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阻尼系數(shù)和固有頻率的測量 8 1阻尼系數(shù)的測量 8 1 1自由振動衰減法 圖1單自由度系統(tǒng)模型 圖1所示的一個單自由度質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng) 其質(zhì)量為m kg 彈簧剛度系數(shù)為k N m 粘性阻尼系數(shù)為r N m s 當質(zhì)量上承受初始條件t 0時 位移 速度激勵時 將做自由衰減振動 在弱阻尼條件下其位移響應為 衰減系數(shù) 1 響應曲線如圖2所示 結(jié)論 為衰減振動的周期 為衰減振動的頻率 為衰減振動的圓頻率 圖2弱阻尼衰減振動的響應曲線 從圖2衰減振動的響應曲線上可直接測量出 然后根據(jù)可計算出n 計算出p 可計算出計算出r 計算出無阻尼時系統(tǒng)的固有頻率 計算出無阻尼時系統(tǒng)的固有周期 對于衰減系數(shù)n 可以用三種方法來計算 1 由相鄰的正逢 或相鄰的負峰 幅值比計算 2 由相鄰的峰 峰幅值比計算 3 小阻尼情況適用公式 8 1 2半功率點法 圖3所示為一個單自由度質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)強迫振動模型 其質(zhì)量為m kg 彈簧剛度系數(shù)為k N m 粘性阻尼系數(shù)為r N m s 質(zhì)量m上承受簡諧激振力作用 其強迫振動的位移響應為 圖3單自由度系統(tǒng)模型 引入符號 則有 上式中 相當于激振力的最大幅值靜止地作用在彈簧上所引起的彈簧靜變形 稱為頻率比 稱為放大因子 以為橫坐標 為縱坐標 對于不同的值所得到的一組曲線 稱為幅頻響應曲線 如圖4所示 圖中只給出了一種值 為位移響應滯后力的相位角 以為橫坐標 為縱坐標 對于不同的值所得到的一組曲線 稱為相頻響應曲線 如圖5所示 圖4強迫振動幅頻響應曲線 圖5強迫振動相頻響應曲線 在幅頻響應曲線中 當時 當時 其最大值 在圖中作一條水平線 其縱坐標為 與曲線交于兩點 該兩點稱為半功率點 兩點之間的距離為 圖4強迫振動幅頻響應曲線 8 1 3共振法 強迫振動的位移響應為 速度響應為 速度幅值為 取得極值的條件為 即當時 系統(tǒng)發(fā)生速度共振 此時相位差 即速度響應與激振力之間的相位差為0 阻尼力 即激振力所作的功全部被阻尼所消耗 故有系統(tǒng)發(fā)生速度共振時 因此 只要測量系統(tǒng)發(fā)生速度共振時的速度幅值和激振力幅值 即可計算出阻尼系數(shù) 并根據(jù)算出衰減系數(shù) 算出相對阻尼系數(shù) 也可利用示波器力與速度的圖像來測量阻尼系數(shù) 如圖6所示 將力信號接入示波器的x軸 速度信號接入示波器的y軸 兩通道的放大倍數(shù)調(diào)成一致 因二者之間的相位差為0 故形成圖示的直線 該直線的斜率即為阻尼系數(shù) 即 圖6共振法測阻尼的圖像 若x軸接入的是位移信號 則形成的圖像為正橢圓 橢圓與x y軸的交點即為和 據(jù)此也可測出阻尼系數(shù) 8 2固有頻率的測量 8 2 1自由振動衰減法 系統(tǒng)的固有頻率是指系統(tǒng)無阻尼時自由振動的頻率 即 對圖1所示的單自由度質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng) 當受初始擾動后 其自由振動的衰減曲線如圖2所示 在曲線上可直接測量并計算出衰減的周期 衰減系數(shù) 相對阻尼系數(shù) 因而有 圖1單自由度系統(tǒng)模型 圖2弱阻尼衰減振動的響應曲線 8 2 1速度共振的相位判別法 圖3單自由度系統(tǒng)模型 圖3所示為一個單自由度質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)強迫振動模型 位移響應為 幅值B取得極值的條件為 即在該點發(fā)生共振 共振幅值 位移信號與激振力信號之間的相位差 速度響應為 幅值取得極值的條件為 即在該點發(fā)生共振 共振幅值 