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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)壓軸題 專題4.3 立體幾何的動(dòng)態(tài)問題 一．方法綜述 立體幾何的動(dòng)態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，問題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性。一般立體動(dòng)態(tài)問題形成的原因有動(dòng)點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等。此類題的求解并沒有一定的模式與固定的套路可以沿用，很多學(xué)生一籌莫展，無法形成清晰的分析思路，導(dǎo)致該題成為學(xué)生的易失分點(diǎn)。究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生缺乏相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)和解決問題的策略造成的。 動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口。求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍。對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題。具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證。 二．解題策略 類型一 立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的角度問題 例1.【xx高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為. 【答案】 ，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值. 【指點(diǎn)迷津】空間的角的問題，一種方法，代數(shù)法，只要便于建立空間直角坐標(biāo)系均可建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用公式求解；另一種方法，幾何法，幾何問題要結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大（?。┲怠．?dāng)點(diǎn)M在P處時(shí)，EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為0（最小），當(dāng)M點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，EM與AF所成角逐漸變小時(shí)，點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，角最小，余弦值最大。 【舉一反三】 1、【xx四川，理8】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】B ，. 又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選B. 2、【xx屆內(nèi)蒙古包頭市十校高三聯(lián)考】在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則異面直線與所成角的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、【xx屆江西鷹潭一中高三理上學(xué)期月考五】如圖，已知平面，，、是直線上的兩點(diǎn)，、是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，， ，，．是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 類型二 立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的距離問題 【例2】如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，有一棱長為的正方體，和分別是體對(duì)角線和棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【指點(diǎn)迷津】求兩點(diǎn)間的距離或其最值。一種方法，可建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式寫出距離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，尋找那兩點(diǎn)間的距離最大（?。?，求其值。 【舉一反三】 1、【xx屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下第六次月考】如圖，已知正方體棱長為4，點(diǎn)在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形，是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是（ ） A．21 B．22 C．23 D．25 【答案】B 【解析】在上取點(diǎn)，使得，則面，連結(jié)，則．在平面上，以所在直線為軸，以所在直線為軸，由題意可知，點(diǎn)軌跡為拋物線，其方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則（其中，當(dāng)時(shí)，，故．2、如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為__________. 【答案】 3、【xx屆浙江省溫州市高三第二次模擬考試】如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成的角，則線段長的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 類型三 立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的面積、體積問題 【例3】在棱長為6的正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐的體積最大值是（ ） A. 36 B. C. 24 D. 【答案】B 【指點(diǎn)迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐，其底面的面積為不變的幾何量，求點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值，選擇公式，可求最值。 【舉一反三】 1、【xx屆山東棗莊市高三理上學(xué)期末】《 九章九術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，若，當(dāng)陽馬體積最大時(shí)，則塹堵的體積為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 2、【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)xx屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知矩形中， ， 分別是上兩動(dòng)點(diǎn)，且，把四邊形沿折起，使平面平面，若折得的幾何體的體積最大，則該幾何體外接球的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、【xx新課標(biāo)2文10】已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 類型四 立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的軌跡問題 【例4】如圖直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，，點(diǎn)、、、、分別是邊、、、、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，并且始終有平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，所以平面，平面，又因?yàn)?所以平面平面，要使平面，則平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，點(diǎn)的軌跡長度為. 故本題正確答案為. 【指點(diǎn)迷津】由已知可知平面平面，要始終有平面，點(diǎn)M為定點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡為線段HF，求其長度即可。 【舉一反三】 1、如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足 ，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 【答案】C. 2、【xx屆浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三月考】在正方體中，已知點(diǎn)為平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點(diǎn)的軌跡為（ ） A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 【答案】D 3、【xx屆浙江省名校協(xié)作體高三下學(xué)期考試】已知平面平面，，且.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則，，設(shè)，易知直線與平面所的角分別為，均為銳角， 類型五 立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題 【例5】如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析：設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)， 在中，， 在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，， 過作，連結(jié)，∴， 則就是二面角的平面角，∴， 在中，，， 【舉一反三】 1、【xx課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______. 