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第八單元 解析幾何 小題必刷卷(十一)　直線與圓 題組一　真題集訓(xùn) 1.[2015北京卷] 圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 2.[2015廣東卷] 平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是 (　　) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+5=0或2x+y-5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+5=0或2x-y-5=0 3.[2013山東卷] 過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為 (　　) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 4.[2016全國卷Ⅱ] 圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a= (　　) A.-43 B.-34 C.3 D.2 5.[2015山東卷] 一條光線從點(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為 (　　) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45 D.-43或-34 6.[2015全國卷Ⅱ] 過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|= (　　) A.26 B.8 C.46 D.10 7.[2013全國卷Ⅱ] 已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是 (　　) A.(0,1) B.1-22,12 C.1-22,13 D.13,12 8.[2016上海卷] 已知平行直線l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,則l1與l2的距離是　　　　. 9.[2016天津卷] 已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為　　　　　　　. 10.[2016全國卷Ⅲ] 已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點,則|CD|=　　　　. 11.[2014全國卷Ⅱ] 設(shè)點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是　　　　. 12.[2017天津卷] 設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120,則圓的方程為　　　　　　　　　　. 題組二　模擬強化 13.[2017柳州模擬] 已知直線2x-y-3=0的傾斜角為θ,則sin 2θ的值是 (　　) A.14 B.34 C.45 D.25 14.[2017泉州模擬] 直線l1:ax+y-a+1=0,直線l2:4x+ay-2=0,則“a=2”是“l(fā)1∥l2”的 (　　) A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 15.[2017北京石景山區(qū)一模] 以點(-1,1)為圓心且與直線x-y=0相切的圓的方程是 (　　) A.x+12+y-12=2 B.x+12+y-12=4 C.x-12+y+12=2 D.x-12+y+12=4 16.[2017江西八校聯(lián)考] 已知點P(a,b)及圓O:x2+y2=r2,則“點P在圓O內(nèi)”是“直線l: ax+by=r2與圓O相離”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 17.[2017韶關(guān)二模] 過直線l:y=x+1上的點P作圓C:(x-1)2+(y-6)2=2的兩條切線l1,l2,當(dāng)直線l1,l2關(guān)于直線y=x+1對稱時,PC= (　　) A.3 B.22 C.1+2 D.2 18.[2017蘭州模擬] 若直線l:ax+by+1=0(a>0,b>0)把圓C:(x+4)2+(y+1)2=16分成面積相等的兩部分,則當(dāng)ab取得最大值時,坐標(biāo)原點到直線l的距離是 (　　) A.4 B.817 C.2 D.81717 19.[2017重慶調(diào)研] 設(shè)直線x-y-a=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若△AOB為等邊三角形,則實數(shù)a的值為 (　　) A.3 B.6 C.3 D.9 20.[2017?？谡{(diào)研] 已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的方程為 (　　) A.(x+3)2+(y-1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=1 C.(x+3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 21.[2017黃山二模] 已知圓C:x2+y2=1,點P為直線x4+y2=1上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則直線AB經(jīng)過定點 (　　) A.12,14 B.14,12 C.34,0 D.0,34 22.[2017惠州二模] 已知兩點A(2,0),B(0,2),則以線段AB為直徑的圓的方程為　　　　　　　　. 23.[2017南京二模] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P,則當(dāng)實數(shù)k變化時,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為　　　　. 24.[2017寧夏中衛(wèi)二模] 已知從圓C:(x+1)2+(y-2)2=2外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有PM=PO,則當(dāng)PM取得最小值時點P的坐標(biāo)為　　　　. 