速度信號與激振力信號之間的相位差 加速度響應 幅值取得極值的條件為 即在該點發(fā)生共振 共振幅值 加速度信號與激振力信號之間的相位差 圖7速度響應判別速度共振 圖8位移響應判別速度共振 圖9加速度響應判別速度共振 速度共振的相位判別法的依據(jù)即為系統(tǒng)發(fā)生速度共振時 激振力和速度響應之間的相位差為0 實驗時 將激振力信號接入示波器的 軸 速度響應信號接入示波器的 軸 改變激振信號的頻率 根據(jù)李沙育原理 屏幕上將出現(xiàn)如圖 的圖像 即當圖像變成斜直線時 系統(tǒng)發(fā)生速度共振 此時 即激振力的頻率就是系統(tǒng)的固有頻率 若示波器 軸上分別接入的是位移信號和加速度信號 則屏幕上出現(xiàn)圖 的圖像 8 2 穩(wěn)態(tài)激振法 圖3單自由度系統(tǒng)模型 圖3所示為一個單自由度質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)強迫振動模型 位移響應為 位移幅值 系統(tǒng)確定后p n m是確定的 只要保證激振力幅值是常量 的大小唯一取決于激振力頻率 穩(wěn)態(tài)激振法是每給定一個激振頻率 測量一次位移響應幅值 從而得到一組隨變化的數(shù)據(jù) 以為橫坐標 為縱坐標 可描在曲線上 振幅最大的點對應的激振頻率稱為共振頻率 測試系統(tǒng)發(fā)生了位移共振 圖10強迫振動時幅頻響應曲線 式中 相對阻尼系數(shù)可以通過半功率點法測得 在的情況下也可忽略 此時系統(tǒng)的共振頻率等于固有頻率 若測量的是系統(tǒng)速度響應幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線 則系統(tǒng)的共振頻率就是固有頻率 即若測量的是系統(tǒng)加速度幅值與激振頻率之間的關(guān)系曲線 則系統(tǒng)的共振頻率與固有頻率的關(guān)系為 8 3傳遞函數(shù)與頻響函數(shù) 圖11單自由度粘性阻尼系統(tǒng) 由振動理論可知 圖11所示單自由度粘性阻尼系統(tǒng) 阻尼力 系統(tǒng)運動的微分方程為 對上式兩邊進行拉普拉斯變換 并假設(shè)初始速度 位移值為0 有 式中s為拉氏變換因子 為復變量 也稱復頻率 其實部和虛部常用和表示 即 為的拉氏變換 為的拉氏變換 按照機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義 有該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 對于自由振動 則有 在小阻尼的情況下 求得的一對共軛復根為 和稱為該系統(tǒng)的復頻率 其實部即為系統(tǒng)的衰減系數(shù) 虛部為系統(tǒng)的有阻尼固有頻率 對系統(tǒng)運動的微分方程兩邊進行傅立葉變換 即 即有系統(tǒng)的頻響函數(shù) 式中 為的傅立葉變換 為的傅立葉變換 頻響函數(shù)是頻率的函數(shù) 為復數(shù) 即有幅值與相位 又有實部與虛部 常用以下曲線來描述其特性 8 3 1Bode圖 頻響函數(shù)的幅頻圖和相頻圖稱為Bode圖 對粘性阻尼 其模與相位角為 式中 為頻率比 為相對阻尼系數(shù) 圖形如圖12 圖12頻響函數(shù)的幅頻與相頻圖 8 3 2實頻圖與虛頻圖 頻響函數(shù)的實部和虛部分別為 其圖形如圖13所示 在實部圖上 利用半功率點法可以識別出系統(tǒng)的相對阻尼系數(shù) 時虛部達到極大值 實部為0 系統(tǒng)處于共振狀態(tài) 可識別出系統(tǒng)的固有頻率 圖13頻響函數(shù)的實部與虛部圖 8 3 2Nyquist圖 以頻響函數(shù)的實部為橫坐標 虛部為縱坐標 繪出頻響函數(shù)矢量隨頻率的變化圖 這些變化矢量的端點軌跡圖稱為Nyquist圖 圖形方程為 圖形如圖14所示 在圖中虛部與圖的交點處的頻率即為系統(tǒng)的固有頻率p 實部達到極值的兩點即為半功率點 由此可確定系統(tǒng)的相對阻尼系數(shù) 圖14頻響函數(shù)的Nyquist圖