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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5 第一課時(shí)　數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式 數(shù)列的概念 　　[提出問題] 觀察下列示例，回答后面問題． (1)正整數(shù)1,2,3,4,5,6的倒數(shù)依次是1，，，，，. (2)－2的1次冪，2次冪，3次冪、4次冪依次是－2,4，－8,16. (3)人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現(xiàn)一次，那么從發(fā)現(xiàn)那次算起，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思為：一尺長(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完．如果將“一尺之棰”視為1份，那么每日剩下的部分依次分為：，，，，，…. 問題：觀察上面4個(gè)例子，它們都涉及到了一些數(shù)，這些數(shù)的呈現(xiàn)有什么特點(diǎn)？ 提示：按照一定的順序排列． [導(dǎo)入新知] 數(shù)列的概念 (1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列． (2)項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．a(chǎn)1稱為數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng))，a2稱為第2項(xiàng)，…，an稱為第n項(xiàng)． (3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an…簡(jiǎn)記為{an}． [化解疑難] 1．?dāng)?shù)列的定義中要把握兩個(gè)關(guān)鍵詞：“一定順序”與“一列數(shù)”．也就是說構(gòu)成數(shù)列的元素是“數(shù)”，并且這些數(shù)是按照“一定順序”排列著的，即確定的數(shù)在確定的位置． 2．項(xiàng)an與序號(hào)n是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列中的一個(gè)確定的數(shù)，而序號(hào)是指項(xiàng)在數(shù)列中的位次． 3．{an}與an是不同概念：{an}表示數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示數(shù)列{an}中的第n項(xiàng). 數(shù)列的分類 [提出問題] 問題：觀察上面4個(gè)例子中對(duì)應(yīng)的數(shù)列，它們的項(xiàng)數(shù)分別是多少？這些數(shù)列中從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的大小關(guān)系又是怎樣的？ 提示：數(shù)列1中有6項(xiàng)，數(shù)列2中有4項(xiàng)，數(shù)列3、4有無窮多項(xiàng)；數(shù)列1中每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，數(shù)列2中的項(xiàng)大小不確定，數(shù)列3中每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，數(shù)列4中每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)． [導(dǎo)入新知] 分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義 按項(xiàng)的個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列 按項(xiàng)的變化趨勢(shì) 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列 擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 [化解疑難] 在寫數(shù)列時(shí)，對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)寫出．例如，數(shù)列1,2,3,4，…，100.表示有窮數(shù)列．但是如果把數(shù)列寫成1,2,3,4，…，100，…就表示無窮數(shù)列. 數(shù)列的通項(xiàng)公式 [提出問題] 問題：仍然觀察上面4個(gè)例子，你能否發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列中，每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之間存在著某種關(guān)系？這種關(guān)系是否可以表示為一個(gè)公式？ 提示：每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)間存在一定的關(guān)系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示． [導(dǎo)入新知] 數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． [化解疑難] 1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)解析式． 2．同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式． 數(shù)列的概念及分類 [例1]　已知下列數(shù)列： (1)0,0,0,0,0,0； (2)0，－1,2，－3,4，－5，…； (3)0，，，…，，…； (4)1,0.2,0.22,0.23，…； (5)0，－1,0，…，cosπ，…. 其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動(dòng)數(shù)列是________(填序號(hào))． [解析]　(1)是常數(shù)列且是有窮數(shù)列； (2)是無窮擺動(dòng)數(shù)列； (3)是無窮遞增數(shù)列(因?yàn)椋?－)； (4)是無窮遞減數(shù)列； (5)是無窮擺動(dòng)數(shù)列． [答案]　(1)　(2)(3)(4)(5)　(3)　(4)　(1)　(2)(5) [類題通法] 判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)．若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列．而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項(xiàng)起，觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系，若滿足anan＋1，則是遞減數(shù)列；若滿足an＝an＋1，則是常數(shù)列；若an與an＋1的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列． [活學(xué)活用] 1．給出下列數(shù)列： (1)xx～xx年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列 82,93,105,119,129,130,132,135. (2)無窮多個(gè)構(gòu)成數(shù)列． ，，，，…. (3)－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構(gòu)成數(shù)列－2,4，－8,16，－32，…. (4)精確到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列 1,1.4,1.41,1.414，…； 2,1.5,1.42,1.415，…. 指出其中哪些是有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？ 解：有窮數(shù)列有：82,93,105,119,129,130,132,135； 無窮數(shù)列有：，，，，…； －2,4，－8,16，－32，…； 1,1.4,1.41,1.414，…； 2,1.5,1.42,1.415，…. 