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課時規(guī)范練50　拋物線 基礎(chǔ)鞏固組 1.(2018山東春季聯(lián)考)已知拋物線x2=ay(a≠0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,該拋物線上的點M到x軸的距離為5,且|MF|=7,則焦點F到準(zhǔn)線l的距離是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.O為坐標(biāo)原點,F為拋物線C:y2=42x的焦點,P為拋物線C上一點,若|PF|=42,則△POF的面積為 (　　) A.2 B.22 C.23 D.4 3.(2018云南昆明一中模擬,5)已知點F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,O為坐標(biāo)原點,若以F為圓心,|FO|為半徑的圓與直線3x-y+3=0相切,則拋物線C的方程為(　　) A.x2=2y B.x2=4y C.x2=6y D.x2=8y 4.(2018廣東江門一模,10)F是拋物線y2=2x的焦點,點P在拋物線上,點Q在拋物線的準(zhǔn)線上,若PF=2FQ,則|PQ|=(　　) A. B.4 C. D.3 5.(2018湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)三模,11)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M,垂足為E,若|AB|=6,則|EM|的長為(　　) A.22 B.6 C.2 D.3 6.(2018齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點中學(xué)沖刺,11)已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點為F,直線y=x與拋物線C交于O,A兩點(O為坐標(biāo)原點),過F作直線OA的平行線交拋物線C于B,D兩點(其中B在第一象限),直線AB與直線OD交于點E,若△OEF的面積等于1,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為(　　) A.x=-1 B.x=- C.y=-1 D.y=- 7.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A,B,交其準(zhǔn)線l于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為(　　) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=3x 8.已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為　　　　　. 9.(2018安徽巢湖一模,15)已知拋物線C:y2=4x的焦點是F,直線l1:y=x-1交拋物線于A,B兩點,分別從A,B兩點向直線l2:x=-2作垂線,垂足是D,C,則四邊形ABCD的周長為　　　　　. 10.(2017廣東江門一模,10改編)F是拋物線y2=2x的焦點,以F為端點的射線與拋物線相交于點A,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點B,若FB=4FA,則FAFB=　　　　　. 綜合提升組 11.(2018山東煙臺模擬,6)已知直線l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,點P為拋物線y2=-8x上的任一點,則P到直線l1,l2的距離之和的最小值為(　　) A.2 B.234 C.181734 D.161534 12.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為3的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為(　　) A.5 B.22 C.23 D.33 13.已知拋物線的方程為y2=2px(p>0),O為坐標(biāo)原點,A,B為拋物線上的點,若△OAB為等邊三角形,且面積為483,則p的值為　　　　　. 14.設(shè)動點P(x,y)(x≥0)到定點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,記點P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)設(shè)D(x0,2)是曲線C上一點,與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線l1,l2過點D,且它們的傾斜角互補(bǔ).若直線l1,l2與曲線C的另一交點分別是M,N,證明直線MN的斜率為定值. 創(chuàng)新應(yīng)用組 15. (2018北京城六區(qū)一模,2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,點P在側(cè)面A1ABB1上,滿足到直線AA1和CD的距離相等的點P(　　) A.不存在 B.恰有1個 C.恰有2個 D.有無數(shù)個 16.(2018河北衡水模擬,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0),斜率為1的直線l1交拋物線C于A,B兩點,當(dāng)直線l1過點(1,0)時,以AB為直徑的圓與直線x=-1相切. (1)求拋物線C的方程; (2)與l1平行的直線l2交拋物線于C,D兩點,若平行線l1,l2之間的距離為22,且△OCD的面積是△OAB面積的3倍,求l1和l2的方程. 參考答案 課時規(guī)范練50　拋物線 1.C　因為|MF|=7,點M到x軸的距離為5,所以|a|4=7-5,所以|a|=8, 因此焦點F到準(zhǔn)線l的距離是|a|2=4,故選C. 2.C　利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32. ∴yP=26.∴S△POF=12|OF||yP|=23.故選C. 3.B　由拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則焦點坐標(biāo)F0, ,所以焦點F0, 到直線3x-y+3=0的距離為d=|-p2+3|2=,解得p=2,所以拋物線的方程為x2=4y,故選B. 4.A　設(shè)拋物線的準(zhǔn)線和對稱軸的交點為K.過點P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,則|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得|FK||MP|=|QF||QP|,即1|MP|=,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=,所以|PQ|=|PF|+|QF|=.