小題必刷卷(十二)　圓錐曲線 題組一　真題集訓(xùn) 1.[2017浙江卷] 橢圓x29+y24=1的離心率是 (　　) A.133 B.53 C.23 D.59 2.[2016全國卷Ⅰ] 已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是 (　　) A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 3.[2017天津卷] 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F,離心率為2.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為 (　　) A.x24-y24=1 B.x28-y28=1 C.x24-y28=1 D.x28-y24=1 4.[2014全國卷Ⅰ] 已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為 (　　) A.3 B.3 C.3m D.3m 5.[2017全國卷Ⅲ] 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點,則C的方程為 (　　) A.x28-y210=1 B.x24-y25=1 C.x25-y24=1 D.x24-y23=1 6.[2016全國卷Ⅰ] 直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為 (　　) A.13 B.12 C.23 D.34 7.[2016全國卷Ⅰ] 以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于D,E兩點,已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 8.[2017全國卷Ⅲ] 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為 (　　) A.63 B.33 C.23 D.13 9.[2014全國卷Ⅱ] 設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,則△OAB的面積為 (　　) A.334 B.938 C.6332 D.94 10.[2017全國卷Ⅱ] 若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為 (　　) A.2 B.3 C.2 D.233 11.[2017全國卷Ⅱ] 過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為3的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為 (　　) A.5 B.22 C.23 D.33 12.[2015全國卷Ⅰ] 已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點,F1,F2是C的兩個焦點.若MF1MF2<0,則y0的取值范圍是 (　　) A.-33,33 B.-36,36 C.-223,223 D.-233,233 13.[2017全國卷Ⅱ] 已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=　　　　. 題組二　模擬強化 14.[2017天津南開區(qū)模擬] 已知橢圓x210-m+y2m-2=1的長軸在x軸上,若焦距為4,則m等于(　　) A.4 B.5 C.7 D.8 15.[2017保定二模] 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為x-2y=0,則該雙曲線的離心率為 (　　) A.5 B.52 C.3 D.2 16.[2017德州二模] 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=4x的準(zhǔn)線分別交于A,B(A在B上方)兩點,O為坐標(biāo)原點,若S△AOB=23,則雙曲線的離心率e= (　　) A.32 B.72 C.2 D.13 17.[2018荊州中學(xué)月考] 已知拋物線y2=2px(p>0),點C(-4,0),經(jīng)過拋物線的焦點作垂直于x軸的直線,與拋物線交于A,B兩點,若△CAB的面積為24,則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (　　) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x 18.[2017貴陽二診] 已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與兩條平行直線l1:y=x+b,l2:y=x-b分別相交于四點A,B,D,C,且四邊形ABCD的面積為8b23,則橢圓E的離心率為 (　　) A.22 B.32 C.23 D.33 19.[2017長沙三模] 已知雙曲線M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,F1F2=2c.若雙曲線M的右支上存在點P,使asinPF1F2=3csinPF2F1,則雙曲線M的離心率的取值范圍為(　　) A.1,2+73 B.1,2+73 C.1,2 D.1,2 20.[2017遂寧三診] 已知直線l過橢圓C:x22+y2=1的左焦點F且交橢圓C于A,B 兩點,O為坐標(biāo)原點,若OA⊥OB,則點O到直線AB的距離為 (　　) A.63 B.2 C.52 D.32 21.[2017寧夏固原一中月考] 在△ABC中,∠C=90,∠A=30,則以A,B為焦點,且過點C的橢圓的離心率為　　　　　. 22.[2017珠海摸底] 已知雙曲線C的離心率為52,左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上,若F1A=2F2A,則cos∠AF2F1=　　　　. 23.[2017泉州質(zhì)檢] 橢圓C:x2a2+y2=1(a>0)的離心率為32,F1,F2是C的兩個焦點,過F1的直線l與C交于A,B兩點,則|AF2|+|BF2|的最大值為　　　　. 