遞增數(shù)列有：82,93,105,119,129,130,132,135； 1,1.4,1.41,1.414，…. 遞減數(shù)列有：2,1.5,1.42,1.415，…. 常數(shù)列有：，，，，…. 擺動(dòng)數(shù)列有：－2,4，－8,16，－32，…. 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式 [例2]　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)，2，，8，，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)，，，，…； (4)－，，－，，…； [解]　(1)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，，…，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*) (2)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，…此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝10n－1. (3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)． (4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)n. [類題通法] 此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．具體方法為：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同．對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系． [活學(xué)活用] 2．寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，…. 解：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝n2－1. (2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)． (3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號(hào)n，分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋＝. (4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?，99，999，9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1). 通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 [例3]　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝. (1)寫出該數(shù)列的第4項(xiàng)和第7項(xiàng)； (2)試判斷和是否是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，求出它是第幾項(xiàng)；若不是，說明理由． [解]　(1)由通項(xiàng)公式an＝可得 a4＝＝，a7＝＝. (2)令＝，得n2＝9， 所以n＝3(n＝－3舍去)， 故是該數(shù)列中的項(xiàng)，并且是第3項(xiàng)； 令＝，得n2＝，所以n＝， 由于都不是正整數(shù)， 因此不是數(shù)列中的項(xiàng)． [類題通法] 1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)． 2．判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)，需先假定它是數(shù)列中的項(xiàng)，列方程求解．若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是此數(shù)列的項(xiàng)． [活學(xué)活用] 3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝qn，且a4－a2＝72. (1)求實(shí)數(shù)q的值； (2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項(xiàng)． 解：(1)由題意知q4－q2＝72?q2＝9 或q2＝－8(舍去)，∴q＝3. (2)當(dāng)q＝3時(shí)，an＝3n，顯然－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)； 當(dāng)q＝－3時(shí)，an＝(－3)n，令(－3)n＝－81＝－34，也無解． ∴－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)． 　　　　 [典例]　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4. 求n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值． [解]∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知對(duì)稱軸方程為n＝＝2.5. 又n∈N*，故n＝2或3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝22－52＋4＝－2. [易錯(cuò)防范] 1．忽視了借助二次函數(shù)求最值，而認(rèn)為當(dāng)n＝1時(shí)取得最小值． 2．由an＝2－知n＝取最小值，忽視n∈N*. 3．在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問題時(shí)，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})這一約束條件． [成功破障] 求數(shù)列{－2n2＋9n＋3}中的最大項(xiàng)． 解：已知－2n2＋9n＋3＝－22＋，由于n為正整數(shù)，故當(dāng)n＝2時(shí)，取得最大值為13，所以數(shù)列{－2n2＋9n＋3}中的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，為13. [隨堂即時(shí)演練] 1．將正整數(shù)的前5個(gè)數(shù)排列如下： ①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以稱為數(shù)列的有(　　) A．①　　　　　　　 B．①② C．①②③ D．①②③④ 解析：選D　數(shù)列是按“一定順序”排列著的一列數(shù)．因此選D.注意此題易錯(cuò)選B. 2．在數(shù)列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　) A．第100項(xiàng) B.第12項(xiàng) C．第10項(xiàng) D．第8項(xiàng) 解析：選C　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)． 3．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3－2n，則a2n＝________，＝________. 解析：根據(jù)通項(xiàng)公式我們可以求出這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)．∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝. 答案：3－4n　 4．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿足＝n－2，那么15是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)． 解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n， 令n2－2n＝15，得n＝5. 答案：5 5．已知：an＝，(1)求a3；(2)若an＝，求n. 