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2019-2020年高中數(shù)學(xué)人教B版選修4-1教學(xué)案：第二章 章末小結(jié) [對應(yīng)學(xué)生用書P43] 平行投影 平行投影關(guān)鍵在于注意角度的變換及運(yùn)動變化和發(fā)展的觀點(diǎn)的應(yīng)用，并由此來處理有關(guān)圖形的投影問題．如一個圓在平面上的平行投影可能是一個圓，一個橢圓或者是一條線段，但是由于缺乏具體的量的關(guān)系，我們對所成的橢圓不能做出具體的量的關(guān)系．將圓與平面立體化就形成了平面與圓柱的截面問題． [例1]　已知△ABC的邊BC在平面α內(nèi)，A在平面α上的正投影為A′(A′不在邊BC上)．當(dāng)∠BAC＝60時、AB、AC與平面α所成的角分別是30和45時，求cos∠BA′C. [解]　由題意，∠ABA′＝30，∠ACA′＝45. 設(shè)AA′＝1，則A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2， ∴BC＝ ＝， cos∠BA′C＝＝. 圓柱面、圓錐面的平面截線 (1)由兩個等圓的內(nèi)公切線與兩條外公切線的交點(diǎn)，切點(diǎn)之間的量的關(guān)系具體化，就可以得到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，將其進(jìn)一步拓廣到空間之中就得到了平面與圓柱的截面問題． (2)在平面中：由與等腰三角形的兩條腰的交點(diǎn)問題進(jìn)一步推廣到空間中的平面與圓錐面的交線問題所采用的方法與以前的平行投影和平面與圓柱面的截面問題相同．從不同的方向不同的位置用平面去截圓錐面，其截面的形狀不同，由此我們可以得到定理，并可以利用Dandelin雙球?qū)Χɡ淼慕Y(jié)論進(jìn)行證明和研究其特點(diǎn)． [例2]　如圖所示，用一個平面分別與球O1、O2切于F1、F2，截圓柱面于G1、G2點(diǎn)，求證所得的截面為橢圓． [證明]　如圖所示由平面圖形的性質(zhì)可知， 當(dāng)點(diǎn)P與G1或G2重合時， G2F1＋G2F2＝AD， G1F1＋G1F2＝AD. 當(dāng)P不與G1、G2重合時， 連接PF1、PF2， 則PF1、PF2分別是兩個球面的切線，切點(diǎn)分別為F1、F2. 過P作圓柱面的母線，與兩個球分別相交于K1、K2二點(diǎn)， 則PK1、PK2分別為兩個球的切線，切點(diǎn)為K1、K2. 由切線長定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2. 所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2. 由于AD為定值且AD>F1F2，故點(diǎn)P的軌跡為橢圓． 一、選擇題 1．若一直線與平面的一條斜線在此平面上的正投影垂直，則這條直線與這條斜線的位置關(guān)系是(　　) A．垂直　　　　　 B．異面 C．相交 D．不能確定 解析：當(dāng)這條直線在平面內(nèi)時，則A成立，當(dāng)這條直線是平面的垂線，則B或C成立，故選D. 答案：D 2．在空間，給出下列命題： (1)一個平面的兩條斜線段相等，那么它們在平面內(nèi)的正投影相等． (2)一條直線和平面的一條斜線垂直，必和這條斜線在這個平面內(nèi)的正投影垂直． (3)一條斜線和它在平面內(nèi)的正投影所成的銳角是這條斜線和平面內(nèi)過斜足的所有直線所成的一切角中最小的角． (4)若點(diǎn)P到△ABC三邊所在的直線的距離相等，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影是△ABC的內(nèi)心． 其中，正確的命題是(　　) A．(3) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4) 解析：由平行投影的性質(zhì)知，當(dāng)兩條線段與平面所成的角相等時，才有(1)正確，在(2)中這條直線在平面外時不正確，(3)顯然正確；(4)中P點(diǎn)有可能是△ABC的旁心． 答案：A 3．一平面截圓錐面的截線為橢圓，橢圓的長軸為8，長軸的兩端點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離分別是6和10，則橢圓的離心率為(　　) A. B． C. D． 解析：如圖為圓錐面的軸截面，則AB＝8，SA＝6，SB＝10， ∴∠SAB＝90， ∴cos∠ASB＝， ∴cos∠ASP＝cos＝ ＝ ＝. ∴cos∠BPH＝sin∠ASP＝ ＝ ＝. ∴橢圓離心率e＝＝＝. 答案：C 4．邊長為2的等邊三角形所在平面與平面α所成的角為30，BC?α，A在α內(nèi)的正投影為O，則△BOC的面積為(　　) A. B． C. D． 