故選A. 5.B　由已知得F(1,0),設(shè)直線l的方程為x=my+1,與y2=4x聯(lián)立得y2-4my-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),則y1+y2=4m,則y0=y1+y22=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=,線段AB的垂直平分線為y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),從而|ME|=4+4m2=6,故選B. 6.A 7.C　如圖,分別過點A,B作AA1⊥l于點A1,BB1⊥l于點B1, 由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|. ∴∠BCB1=30,∴∠AFx=60. 連接A1F,則△AA1F為等邊三角形,過點F作FF1⊥AA1于點F1,則F1為AA1的中點,設(shè)l交x軸于點K, 則|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32, 故拋物線方程為y2=3x. 8.2　由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值. 依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時,為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2. 9.18+42　由題知,F(1,0),準(zhǔn)線l的方程是x=-1,p=2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x,消去y,得x2=-6x+1=0.因為直線l1經(jīng)過焦點F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由拋物線上的點的幾何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因為直線l1的傾斜角是,所以|CD|=|AB|sin =822=42,所以四邊形ABCD的周長是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+42=18+42. 10.　由題意,設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m,過點A向準(zhǔn)線作垂線交垂線于點C,設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為D, 則由拋物線的定義,|FA|=m+12, 由△BAC∽△BFD,得m+121=34,∴m=14. ∴|FA|=34,|FB|=3, ∴FAFB=|FA||FB|=94. 11.C　∵拋物線y2=-8x的焦點為F(-2,0),準(zhǔn)線為l1:x=2, ∴P到l1的距離等于|PF|,∴P到直線l1,l2的距離之和的最小值為F(-2,0)到直線l2的距離d=|-6+0-30|9+25=181734.故選C. 12.C　由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3. 因為M在x軸的上方,所以M(3,23). 因為MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,23). 因為F(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1). 所以M到直線NF的距離為|3(3-1)+23|(-3)2+12=23. 13.2　設(shè)B(x1,y1),A(x2,y2). ∵|OA|=|OB|,∴x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,∴x22-x12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2與p同號,∴x1+x2=2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2. 根據(jù)拋物線對稱性可知點B,A關(guān)于x軸對稱, 由△OAB為等邊三角形,不妨設(shè)直線OB的方程為y=33x,由y=33x,y2=2px,解得B(6p,23p),∴|OB|=(6p)2+(23p)2=43p.∵△OAB的面積為483,∴34(43p)2=483,∴p=2. 14.(1)解 由題意知,動點P的軌跡方程是以F(1,0)為焦點,以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,故曲線C的方程為y2=4x. (2)證明 由D(x0,2)在曲線C上,得4=4x0,則x0=1,從而D(1,2). 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l1:y=k(x-1)+2, 則l2:y=-k(x-1)+2, 由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0, ∴x1=(k-2)2k2=k2-4k+4k2, 同理x2=k2+4k+4k2. ∴x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k. ∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k. ∴kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,即直線MN的斜率為定值-1. 15.D　由于點P在側(cè)面A1ABB1上,所以點P到直線AA1的距離為PA,所以點P為到定點A與到定直線CD距離相等的點集合,滿足拋物線的定義,有無數(shù)個.故選D. 16.解 (1)設(shè)直線AB方程為y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2b+2p)x+b2=0, Δ=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p2>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2b+2p,x1x2=b2, |AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=222bp+p2, 當(dāng)b=1時,|AB|=222p+p2,AB的中點為(1+p,p), 依題意可知2(1+p+1)=222p+p2,解得p=2. 所以拋物線方程為y2=4x. (2)點O到直線l1的距離為d=|b|2, S△OAB=12|AB|d=12224b+4|b|2=2|b|b+1. 因為平行線l1,l2之間的距離為22,所以直線CD方程為y=x-(b+1), S△OCD=2|b+1|b+2. 依題意可知32|b|b+1=2|b+1|b+2,即3b2(b+1)=(b+1)2(b+2), 化簡得2b2-3b-2=0,所以b=-12或b=2,滿足Δ>0, 所以l1:y=x+12,l2:y=x-12或l1:y=x-2,l2:y=x-3.