèi)的區(qū)間 4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1 11連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì) 一 連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算 定理1 則 例如 故 在其定義域內(nèi)連續(xù) 二 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 定理2 若 連續(xù) 則有 證 恒有 又 對上述 當(dāng) 時 恒有 結(jié)合上述兩步得 當(dāng) 時 恒有 意義 1 2 極限符號可以與連續(xù)函數(shù)符號互換 定理3 且 則復(fù)合函數(shù) 注意 定理4是定理3的特殊情況 例如 例1 完 求 解 例 完 求 解 例2 完 求 解 因為 所以 三 初等函數(shù)的連續(xù)性 的 且連續(xù) 調(diào)且連續(xù) 在 內(nèi)連續(xù) 在它們的定義域內(nèi)是連續(xù) 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理4 基本初級函數(shù) 定理5 一切初級函數(shù) 定義區(qū)間是指 注意 1 但在其 定義域內(nèi)不一定連續(xù) 例如 在這些孤立點的領(lǐng)域內(nèi)沒有定義 及 在定義域內(nèi)是連續(xù)的 在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 在這些孤立點的領(lǐng)域內(nèi)沒有定義 及 在0點的領(lǐng)域內(nèi)沒有定義 2 定義區(qū)間 連續(xù) 初等函數(shù)求極限的方法 代入法 完 例3 完 求 解 且 是其定義區(qū)間內(nèi)的點 處連續(xù) 于是 冪指函數(shù) 因為 故冪指函數(shù)可化為復(fù)合函數(shù) 易見 若 則 即 注意公式成立的條件 例6 求 稱為冪指函數(shù) 解 完 定義 如果 有 例如 四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理6最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 一定有最大值和最小值 定理7有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 證 使得 有 取 完 一定在該區(qū)間上有界 定義 的零點 定理8零點定理 且 即 即至少有 一點 使 那么在開區(qū) 定理9介值定理 且 在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值 推論1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 必取得介于最大值 例5 完 證 證明方程 少有一個實根 令 又 由零點定理 使 即 方程 根 例6 完 證 且 證明 使得 令 而 由零點定理 使 即 1 設(shè) 試研究復(fù)合函數(shù) 2 課堂練習(xí) 1 設(shè) 試研究復(fù)合函數(shù) 解 又 故 是它的可去間斷點 2 解 設(shè) 由于 根據(jù)介值定理的推論可知 內(nèi)至少各有一個根 完 又因為三次方程的根最多有三個 內(nèi)容小結(jié) 1 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 2 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 3 初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在各自的定義域上都連續(xù) 初等函數(shù)在其各自的定義域上都連續(xù) 這里定義 區(qū)間指包含在其定義域內(nèi)的區(qū)間 4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)