解：(1)將n＝3代入an＝，得a3＝＝. (2)將an＝代入an＝，得＝，解得n＝8. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．下面有四個(gè)結(jié)論，其中敘述正確的有 ①數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的； ②數(shù)列可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)； ③數(shù)列若用圖象表示，它是一群孤立的點(diǎn)； ④每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式．(　　) A．①②　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ 解析：選B　數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一，有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，所以①④不正確． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為an＝則a2a3等于(　　) A．70 B.28 C．20 D．8 解析：選C　由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2a3＝20. 3．?dāng)?shù)列－1,3，－7,15，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是(　　) A．a(chǎn)n＝(－1)n(2n－1) B．a(chǎn)n＝(－1)n(2n－1) C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(2n－1) D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(2n－1) 解析：選A　數(shù)列各項(xiàng)正、負(fù)交替，故可用(－1)n來調(diào)節(jié)，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－1)． 4．(xx宿州高二檢測(cè))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，那么這個(gè)數(shù)列是(　　) A．遞增數(shù)列　　　　　 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 解析：選A　an＝＝1－，∴當(dāng)n越大，越小，則an越大，故該數(shù)列是遞增數(shù)列． 5．下列命題： ①已知數(shù)列{an}，an＝(n∈N*)，那么是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第一項(xiàng)． ②數(shù)列，，2，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝. ③已知數(shù)列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，則a17＝29. ④已知an＋1＝an＋3，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．4個(gè) B.3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 解析：選A　對(duì)于①，令an＝＝?n＝10，易知最大項(xiàng)為第一項(xiàng)．①正確． 對(duì)于②，數(shù)列，，2，，…變?yōu)?，，，，?，，，，…?an＝，②正確； 對(duì)于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29.③正確； 對(duì)于④，由an＋1－an＝3＞0，易知④正確． 二、填空題 6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，那么是它的第________項(xiàng)． 解析：令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4項(xiàng)． 答案：4 7．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為11,102,1 003,10 004，…，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為________． 解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是 an＝10n＋n. 答案：an＝10n＋n. 8．(xx福州高二檢測(cè))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－8n＋12，那么該數(shù)列中為負(fù)數(shù)的項(xiàng)一共有________項(xiàng)． 解析：令an＝n2－8n＋12＜0，解得2＜n＜6，又因?yàn)閚∈N*，所以n＝3,4,5，一共有3項(xiàng)． 答案：3 三、解答題 9．求下列數(shù)列的一個(gè)可能的通項(xiàng)公式： (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,10,2,11,3,12，…； (3)1＋，1－，1＋，1－，…. 解：(1)an＝(－1)n＋1或an＝ (2)an＝ 或an＝. (3)an＝1＋(－1)n＋1. 10．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a2 013； (3)2 014是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？ 解：(1)設(shè)an＝kn＋b(k≠0)，則有 解得k＝4，b＝－2. ∴an＝4n－2. (2)a2 013＝42 013－2＝8 050. (3)令2 014＝4n－2，解得n＝504∈N*， ∴2 014是數(shù)列{an}的第504項(xiàng)． 第二課時(shí)　數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式 數(shù)列的遞推關(guān)系 [提出問題] 某劇場(chǎng)有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位(如圖)． 問題1：寫出前五排座位數(shù)． 提示：20,22,24,26,28. 問題2：第n排與第n＋1排座位數(shù)有何關(guān)系？ 提示：第n＋1排比第n排多2個(gè)座位． 問題3：第n排座位數(shù)an與第n＋1排座位數(shù)an＋1能用等式表示嗎？ 提示：能．a(chǎn)n＋1＝an＋2. [導(dǎo)入新知] 如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式． [化解疑難] 1．?dāng)?shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的另一重要形式，由遞推公式可以依次求出數(shù)列的各項(xiàng)． 2．有些數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式可以相互轉(zhuǎn)化，如數(shù)列1,3,5，…，2n－1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)．用遞推公式表示為a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)． 數(shù)列的表示方法 [例1]　根據(jù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，把下列數(shù)列用圖象表示出來(n≤5，且n∈N*)． (1)an＝(－1)n＋2； (2)an＝. [解]　(1)數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次是1,3,1,3,1，圖象如下圖①所示． (2)數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次是2，，，，，圖象如下圖②所示． [類題通法] 通項(xiàng)公式法、列表法與圖象法表示數(shù)列優(yōu)點(diǎn) (1)用通項(xiàng)公式表示數(shù)列，簡(jiǎn)潔明了，便于計(jì)算．