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2019-2020年高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)含答案 高三數(shù)學(xué)（理科） xx.5 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．已知全集，集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)是，的對應(yīng)點(diǎn)是，則 （A） （B） （C） （D） 3．在極坐標(biāo)系中，圓心為，且過極點(diǎn)的圓的方程是 （A） （B） （C） （D） 4．如圖所示的程序框圖表示求算式“” 之值， 則判斷框內(nèi)可以填入 （A） （B） （C） （D） 5．設(shè)，，，則 （A） （B） （C） （D） 6．對于直線，和平面，，使成立的一個(gè)充分條件是 （A），∥ （B）∥， （C），， （D），， 7．已知正六邊形的邊長是，一條拋物線恰好經(jīng)過該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 （A） （B） （C） （D） 8．已知函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．右圖是甲，乙兩組各名同學(xué)身高（單位：）數(shù)據(jù) 的莖葉圖．記甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和， 則 ______． （填入：“”，“”，或“”） 10．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答） 11．在△中，，，，則______；△的面積是______． 12．如圖，是半圓的直徑，在的延長線上，與半圓相切于點(diǎn)，．若，，則______． 13．在等差數(shù)列中，，，則______；設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和______． 14．已知正數(shù)滿足，，則的取值范圍是______． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 如圖，在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，且．將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)．記． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）分別過作軸的垂線，垂足依次為．記△ 的面積為，△的面積為．若，求角的值． 16．（本小題滿分13分） 某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下： 獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì)． （Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率； （Ⅱ）記為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 17．（本小題滿分14分） 如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）證明：∥平面； （Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長；若不存在，說明理由． 18．（本小題滿分13分） 如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱． （Ⅰ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值； （Ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 20．（本小題滿分13分） 已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù) 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的生成列及排列的母列； （Ⅱ）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同； （Ⅲ）對于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列．證明：一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列． 北京市西城區(qū)xx高三二模試卷 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) xx.5 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．B． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．； 11．，； 12．； 13．，； 14．． 注：11、13題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：由三角函數(shù)定義，得 ，． ………………2分 因?yàn)?，， 所以 ． …………3分 所以 ． ………………5分 （Ⅱ）解：依題意得 ，． 所以 ， ………………7分 ． ……………9分 依題意得 ， 整理得 ． ………………11分 因?yàn)?， 所以 ， 所以 ， 即 ． ………………13分 16．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件， ………………1分 則 ， 故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為． ………………4分 （Ⅱ）解：隨機(jī)變量的所有取值為． ………………5分 ， ， ， ， ． ………………10分 所以，隨機(jī)變量的分布列為: ………………11分 ． ………………13分 17．（本小題滿分14分） 【方法一】 （Ⅰ）證明：由俯視圖可得，， 所以 ． ………………1分 又因?yàn)?平面， 所以 ， ………………3分 所以 平面． ………………4分 （Ⅱ）證明：取上一點(diǎn)，使，連結(jié)，． ………………5分 由左視圖知 ，所以 ∥，．…………6分 在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ． 又因?yàn)?∥，，所以 ∥，． 所以四邊形為平行四邊形，所以 ∥．………………8分 因?yàn)?平面，平面， 所以 直線∥平面． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．證明如下：……10分 因?yàn)?平面，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 所以 ． 設(shè) ，其中． ………………11分 所以，． 要使與所成角的余弦值為，則有 ，……………12分 所以 ，解得 或，均適合．…………13分 故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為． ………………14分 【方法二】 （Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?，，建立如圖所示 的空間直角坐標(biāo)系． 在△中，易得，所以 ， 因?yàn)?， 所以， ． 由俯視圖和左視圖可得： ． 所以 ，． 因?yàn)?，所以． ………………2分 又因?yàn)?平面，所以 ， ………………3分 所以 平面． ………………4分 （Ⅱ）證明：設(shè)平面的法向量為，則有 因?yàn)?，， 所以 取，得． ………………6分 因?yàn)?， 所以 ． ………………8分 因?yàn)?平面， 所以 直線∥平面． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．證明如下：………10分 設(shè) ，其中． ………………11分 所以 ，． 要使與所成角的余弦值為，則有 ，…………12分 所以 ，解得或，均適合． ………13分 故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為． ………………14分 18．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：依題意，是線段的中點(diǎn)， 因?yàn)?，? 所以 點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………2分 由點(diǎn)在橢圓上， 所以 ， ………………4分 解得 ． ………………5分 （Ⅱ）解：設(shè)，則 ，且． ① ………………6分 因?yàn)?是線段的中點(diǎn)， 所以 ． ………………7分 因?yàn)?， 所以 ． ② ………………8分 由 ①，② 消去，整理得 ． ………………10分 所以 ， ………………12分 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號成立． 所以 的取值范圍是． ………………13分 19.（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：的定義域?yàn)椋?且 ． ……………2分 當(dāng)時(shí)，，， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ， 即 ． ………………4分 （Ⅱ）解：方程的判別式為． （?。┊?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是． ………………6分 （ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得 ，或． 和的情況如下： ↗ ↘ ↗ 故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為． ………………8分 ① 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是． ………………10分 ② 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間上的最小值是 ．………………11分 因?yàn)?， 所以 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是． ………………12分 ③ 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是．………………14分 綜上， 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是； 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是； 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是； 當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是． 20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為； ………………2分 排列的母列為． ………………3分 （Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與． 從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，，，，． 顯然 ，，，，下面證明：． ………………5分 由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)． 由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而． 同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而． 因?yàn)?與是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且， 所以 ， 從而 ． 所以排列和的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以 ． ………………9分 進(jìn)行一次變換后，排列變換為，設(shè)該排列的生成列為． 所以 ． ………………11分 因此，經(jīng)過一次變換后，整個(gè)排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和將至少增加． 因?yàn)榈臐M意指數(shù)，其中， 所以，整個(gè)排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和不超過， 即整個(gè)排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和為有限數(shù)， 所以經(jīng)過有限次變換后，一定會(huì)使各項(xiàng)的滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)． ……13分