24.[2017云南二檢] 已知拋物線y2=43x的準(zhǔn)線與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B(A在B的上方)兩點,雙曲線的一條漸近線方程是y=2x,點F是拋物線的焦點,且△FAB是等邊三角形,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　　　. 解答必刷卷(五)　解析幾何 題組一　真題集訓(xùn) 1.[2017全國卷Ⅱ] 設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C:x22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足NP=2　NM. (1)求點P的軌跡方程; (2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且OPPQ=1,證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 2.[2016全國卷Ⅱ] 已知橢圓E:x2t+y23=1的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA. (1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積; (2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍. 3.[2013全國卷Ⅱ] 平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦點的直線x+y-3=0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為12. (1)求M的方程. (2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值. 題組二　模擬強化 4.[2018山西孝義一模] 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點A1,32,C的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為43. (1)求橢圓C的方程. (2)在橢圓C上是否存在相異兩點E,F,使其滿足:①直線AE與直線AF的斜率互為相反數(shù);②線段EF的中點在y軸上?若存在,求出∠EAF的角平分線與橢圓相交所得弦的弦長;若不存在,請說明理由. 5.[2017贛州二模] 如圖J5-1,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,頂點為A1,A2,B1,B2,且A1B1A1B2=3. (1)求橢圓C的方程. (2)P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線B2P交x軸于點Q,直線A1B2交A2P于點E.設(shè)A2P的斜率為k,EQ的斜率為m,則2m-k是否為定值?并說明理由. 圖J5-1 6.[2017益陽調(diào)研] 已知拋物線C:y2=4x,過其焦點F作兩條相互垂直且不平行于坐標(biāo)軸的直線,它們分別交拋物線C于點P1,P2和點P3,P4,線段P1P2,P3P4的中點分別為M1,M2. (1)求線段P1P2的中點M1的軌跡方程. (2)求△FM1M2面積的最小值. (3)過M1,M2的直線l是否恒過定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理由.  小題必刷卷(十一) 1.D　[解析] 根據(jù)題意知圓的半徑r=(1-0)2+(1-0)2=2,所以以(1,1)為圓心且過原點的圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故選D. 2.A　[解析] 設(shè)所求直線方程為2x+y+m=0,則圓心到該直線的距離為|m|22+1=5,∴|m|=5,即m=5. 3.A　[解析] 方法一:設(shè)點P(3,1),圓心為C,設(shè)過點P的圓C的切線方程為y-1=kx-3,由題意得|2k-1|1+k2=1,解之得k=0或43,即切線方程為y=1或4x-3y-9=0.聯(lián)立y=1,x-12+y2=1, 得一切點為1,1,又∵kPC=1-03-1=12,∴kAB=-1kPC=-2,即弦AB所在直線方程為y-1=-2x-1,整理得2x+y-3=0. 方法二:設(shè)點P(3,1),圓心為C,以PC為直徑的圓的方程為x-3x-1+yy-1=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,聯(lián)立x2-4x+y2-y+3=0,x-12+y2=1,兩式相減得2x+y-3=0. 4.A　[解析] 由題意可知,圓心為(1,4),所以圓心到直線的距離d=|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43. 5.D　[解析] 設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,反射光線過點(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(2,-3),∴反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2). 又∵其與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴|-3k-2-2k-3|1+k2=1,解得k=-43或k=-34. 6.C　[解析] 方法一:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐標(biāo)代入得方程組D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46. 方法二:因為kAB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC為直角三角形,所以△ABC的外接圓圓心為AC的中點(1,-2),半徑r=12AC=5,所以MN=225-1=46. 方法三:由ABBC=0得AB⊥BC,下同方法二. 