解析：取BC的中點(diǎn)D，連接AD，OD，則∠ADO為二面角的平面角，∠ADO＝30， ＝＝cos30＝，又S△ABC＝， ∴S△BOC＝. 答案：B 二、填空題 5．P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么△ABC的形狀可能是________． ①正三角形　②等腰三角形?、鄯堑妊切? ④等腰直角三角形(將你認(rèn)為正確的序號全填上) 解析：設(shè)點(diǎn)P在底面ABC上的正投影為O，由PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，得OA＝OB＝OC，即點(diǎn)O為△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，得AO為△ABC中BC邊上的高線，所以AB＝AC，即△ABC必為等腰三角形，故應(yīng)填①②④. 答案：①②④ 6．兩個大小不等的球相交，交線為________． 答案：圓 7．在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝.則PA與底面ABC所成角為________． 解析：P在底面ABC的正投影為BC中點(diǎn)D，設(shè)PA＝PB＝PC＝2，則PD＝，AP＝2，∴∠PAD＝. 答案： 8．一圓柱面底半徑為2，一截面與軸成60，從割平面上、下放入圓柱面的兩個內(nèi)切球，使它們都與截面相切，則這兩個切點(diǎn)的距離等為________． 解析：由已知可知截線為一個橢圓，并且其長軸長為 2a＝＝＝，短軸長為2b＝22＝4， 所以2c＝＝ ＝. 答案： 三、解答題 9．設(shè)圓錐的頂角(圓錐軸截面上兩條母線的夾角)為120，當(dāng)圓錐的一截面與軸成45角時，求截得二次曲線的形狀及離心率． 解：由題意知α＝60，β＝45，滿足β<α，這時截面截圓錐得的交線是雙曲線，其離心率為e＝＝. 10．如圖所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正投影． 求證：A′不可能是△BCD的垂心． 證明：假設(shè)A′為△BCD的垂心， 則A′B⊥CD. 又因?yàn)锳A′⊥平面BCD于A′，則AB⊥CD. 又因?yàn)镈A⊥平面ABC，則AD⊥AB，所以AB⊥AC， 這與△ABC是斜三角形的已知條件相矛盾， 故A′不可能是△BCD的垂心． 11．已知圓錐面S，其母線與軸線的夾角為30，又有一平面α與圓錐面的軸線成45角并相交于點(diǎn)C，且SC＝6，一球與圓錐面相切并在平面α的上方與平面α相切．求此內(nèi)切球的半徑，并畫出它的直觀圖． 解：設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，且設(shè)球O與錐面一個切點(diǎn)為P，球O與平面α切于M. 在Rt△SPO中 ，OP＝R，∠PSO＝30，所以SO＝2R. 在Rt△OMC中，∠OCM＝45， 所以O(shè)C＝＝＝R. 又SC＝6＝SO＋OC＝2R＋R， 所以R＝3(2－)，其直觀圖為如圖： [對應(yīng)學(xué)生用書P47] (時間90分鐘，總分120分) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．線段AB、CD在同一平面內(nèi)的正投影相等，則線段AB、CD的長度關(guān)系為(　　) A．AB>CD　　　　　　　 B．ABα故截線是橢圓． 答案：B 7．一個平面去截一個球面，其截線是(　　) A．圓 B．橢圓 C．點(diǎn) D．圓或點(diǎn) 解析：當(dāng)截面與球相切，其截線是切點(diǎn)，相交時截線是圓． 答案：D 8．對于半徑為4的圓在平面上的平行投影的說法錯誤的是(　　) A．投影為線段時，線段的長為8 B．投影為橢圓時，橢圓的短軸可能為8 C．投影為橢圓時，橢圓的長軸可能為8 D．投影為圓時，圓的直徑可能為4 解析：由平行投影的性質(zhì)易知D說法錯誤． 答案：D 9．如圖，圓柱的軸截面是邊長為5 cm的正方形ABCD，則圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離為(　　) A．10 cm　　　　　 B. cm C．5 cm D．5 cm 解析：如圖是圓柱的側(cè)面展開圖，則AC長為圓柱面上從A到C的最短距離． 設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r＝. ∴底面圓周長l＝2πr＝5π，∴AB＝π. AD＝BC＝5， ∴AC＝ ＝ ＝ (cm)． 答案：B 10．如右圖，一個圓柱被一個平面所截，截面橢圓的長軸長為5，短軸長為4，被截后的幾何體的最短母線長為2，則這個幾何體的體積為(　　) A．20π　　　　　　　 B．16π C．14π D．8π 解析：由已知圓柱底面半徑r＝2.即直徑為4. 