公式法是常用的數(shù)學(xué)方法． (2)列表法的優(yōu)點(diǎn)是不經(jīng)過計(jì)算，就可以直接看出項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系． (3)圖象能直觀形象地表示出隨著序號(hào)的變化，相應(yīng)項(xiàng)變化的趨勢(shì)． [活學(xué)活用] 1．一輛郵車每天從A地往B地運(yùn)送郵件，沿途(包括A，B)共有8站，從A地出發(fā)時(shí)，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個(gè)，到達(dá)各站后卸下前面各站發(fā)往該站的郵件，同時(shí)裝上該站發(fā)往后面各站的郵件各一個(gè)．試用列表法表示郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個(gè)數(shù)所成的數(shù)列． 解：將A，B之間所有站按序號(hào)1,2,3,4,5,6,7,8編號(hào)．通過計(jì)算，各站裝卸完畢后剩余郵件個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表： 站號(hào)(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余郵件數(shù)(an) 7 12 15 16 15 12 7 0 由遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng) [例2]　已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝1，以后的各項(xiàng)由公式an＋1＝給出，試寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)． [解]　∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝＝， a4＝＝＝， a5＝＝＝. 故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1，，，，. [類題通法] 根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可．另外，解答這類問題時(shí)還需注意：若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式；若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式． [活學(xué)活用] 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出． (1)寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)； (2)通過公式bn＝構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{bn}，寫出數(shù)列{bn}的前4項(xiàng)． 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝， b4＝＝. 故b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 由遞推公式歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 [例3]　已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是2，以后的各項(xiàng)由公式an＝(n＝2,3,4，…)給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　可依次代入項(xiàng)數(shù)進(jìn)行求值． a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－， a4＝＝－， a5＝＝－. 即數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為2，－2，－，－，－. 也可寫為，，，，－. 即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇數(shù)， 所以an＝－(n∈N*)． [類題通法] 根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后由前幾項(xiàng)分析其特點(diǎn)、規(guī)律，歸納總結(jié)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． [活學(xué)活用] 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，寫出該數(shù)列前5項(xiàng)，并歸納出它的一個(gè)通項(xiàng)公式． 解：a1＝1， a2＝a1＋＝1＋＝， a3＝a2＋＝＋＝， a4＝a3＋＝＋＝， a5＝a4＋＝＋＝. 故數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，，，. 由于1＝，＝，＝，＝，＝， 故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝＝2－. 　　　　 遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接，下面介紹由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的兩種方法． 【角度一】　　累加法 對(duì)于數(shù)列{an}若滿足an＋1－an＝f(n)時(shí)，需用累加法，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1來求an. [例1]　已知a1＝1，an＋1－an＝2，求數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式． [解]　∵a1＝1，an＋1－an＝2，∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2)，將這些式子的兩邊分別相加，(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴an＝2n－1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1. 【角度二】　　累乘法 對(duì)于數(shù)列{an}若滿足＝f(n)時(shí)，需用累乘法，即an＝…a1來求an. [例2]　已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　由an＋1＝3an得＝3. 因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3. 將上面的n－1個(gè)式子相乘可得 …＝3n－1. 即＝3n－1， 所以an＝a13n－1， 又a1＝2，故an＝23n－1. [隨堂即時(shí)演練] 1．符合遞推關(guān)系式an＝an－1的數(shù)列是(　　) A．1,2,3,4，…　　　　　 B．1，，2,2，… C.，2，，2，… D．0，，2,2，… 解析：選B　B中從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍，符合遞推公式an＝an－1. 2．?dāng)?shù)列，，，，…的遞推公式可以是(　　) A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B.an＝(n∈N*) C．a(chǎn)n＋1＝an(n∈N*) D．a(chǎn)n＋1＝2an(n∈N*) 解析：選C　數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，故遞推公式為an＋1＝an(n∈N*)． 3．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝________. 解析：由a1＝1，an＝1＋得a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝. 答案： 4．已知數(shù)列{an}滿足a1>0，＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)． 