7.B　[解析] 方法一:易得△ABC面積為1,利用極限位置和特值法.當(dāng)a=0時,易得b=1-22;當(dāng)a=13時,易得b=13;當(dāng)a=1時,易得b=2-1>13.故選B. 方法二:(直接法)x+y=1,y=ax+b ?y=a+ba+1,y=ax+b與x 軸交于-ba,0,結(jié)合圖形與a>0,12a+ba+11+ba=12?(a+b)2=a(a+1)>0?a=b21-2b. ∵a>0,∴b21-2b>0?b<12,當(dāng)a=0時,極限位置易得b=1-22,故答案為B. 8.255　[解析] 由兩平行線間的距離公式得d=|-1-1|22+12=255. 9.(x-2)2+y2=9　[解析] 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a>0),根據(jù)題意得|2a|5=455,解得a=2(a=-2舍去),所以圓的半徑r=(2-0)2+(0-5)2=3,所以圓的方程為(x-2)2+y2=9. 10.4　[解析] 聯(lián)立x-3y+6=0,x2+y2=12,消去x得 y2-33y+6=0,解之得x=-3,y=3或x=0,y=23. 不妨設(shè)A(-3,3),則過點A且與直線l垂直的直線方程為3x+y+23=0,令y=0得xC=-2.同理得過點B且與l垂直的直線與x軸交點的橫坐標(biāo)xD=2,∴|CD|=4. 11.[-1,1]　[解析] 在△OMN中,|OM|=1+x02≥1=|ON|,所以設(shè)∠ONM=α,則45≤α<135.根據(jù)正弦定理得1+x02sinα=1sin45,所以1+x02=2sin α∈[1,2],所以0≤x02≤1,即-1≤x0≤1,故符合條件的x0的取值范圍為[-1,1]. 12.(x+1)2+(y-3)2=1　[解析] 由題意知拋物線的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,如圖所示. 設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(-1,y0),易知圓的半徑為1.因為∠FAC=120,∠CAO=90,所以∠FAO=120-90=30,故y0=3,則圓心坐標(biāo)為(-1,3),故圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1. 13.C　[解析] 易知tan θ=2,則sin 2θ=2tanθ1+tan2θ=45,故選C. 14.C　[解析] 易知a≠0,則a4=1a≠-a+1-2,解得a=-2,則“a=2”是“l(fā)1∥l2”的必要不充分條件,故選C. 15.A　[解析] 由點到直線的距離公式可得圓的半徑r=22=2,所以所求圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=2,故選A. 16.C　[解析] 點P(a,b)在圓O: x2+y2=r2內(nèi)?a2+b2r,故選C. 17.B　[解析] 由題設(shè)可知當(dāng)CP⊥l時,兩條切線l1,l2關(guān)于直線l:y=x+1對稱,此時CP為點C(1,6)到直線l:y=x+1的距離,即|CP|=|1-6+1|1+1=42=22.故選B. 18.D　[解析] 依題意可知,直線l過圓心(-4,-1),所以1=4a+b≥4ab,即ab≤116,當(dāng)且僅當(dāng)b=4a=12時等號成立,故當(dāng)ab取得最大值時,原點到直線l的距離為1a2+b2=81717. 19.B　[解析] 由題意知,圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,則△AOB的邊長為2,所以△AOB的高為3,即圓心到直線x-y-a=0的距離為3,所以|-a|2=3,解得a=6,故選B. 20.C　[解析] 到兩平行直線3x-4y=0與3x-4y+10=0的距離相等的直線的方程為3x-4y+5=0,聯(lián)立3x-4y+5=0,y=-x-4,解得x=-3,y=-1,所以圓心為M(-3,-1),半徑為|-33-4(-1)|32+42=1,從而圓M的方程為(x+3)2+(y+1)2=1,故選C. 21.B　[解析] 設(shè)P(4-2m,m),∵PA,PB是圓C的切線,∴CA⊥PA,CB⊥PB,∴AB是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦.易得以PC為直徑的圓的方程為[x-(2-m)]2+y-m22=(2-m)2+m24.又x2+y2=1,∴直線AB的方程為2(2-m)x+my=1.由于14,12滿足上式,∴直線AB過定點14,12,故選B. 22.(x-1)2+(y-1)2=2　[解析] ∵直徑的兩端點為B(0,2),A(2,0),∴圓心為(1,1),半徑為2,故圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2. 23.32　[解析] 由題意得,直線l1:kx-y+2=0經(jīng)過點A(0,2),直線l2:x+ky-2=0經(jīng)過點B(2,0),且直線l1⊥l2,所以點P落在以AB為直徑的圓C上.易知圓心為C(1,1),半徑r=2,則圓心到直線x-y-4=0的距離d=|1-1-4|2=22,所以點P到直線x-y-4=0的最大距離為d+r=22+2=32. 24.-310,35　[解析] 圓C:(x+1)2+(y-2)2=2的圓心為C(-1,2),半徑r=2.因為PM=PO,所以PO2+r2=PC2,所以x12+y12+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使PM最小,只要PO最小即可.當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0,即直線PO的方程為2x+y=0時,PM最小,此時P點為兩直線的交點,得P點坐標(biāo)為-310,35. 小題必刷卷(十二) 1.B　[解析] 由題意知,a=3,b=2,則c=a2-b2=5,所以橢圓x29+y24=1的離心率e=ca=53.因此選B. 2.A　[解析] 若已知方程表示雙曲線,則(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m20),點A在第一象限,點D在第二象限.