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2019-2020年高三一?？荚?數(shù)學(xué)理 含答案 本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。 第一部分 （選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． （1）已知集合，，則 （A） （B） （C） （D） （2）已知等比數(shù)列中，， ，則公比 （A） （B） （C） （D） （3）參數(shù)方程 (為參數(shù))化為普通方程是 （A） （B） （C） （D） （4）當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） （5）某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱長(zhǎng)度為 （A） （B） （C） （D） （6）在“學(xué)雷鋒，我是志愿者”活動(dòng)中，有名志愿者要分配到個(gè)不同的社區(qū)參加服務(wù)，每個(gè)社區(qū)分 配名志愿者，其中甲、乙兩人分到同一社區(qū)，則不同的分配方案共有 （A）種 （B）種 （C）種 （D）種 （7）已知不等式組 表示的平面區(qū)域的面積等于，則的值為 ﹙A﹚ （B） ﹙C﹚ （D） （8）如圖，正方體中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（含邊界） 一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)空間幾何體，則該幾何體為 （A）棱柱 （B）棱錐 （C）棱臺(tái) （D）球 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． （9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 . （10）在△中，，，，則 . （11）如圖，為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，， ，則 ；圓的直徑為 ． （12）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)是邊 上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ． （13）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值 范圍是 ． （14）對(duì)于非空實(shí)數(shù)集合，記，設(shè)非空實(shí)數(shù)集合滿足條件“若，則” 且，給出下列命題： ①若全集為實(shí)數(shù)集，對(duì)于任意非空實(shí)數(shù)集合，必有； ②對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合，必有； ③存在符合題設(shè)條件的集合，使得； ④存在符合題設(shè)條件的集合，使得． 其中所有正確命題的序號(hào)是 ． 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程． （15）（本小題共13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）求在區(qū)間上的取值范圍． （16）（本小題共13分） 為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，推進(jìn)節(jié)能減排，國(guó)家對(duì)消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車給予補(bǔ)貼，其中對(duì)純電動(dòng)乘用車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表： 新能源汽車補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn) 車輛類型 續(xù)駛里程（公里） 純電動(dòng)乘用車 萬(wàn)元/輛 萬(wàn)元/輛 萬(wàn)元/輛 某校研究性學(xué)習(xí)小組，從汽車市場(chǎng)上隨機(jī)選取了輛純電動(dòng)乘用車，根據(jù)其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程）作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)表： 分組 頻數(shù) 頻率 合計(jì) （Ⅰ）求，，，的值； （Ⅱ）若從這輛純電動(dòng)乘用車中任選輛，求選到的輛車?yán)m(xù)駛里程都不低于公里的概率； （Ⅲ）若以頻率作為概率，設(shè)為購(gòu)買一輛純電動(dòng)乘用車獲得的補(bǔ)貼，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． （17）（本小題共14分） 如圖，三棱柱中，平面，，，．以 ，為鄰邊作平行四邊形，連接和． （Ⅰ）求證：∥平面 ； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值； （Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？若存在，求出的長(zhǎng)；若 不存在，說(shuō)明理由． （18）（本小題共14分） 已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖所示． （Ⅰ）求的極大值點(diǎn)； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）若，求在區(qū)間上的最小值． （19）（本小題滿分13分） 已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在直線，使得△與△的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由． （20）（本小題滿分13分） 在數(shù)列中，若（，，為常數(shù)），則稱為數(shù)列． （Ⅰ）若數(shù)列是數(shù)列，，，寫出所有滿足條件的數(shù)列的前項(xiàng)； （Ⅱ）證明：一個(gè)等比數(shù)列為數(shù)列的充要條件是公比為或； （Ⅲ）若數(shù)列滿足，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．是否存在 正整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值； 若不存在，說(shuō)明理由． 數(shù)學(xué)（理）參考答案 一、選擇題（每小題5分，共40分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C C B D A 二、填空題（每小題5分，共30分，有兩空的第一空3分，第二空2分） （9） （10） （11）； （12） （13） （14）②③④ 三、 （15）（本小題共13分） 解： （Ⅰ）， ------------------3分 ------------------5分 ∴函數(shù)的最小正周期為. ------------------6分 由 ， -----------------7分 得 ， ∴的單調(diào)增區(qū)間是， -----------------8分 （Ⅱ） ------------------3分 函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為. ------------------5分 （16）（本小題共13分） 解： （Ⅰ） 由表格可知，所以，，， . ------------------4分 （Ⅱ）設(shè)“從這輛純電動(dòng)車中任選輛，選到的輛車的續(xù)駛里程都不低于公里” 為事件，則. ------------------4分 （Ⅲ）的可能取值為，， ------------------1分 所以的分布列為 ------------------3分 . ------------------5分 （17）（本小題共14分） 解： （Ⅰ）連結(jié)，三棱柱中且， 由平行四邊形得且 且 ------------------1分 四邊形為平行四邊形， ------------------2分 平，平面 ------------------3分 平面 ------------------4分 （Ⅱ）由，四邊形為平行四邊形得，底面 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，， ， ， ------------------1分 ，， 設(shè)平面的法向量為，則 即，令，則， ------------------3分 直線與平面所成角的正弦值為. ------------------5分 （Ⅲ）設(shè)，，則 ------------------1分 設(shè)平面的法向量為，則 ， 即 令，則，，所以 ------------------3分 由（Ⅱ）知：平面的法向量為 假設(shè)平面與平面垂直，則 ，解得， 線段上不存在點(diǎn)，使平面與平面垂直. ------------------5分 （18）（本小題共14分） 解： （Ⅰ）由導(dǎo)函數(shù)圖象可知：在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減， 所以，的極大值點(diǎn)為 ------------------3分 （Ⅱ） ------------------2分 由得 ------------------3分 當(dāng)時(shí)，與已知矛盾， ------------------5分 （Ⅲ） ①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減 ------------------2分 ②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增， ------------------4分 ③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ------------------6分 （19）（本小題滿分13分） 解： （Ⅰ）由已知得， ------------------3分 ，所以橢圓的方程為 ------------------4分 （Ⅱ）等價(jià)于 ------------------2分 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不符合題意，舍去； ------------------3分 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由消并整理得 ------------------5分 設(shè)，，則 ①，② ------------------7分 由得③ 由①②③解得，因此存在直線：使得與 的面積比值為 ------------------9分 （20）（本小題滿分13分） 解： （Ⅰ）由是數(shù)列，，，有， 于是, 所有滿足條件的數(shù)列的前項(xiàng)為： ；；；． ------------------4分 （Ⅱ）（必要性）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，（為公比且），則 ，若為數(shù)列，則有 （為與無(wú)關(guān)的常數(shù)） 所以，或． ------------------2分 （充分性）若一個(gè)等比數(shù)列的公比，則， ，所 以 為數(shù)列； 若一個(gè)等比數(shù)列的公比，則， ， 所以為數(shù)列． ------------------4分 （Ⅲ）因數(shù)列中，則 ， 所以數(shù)列的前項(xiàng)和 ------------------1分 假設(shè)存在正整數(shù)使不等式對(duì)一 切都成立．即 當(dāng)時(shí)，，又為正整數(shù)， ． -----------------3分 下面證明：對(duì)一切都成立． 由于 所以 ------------------5分