【答案】 【解析】 2、【浙江省xx屆高三3月聯(lián)考】矩形中， ， ，將與沿所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線與直線成的角范圍（包含初始狀態(tài)）為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】初始狀態(tài)直線與直線成的角為 ，翻折過程中當(dāng)時(shí), 直線與直線成的角為直角，因此直線與直線成的角范圍為，選C. 3、如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是△繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ） A．動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上 B．恒有平面⊥平面 C．三棱錐的體積有最大值 D．異面直線與不可能垂直 【答案】D 三．強(qiáng)化訓(xùn)練 1、【xx課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成30角； ②當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最小值為60. 其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)） 【答案】②③ 【解析】 試題分析：由題意，是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作，交底面圓于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD，，連結(jié)AD，等腰△ABD中， ,當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，，故，又在中，， 過點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由圓的對(duì)稱性可知 , 為等邊三角形，，即AB與b成60角，②正確，①錯(cuò)誤. 由最小角定理可知③正確； 很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線與所成的最大角為90，④錯(cuò)誤. 正確的說法為②③. 2、【xx高考山東，理7】在梯形中，， .將梯 形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 3、【xx屆河北定州市月考卷】設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長為1的正方體的對(duì)角線上，記，當(dāng)為鈍角時(shí)，的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 4、【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)xx屆高三3月月考】如右圖所示，在棱長為2的正方體中， 為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為面和線段上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為_______． 【答案】 【解析】將面與面折成一個(gè)平面，設(shè)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為M，E關(guān)于 對(duì)稱點(diǎn)為N,則周長的最小值為. 5、如圖所示，在棱長為2的正四面體中，是棱的中點(diǎn)，若是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】B 6、在直三棱柱中，底面為直角三角形， ，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 7、在長方體中，，，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，可以重合），則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】由題意易得：，作平面于，由對(duì)稱性可知，因此 ，問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，體對(duì)角線上找一點(diǎn)使得最小，如下圖所示，過點(diǎn)作它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，交直線與點(diǎn), 再過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長度即為所求的最小值，易得，∴， ，故選C． 8、已知直角梯形，，，，沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離是 . 【答案】 9、如圖，矩形中，，，平面，若在上只有兩個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值范圍是 . 【答案】. 【解析】由，得：，設(shè) ，，則由勾股定理可計(jì)算：，，，代入整理得： ，由題意得方程有兩個(gè)正根，∴ . 10、【xx高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ) （A） （B） （）2 （）4 【答案】 11、【xx屆江西鷹潭一中高三理上學(xué)期月考五】如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，，為上任意兩點(diǎn)，且的長為定值，則下面的四個(gè)值中不為定值的是（ ） A．點(diǎn)到平面的距離 B．三棱錐的體積 C．直線與平面所成的角 D．二面角的大小 【答案】C 【解析】 試題分析：A：∵平面也就是平面，既然和平面都是固定的，∴到平面的距離是定值；B：∵的面積是定值．（∵定長，到的距離就是到的距離也為定長，即底和高都是定值），再根據(jù)的結(jié)論到平面的距離也是定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定．∴三棱錐的體積是定值；C：∵是動(dòng)點(diǎn)，也是動(dòng)點(diǎn)，推不出定值的結(jié)論，∴就不是定值．∴直線與平面所成的角不是定值；D：∵，為上任意一點(diǎn)，、為上任意兩點(diǎn)，∴二面角的大小為定值．故選：C． 12、長方體中，已知，，棱在平面內(nèi)，則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是 ． 【答案】. 【考點(diǎn)】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題. ∴（其中，），因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，因此. 13、如圖所示，正方體的棱長為, 分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，給出以下四個(gè)命題： （1）平面平面； （2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最??； （3）四邊形周長，則是偶函數(shù)； （4）四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中真命題的序號(hào)為______. 【答案】①②③④. ∴，則，則是偶函數(shù)；（4）根據(jù)分割思想，有，又，到平面的距離為1， ，又，，∴為常函數(shù)． 14、【xx高考北京理第8題】如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y，z大于零)，則四面體P—EFQ的體積 (　　) A．與x，y，z都有關(guān) B．與x有關(guān)，與y，z無關(guān) C．與y有關(guān)，與x，z無關(guān) D．與z有關(guān)，與x，y無關(guān) 【答案】D 【解析】 試題分析：　∵DC∥A1B1，EF＝1， ∴S△EFQ＝12＝ (定值)． 而點(diǎn)P到面EFQ的距離為P到面A1DCB1的距離，為DPsin45＝z. ∴V四面體P—EFQ＝z＝z. 15、【xx屆廣西陸川縣中學(xué)高三9月月考】正四棱錐的底面邊長為2，高為2，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的周長為_____________． 【答案】 【解析】 16、如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下面四個(gè)命題中不正確的是（ ） A．是定值 B．點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng) C．存在某個(gè)位置，使 D．存在某位置，使平面 【答案】C． 【解析】取中點(diǎn)，連接，，則，，∴平面平面， ∴平面，故D正確；由，為定值，為定值， 由余弦定理可得，∴是定值，故A正確；∵是定點(diǎn)，∴是在以為圓心，為半徑的圓上，故B正確；∵在平面中的射影為，與不垂直，∴存在某個(gè)位置，使錯(cuò)誤，故選C． 17、在平行四邊形中，， ，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 18、直角梯形，滿足，，，現(xiàn)將其沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積取最大值時(shí)其外接球的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 19、【江西省xx屆高三4月新課程教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】如圖所示，正方體的棱長為1， ， 分別是棱， 的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱， 交于， ，設(shè)， ，給出以下命題： ①四邊形為平行四邊形； ②若四邊形面積， ，則有最小值； ③若四棱錐的體積， ，則為常函數(shù)； ④若多面體的體積， ，則為單調(diào)函數(shù). ⑤當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形. 其中假命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 20、【xx屆浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估考試】如圖，在矩形中，四邊形為邊長為的正方形，現(xiàn)將矩形沿過點(diǎn)的動(dòng)直線 翻折，使翻折后的點(diǎn)在平面上的射影落在直線上,若點(diǎn)在折痕上射影為，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A