解析：由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)， 得an>0(n∈N*)． 又an＋1－an＝an－an＝－an<0， 所以{an}是遞減數(shù)列． 答案：遞減 5．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，寫出它的前5項(xiàng)，并判斷該數(shù)列的單調(diào)性． 解：對(duì)于公式an＝，依次取n＝1,2,3,4,5，得到數(shù)列的前5項(xiàng)為a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. 而an＋1－an＝－＝. 因?yàn)閚∈N*，所以1－n2－n＜0，所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故該數(shù)列為遞減數(shù)列． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是(　　) A．遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定 解析：選A　an＋1－an＝3＞0，故數(shù)列{an}為遞增數(shù)列． 2．?dāng)?shù)列{an}中an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝ (　　) A．－3 B.－11 C．－5 D．19 解析：選D　由an＋1＝an＋2－an得an＋2＝an＋an＋1， 由于a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝(－1)n2an－1(n≥2)，則a5等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選B　∵a1＝，an＝(－1)n2an－1， ∴a2＝(－1)22＝， a3＝(－1)32＝－， a4＝(－1)42＝－， a5＝(－1)52＝. 4．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　) A．－165 B.－33 C．－30 D．－21 解析：選C　由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3. ∴a10＝2a5＝2(a2＋a3) ＝2a2＋2(a1＋a2) ＝4a2＋2a1＝4(－6)＋2(－3) ＝－30. 5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a2 012＝(　　) A．3 B.－3 C．6 D．－6 解析：選C　由題意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3， a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3， a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6， a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3 …… 故知{an}是周期為6的數(shù)列， ∴a2 012＝a2＝6. 二、填空題 6．?dāng)?shù)列{an}中，an＋1－an－n＝0，則a2 012－a2 011＝________. 解析：∵an＋1－an－n＝0， ∴a2 012－a2 011－2 011＝0， ∴a2 012－a2 011＝2 011. 答案：2 011 7．已知數(shù)列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，滿足a1＝2，a2＝4，則a3＝________. 解析：∵∴ ∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2. 答案：2 8．已知對(duì)于任意的正整數(shù)n，an＝n2＋λn.若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． 解析：∵{an}是遞增數(shù)列，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立，即λ ＞－2n－1對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立，∴λ＞－3. 答案：λ＞－3 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an. (1)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)； (2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)畫出數(shù)列{an}的圖象． 解：(1)a1＝1，a2＝1＝， a3＝＝， a4＝＝， a5＝＝. (2)猜想：an＝. (3)圖象如圖所示： 10．設(shè)f(x)＝log2 x－logx4(0＜x＜1)，又知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an滿足f(2an)＝2n. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)試判斷數(shù)列{an}的增減性． 解：(1)∵f(x)＝log2x－logx4(0＜x＜1)，f(2an)＝2n， ∴l(xiāng)og22an－log2an4＝2n，由換底公式，得log22an－＝2n， 即an－＝2n， ∴a－2nan－2＝0， ∴an＝n.③ 由0＜x＜1，有0＜2an＜1， ∴an＜0.④ 由③④得an＝n－，此即為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)＝ ＝＜1 ∵an＜0，∴an＋1＞an， ∴數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列． _2.2等差數(shù)列 第一課時(shí)　等差數(shù)列 等差數(shù)列的定義 　　[提出問題] 1．有一座樓房第一層的每級(jí)臺(tái)階與地面的高度(單位：cm)依次為：16,32,48,64,80,96,112,128，…，320. 2．xx年倫敦奧運(yùn)會(huì)女子舉重共設(shè)置7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重(單位：kg)分別為：48,53,58,63. 3．鞋的尺碼，按照國家規(guī)定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，… 問題1：上面三組數(shù)構(gòu)成數(shù)列嗎？ 提示：構(gòu)成． 問題2：若上面三組數(shù)構(gòu)成數(shù)列，試觀察它們從2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差有什么特點(diǎn)？ 提示：等于同一常數(shù)． [導(dǎo)入新知] 等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示． [化解疑難] 1．“從第2項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合． 2．“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”，強(qiáng)調(diào)了： ①作差的順序；②這兩項(xiàng)必須相鄰． 3．定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列. 等差中項(xiàng) [提出問題] 問題：觀察上面三個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)之間有什么樣的關(guān)系？ 提示：前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的和是中間項(xiàng)的2倍． [導(dǎo)入新知] 等差中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式是A＝. [化解疑難] 1．A是a與b的等差中項(xiàng)，則A＝或2A＝a＋b，即兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)有且只有一個(gè)． 