根據(jù)拋物線的對稱性可得點A的縱坐標(biāo)為22,代入拋物線方程得x=4p,即點A4p,22.易知點D-p2,5,由于點A,D都在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上,所以16p2+8=p24+5,解得p=4,此即為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離. 8.A　[解析] ∵以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切, ∴圓心到此直線的距離d等于圓的半徑, 即d=|2ab|a2+b2=a. 又a>b>0,則上式可化簡為a2=3b2. ∵b2=a2-c2,∴a2=3(a2-c2),即c2a2=23, ∴e=ca=63. 9.D　[解析] 拋物線的焦點為F34,0,則過點F且傾斜角為30的直線方程為y=33x-34,即x=3y+34,代入拋物線方程得y2-3 3y-94=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=3 3,y1y2=-94,則S△OAB=12|OF||y1-y2|=1234(33)2-4-94=94. 10.A　[解析] 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0,則圓心到該直線的距離d=|2b|a2+b2=2bc.根據(jù)已知得12+2bc2=4,即4b2c2=3,所以b2=34c2,所以e=ca=c2a2=c2c2-b2=2. 11.C　[解析] 由拋物線的方程y2=4x得焦點F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1,故直線MF的方程為y=3(x-1).由y=3(x-1),y2=4x,得M(3,23),又MN⊥l,所以N(-1,23),所以直線NF的方程為3x+y-3=0,所以M到直線NF的距離d=|33+23-3|2=23. 12.A　[解析] 由題意不妨取F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1MF2=x02+y02-3<0.又點M在曲線C上,所以有x022-y02=1,即x02=2+2y02,代入上式得y02<13,所以-33a+c,即6ac3c-a>a+c,整理得3e2-4e-1<0,解得2-731,所以10,焦點到準(zhǔn)線的距離是23,因為△FAB是等邊三角形,所以2m32=23,所以m=2,即A(-3,2),那么3a2-4b2=1,ba=2,解得a2=1,b2=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y22=1. 解答必刷卷(五) 1.解:(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0). 由NP=2　NM得x0=x,y0=22y. 因為M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1, 因此點P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)證明:由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n). 由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0, 所以O(shè)QPF=0,即OQ⊥PF.又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 2.解:(1)設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0. 當(dāng)t=4時,橢圓E的方程為x24+y23=1,A(-2,0). 由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為π4, 因此直線AM的方程為y=x+2. 將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0, 解得y=0或y=127,所以y1=127. 因此△AMN的面積S△AMN=212127127=14449. (2)由題意知t>3,k>0,A(-t,0).將直線AM的方程y=k(x+t)代入x2t+y23=1得 (3+tk2)x2+2ttk2x+t2k2-3t=0. 由x1(-t)=t2k2-3t3+tk2得x1=t(3-tk2)3+tk2, 故|AM|=|x1+t|1+k2=6t(1+k2)3+tk2. 由題設(shè)知,直線AN的方程為y=-1k(x+t),故同理可得|AN|=6kt(1+k2)3k2+t. 由2|AM|=|AN|得23+tk2=k3k2+t,即(k3-2)t=3k(2k-1). 當(dāng)k=32時上式不成立,因此t=3k(2k-1)k3-2. t>3等價于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-2<0,即k-2k3-2<0, 由此得k-2>0,k3-2<0或k-2<0,k3-2>0,解得320. 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則xM1=12(x1+x2)=1+2k2>1, yM1=k(xM1-1)=2k,∴xM1= 1 + 12yM12, ∴線段P1P2的中點M1的軌跡方程為y2=2(x-1)(x>1). (2)由(1)知xM1=2+k2k2,yM1=2k. 同理,設(shè)M2(xM2,yM2),則xM2=2k2+1,yM2=-2k, ∴|FM1|=1-2+k2k22+2k2=2k21+k2, |FM2|=(2k2)2+(-2k)2=2|k|1+k2, 因此SΔFM1M2=12|FM1||FM2|=21|k|+|k|≥4, 當(dāng)且僅當(dāng)1|k|=|k|,即k=1時,SΔFM1M2取得最小值4. (3)當(dāng)k≠1時,由(2)知直線l的斜率為k=k1-k2, ∴直線l的方程為y+2k=k1-k2(x-2k2-1),即yk2+(x-3)k-y=0,(*) 當(dāng)x=3,y=0時,方程(*)對任意k(k≠1)均成立,即直線l過定點(3,0). 當(dāng)k=1時,直線l的方程為x=3,也過定點(3,0). 綜上可知,直線l恒過定點(3,0).