設(shè)截面與圓柱母線成α角，則sin α＝，∴cos α＝. ∴幾何體的最長母線長為2＋2acos α＝2＋5＝5.用一個同樣的幾何體補(bǔ)在上面，可得一個底半徑r＝2，高為7的圓柱，其體積為V＝π227＝28π. ∴所求幾何體的體積為V＝14π. 答案：C 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中的橫線上) 11．用一個平面去截一個正圓錐面，而且這個平面不通過圓錐的頂點(diǎn)，則會出現(xiàn)四種情況：____________， ________，________，________. 解析：如圖 答案：圓　拋物線　橢圓　雙曲線 12．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F.則 ①四邊形BFD′E一定是平行四邊形． ②四邊形BFD′E有可能是正方形． ③四邊形BFD′E在底面ABCD的正投影一定是正方形． ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D. 以上結(jié)論正確的為________．(寫出所有正確的結(jié)論編號) 解析：由面面平行的性質(zhì)定理知①正確；當(dāng)E、F分別為中點(diǎn)時，所得的四邊形為菱形，但不是正方形，且此時平面BFD′E⊥平面BB′D′D.故②不正確，④正確；D′、E、F在底面上的正投影分別為D、A、C，故③正確． 答案：①③④ 13．若圓柱的一正截面(垂直于軸的截面)的截線為半徑r＝3的⊙O，該圓柱的斜截面與軸線成60角，則截線橢圓的離心率e＝________. 解析：依題意，在橢圓中，a＝＝＝2 ，b＝r＝3，∴c＝ ＝ ＝ ，∴e＝＝. 答案： 14．如圖，直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為α，直角坐標(biāo)系x′Oy′(其中y′軸與y軸重合)所在的平面為β，∠xOx′＝45. (1)已知平面β內(nèi)有一點(diǎn)P′(2，2)，則點(diǎn)P′在平面α內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為________； (2)已知平面β內(nèi)的曲線C′的方程是(x′－)2＋2y2－2＝0，則曲線C′在平面α內(nèi)的射影C的方程是________． 解析：(1)可知二面角α－y－β為45，點(diǎn)P′到y(tǒng)軸的距離為2，所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2cos45＝2，點(diǎn)P的y軸坐標(biāo)與點(diǎn)P′的y′軸坐標(biāo)相同，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)． (2)曲線C′的方程可化為＋y2＝1，是一個橢圓．設(shè)O′(，0)，因?yàn)椋?，故中心O′在面α內(nèi)的射影O″的坐標(biāo)為(1,0)．令曲線C′長軸的一個端點(diǎn)A′(2，0)，由上問可知其對應(yīng)的射影為A(2,0)，曲線C′短軸的一個端點(diǎn)B′(，1)，對應(yīng)的射影為B(1,1)，由O″，B，A三點(diǎn)坐標(biāo)可知曲線C是一個以(1,0)為圓心，1為半徑的圓，方程為(x－1)2＋y2＝1. 答案：(2,2)　(x－1)2＋y2＝1 三、解答題(本大題共4個小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)求證：三角形的中位線平行射影具有不變性． 證明：已知：△ABC，DE是其中位線，它們的平行射影分別是△A′B′C′和D′E′，如下圖， 求證：D′E′仍然是△A′B′C′的中位線． 證明：連接AA′、EE′、CC′， 則AA′∥EE′∥CC′. ∵AE＝EC，∴A′E′＝E′C′. 同理，A′D′＝D′B′. ∴D′E′是△A′B′C′的中位線． 16．(本小題滿分12分)平面β與圓錐面的軸l垂直，則交線是什么曲線？設(shè)圓錐底面半徑為R，高為h，頂點(diǎn)S到截面β的距離為h1(R，h，h1均為正常數(shù))． 解：因?yàn)閘⊥β(垂足為O1)， 所以平面β∥⊙O所在的平面． 設(shè)P為交線上的任意一點(diǎn)， 過點(diǎn)P作圓錐的母線SQ， 連接PO1，QO， 則PO1為平面SQO與平面β的交線， QO為平面SQO與⊙O所在的平面的交線． 所以PO1∥QO. 于是＝. 即＝. 因此PO1＝＝r(常數(shù))． 所以點(diǎn)P到定點(diǎn)O1的距離為常數(shù)r，故交線為一個圓． 17．(本小題滿分12分)圓錐面S的母線與軸線的夾角為30，圓錐面內(nèi)有兩個相切的內(nèi)切球，半徑分別為r1、r2(r1

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