2．當(dāng)2A＝a＋b時(shí)，A是a與b的等差中項(xiàng). 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 [提出問題] 若一等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差是d. 問題1：試用a1、d表示a2、a3、a4. 提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d. 問題2：由此猜想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an. 提示：an＝a1＋(n－1)d. [導(dǎo)入新知] 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d 遞推公式 通項(xiàng)公式 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) [化解疑難] 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果設(shè)p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常數(shù)．當(dāng)p≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)p＝0時(shí)，an＝q，等差數(shù)列為常數(shù)列． 等差數(shù)列的判定與證明 　　[例1]　判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列． (1)在數(shù)列{an}中an＝3n＋2； (2)在數(shù)列{an}中an＝n2＋n. [解]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列． [類題通法] 定義法是判定(或證明)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本方法，其步驟為： (1)作差an＋1－an； (2)對(duì)差式進(jìn)行變形； (3)當(dāng)an＋1－an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；當(dāng)an＋1－an不是常數(shù)，是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí)，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列． [活學(xué)活用] 1．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，數(shù)列{bn}中，bn＝3an＋4，問：數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列？并說明理由． 解：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 理由：∵數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根據(jù)等差數(shù)列的定義，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 [例2]　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通項(xiàng)公式an. (2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列a3＝，a7＝－，求a15的值． [解]　(1)∵a5＝10，a12＝31， 則? ∴an＝－2＋(n－1)3＝3n－5 ∴通項(xiàng)公式an＝3n－5.(n∈N*) (2)法一：由 得 解得a1＝，d＝－. ∴a15＝a1＋(15－1)d ＝＋14(－)＝－. 法二：由a7＝a3＋(7－3)d， 即－＝＋4d，解得d＝－. ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12(－)＝－. [類題通法] 1．應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a1和d，運(yùn)用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b， 得求出a1和d，從而確定通項(xiàng)公式． 2．若已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)am，an，求通項(xiàng)公式或其他項(xiàng)時(shí)，則運(yùn)用am＝an＋(m－n)d則較為簡(jiǎn)捷． [活學(xué)活用] 2．(1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項(xiàng)； (2)－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？ 解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20， 得a20＝8＋(20－1)(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1， 由題意知，－401＝－4n－1. 得n＝100，即－401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)． 等差中項(xiàng) [例3]　已知等差數(shù)列{an}，滿足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　在等差數(shù)列{an}中， ∵ a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6. 解得或 當(dāng)時(shí)，a1＝16，d＝－5. an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)(－5) ＝－5n＋21. 當(dāng)時(shí)，a1＝－4，d＝5. an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)5＝5n－9. [類題通法] 三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b＝(或2b＝a＋c)，可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題．如若證{an}為等差數(shù)列，可證2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [活學(xué)活用] 3．(1)已知數(shù)列8，a,2，b，c是等差數(shù)列，則a，b，c的值分別為________，________，________. (2)已知數(shù)列{an}滿足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，則a8＝________. 解析：(1)因?yàn)?，a,2，b，c是等差數(shù)列， 所以∴ (2)由an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a2，a5，a8成等差數(shù)列． ∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝213－5＝21. 答案：(1)5?。??。?　(2)21 　　　　 [典例]　已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能判斷該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為正數(shù)嗎？ [解]　由等差數(shù)列an＝a1＋(n－1)d列方程組： 解得 ∴a14＝－46＋132＝－20 ∴an＝－46＋(n－1)2＝2n－48 令an≥0，即2n－48≥0?n≥24. ∴從第25項(xiàng)開始，各項(xiàng)為正數(shù)． [易錯(cuò)防范] 1．忽略了對(duì)“從第幾項(xiàng)開始為正數(shù)”的理解，誤認(rèn)為n＝24也滿足條件． 2．由通項(xiàng)公式計(jì)算時(shí)，易把公式寫成an＝a1＋nd，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤． [成功破障] 一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差d＞0，從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于1，求公差d的范圍． 解：設(shè)等差數(shù)列為{an}， 由d＞0，知a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11…， 依題意，有 即? 解得＜d≤，即公差d的取值范圍是. [隨堂即時(shí)演練] 1．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公差d＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1　　　 B．a(chǎn)n＝2n＋1 C．a(chǎn)n＝2n＋3 D．a(chǎn)n＝3n＋2 解析：選A　∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)3＝3n－1. 2．等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x－1，x＋1,2x＋3，則其通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝2n－5 B.an＝2n－3 C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1 解析：選B　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差數(shù)列的前3項(xiàng)， ∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0. ∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3， ∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3. 3．等差數(shù)列的第3項(xiàng)是7，第11項(xiàng)是－1，則它的第7項(xiàng)是________． 解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d， 由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，則a7＝3. 答案：3 4．已知：1，x，y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為________． 解析：由已知，x是1和y的等差中項(xiàng)，即2x＝1＋y?、?， y是x和10的等差中項(xiàng)，即2y＝x＋10 ②， 由①，②可解得x＝4，y＝7. 答案：4,7 5．在等差數(shù)列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：(1)由題意，知 解得 (2)由題意，知解得 ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∴a9＝29－1＝17. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d等于(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．－ C. D．2 解析：選B　由題意，得 解得 2．設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＝－b B.a＝3b C．a(chǎn)＝－b或a＝3b D．a(chǎn)＝b＝0 解析：選C　由等差中項(xiàng)的定義知：x＝， x2＝， ∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0. 故a＝－b或a＝3b. 3．若等差數(shù)列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35， 則n＝(　　) A．50 B.51 C．52 D．53 解析：選D　依題意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝. 所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝n－， 令an＝35，解得n＝53. 4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，則a2 012等于(　　) A．2 009 B.2 010 C．2 011 D．2 012 解析：選D　由于an＋1－an＝1，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差d＝1，則an＝a1＋(n－1)d＝n，故a2 012＝2 012. 5．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(　　) (1)若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2一定成等差數(shù)列； (2)若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列； (3)若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差數(shù)列； (4)若a，b，c成等差數(shù)列，則，，可能成等差數(shù)列． A．4個(gè) B.3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 解析：選B　對(duì)于(1)取a＝1，b＝2，c＝3 ?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)錯(cuò)． 對(duì)于(2)a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正確； 對(duì)于(3)∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴a＋c＝2b. ∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4 ＝2(kb＋2)，(3)正確； 對(duì)于(4)，a＝b＝c≠0?＝＝， (4)正確．綜上可知選B. 二、填空題 6．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，a1和a3是方程x2－8x＋7＝0的兩根，則它的通項(xiàng)公式是________． 解析：解方程x2－8x＋7＝0得x1＝1，x2＝7. ∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a1＝1，a3＝7. ∴公差d＝＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－2. 答案：an＝3n－2 7．等差數(shù)列1，－3，－7，…的通項(xiàng)公式為________，a20＝________. 解析：∵d＝－3－1＝－4，a1＝1， ∴an＝1－4(n－1)＝－4n＋5. ∴a20＝－80＋5＝－75. 答案：an＝－4n＋5　－75 8．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，且an＝an2＋n，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴an＋1－an＝常數(shù)． ∴[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1＝常數(shù)． ∴2a＝0，∴a＝0. 答案：0 三、解答題 9．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，這個(gè)數(shù)列在450到600之間共有多少項(xiàng)？ 解：由題意，得 d＝a2－a1＝116－112＝4， 所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108. 令450≤an≤600， 解得85.5≤n≤123，又因?yàn)閚為正整數(shù)，故有38項(xiàng)． 10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，＝＋1(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：由＝＋1，可得－＝2， ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知＝1＋(n－1)2＝2n－1，∴an＝. 第二課時(shí)　等差數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 [例1]　(1)已知{an}為等差數(shù)列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450.求a2＋a8的值． (2)(xx江西高考)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________. (1)[解]　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴5a5＝450.∴a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)[解析]　法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋27＝35. 法二：∵數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列， ∴數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列， ∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5) ∴221＝7＋a5＋b5 ∴a5＋b5＝35. [答案]　35 [類題通法] 1．利用通項(xiàng)公式時(shí)，如果只有一個(gè)等式條件，可通過消元把所有的量用同一個(gè)量表示． 2．本題的求解主要用到了等差數(shù)列的以下性質(zhì)： 若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq. 對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11. [活學(xué)活用] 1．(1)已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________. (2)如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14　　　　　　 B．21 C．28 D．35 解析：法一：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，其公差為d，a15為首項(xiàng)，則a60為其第四項(xiàng)， 所以a60＝a15＋3d，得d＝4. 所以a75＝a60＋d?a75＝24. 法二：因?yàn)閍15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d， 所以 解得 故a75＝a1＋74d＝＋74＝24. (2)∵a3＋a4＋a5＝12， ∴3a4＝12，則a4＝4， 又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故選C. 答案：(1)24　(2)C 靈活設(shè)元求解等差數(shù)列 [例2]　(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)． (2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)． [解]　(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a－d，a，a＋d， 則 解得 ∴這三個(gè)數(shù)為4,3,2. (2)法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)， 依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0， ∴d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4. 法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差為d)， 依題意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a(bǔ)＝1－d代入a(a＋3d)＝－8， 得(1－d)(1＋d)＝－8，即1－d2＝－8， 化簡(jiǎn)得d2＝4，所以d＝2或－2. 又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝2， a＝－2. 故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4. [類題通法] 常見設(shè)元技巧 (1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：a－d，a＋d，公差為2d； (2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d； (3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d. [活學(xué)活用] 2．已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列． 解：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由題設(shè)知 解得或 ∴這個(gè)數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2. 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 [例3]　某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？ [解]　由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項(xiàng)a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20) ＝－20n＋220. 若an＜0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損， 由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11， 即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損． [類題通法] 1．在實(shí)際問題中，若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決． 2．在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量． [活學(xué)活用] 3．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為(　　) A．1升　　　　　　　 B.升 C.升 D.升 解析：選B　設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有 即解得則a5＝a1＋4d＝， 故第5節(jié)的容積為升． [隨堂即時(shí)演練] 1．已知等差數(shù)列{an}，則使數(shù)列{bn}一定為等差數(shù)列的是(　　) A．bn＝－an　　　　 B．bn＝a C．bn＝ D．bn＝ 解析：選A　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＋1－an＝d(常數(shù))． 對(duì)于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正確；對(duì)于B不一定正確，如數(shù)列{an}＝{n}，則bn＝a＝n2，顯然不是等差數(shù)列；對(duì)于C、D：及不一定有意義，故選A. 2．(xx遼寧高考)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝(　　) A．12 B.16 C．20 D．24 解析：選B　因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. 3．已知數(shù)列{an}中，a5＝10，a12＝31，則其公差d＝________. 解析：d＝＝＝3. 答案：3 4．在等差數(shù)列{