2019年高考數學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文.doc
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專題能力訓練16 橢圓、雙曲線、拋物線 一、能力突破訓練 1.(2018全國Ⅰ,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為( ) A. B. C.22 D.223 2.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為( ) A. B. C. D. 3.已知O為坐標原點,F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點,P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點),則雙曲線的方程為( ) A.x24-y212=1 B.x212-y24=1 C.x23-y2=1 D.x2-y23=1 5.(2018全國Ⅱ,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60,則C的離心率為( ) A.1-32 B.2-3 C.3-12 D.3-1 6.設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點,與雙曲線的一個交點為P,設O為坐標原點.若OP=mOA+nOB(m,n∈R),且mn=,則該雙曲線的離心率為( ) A.322 B.355 C.324 D. 7.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是 . 8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動點,則點P到l1與l2距離之和的最小值為 . 9.如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點. (1)求點A,B的坐標; (2)求△PAB的面積. 注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點. 10. 如圖,動點M與兩定點A(-1,0),B(1,0)構成△MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設動點M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)設直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范圍. 11.設橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率. 二、思維提升訓練 12.(2018全國Ⅲ,文10)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,則點(4,0)到C的漸近線的距離為 ( ) A.2 B.2 C.322 D.22 13.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 14.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x23-y2=1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是 . 15.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 . 16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點B(1,0),點A是圓C上的動點,線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P. (1)求動點P的軌跡C1的方程; (2)設M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點,求△MPQ面積的最大值. 17.已知動點C是橢圓Ω:x2a+y2=1(a>1)上的任意一點,AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點),CACB的最大值是314. (1)求橢圓Ω的方程. (2)已知橢圓Ω的左、右焦點分別為點F1,F2,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓Ω于P,Q兩點.在線段OF2上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由. 專題能力訓練16 橢圓、雙曲線、拋物線 一、能力突破訓練 1.C 解析 因為橢圓C的一個焦點為(2,0),所以其焦點在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22. 2.D 解析 由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點F的坐標為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又點A的坐標是(1,3),故△APF的面積為3(2-1)=,故選D. 3.A 解析 由題意知,A(-a,0),B(a,0),根據對稱性, 不妨令P-c,b2a, 設l:x=my-a, ∴M-c,a-cm,E0,am. ∴直線BM:y=-a-cm(a+c)(x-a). 又直線BM經過OE的中點, ∴(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c. ∴e=ca=13,故選A. 4.D 解析 ∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),點A在雙曲線的漸近線上,且△OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設點A在漸近線y=x上, ∴c=2,ba=tan60,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D. 5.D 解析 不妨設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,則|PF1|+|PF2|=2a. ∵∠F2PF1=90,∠PF2F1=60, ∴3c+c=2a,即(3+1)c=2a. ∴e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1. 6.C 解析 在y=x中令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca,在雙曲線x2a2-y2b2=1中令x=c得Pc,b2a. 當點P的坐標為c,b2a時,由OP=mOA+nOB, 得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,則m+n=1,m-n=bc. 由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去), ∴bc=13, ∴c2-a2c2=19, ∴e=324. 同理,當點P的坐標為c,-b2a時,e=324. 故該雙曲線的離心率為324. 7. 2 解析 由題意不妨設AB=3,則BC=2. 設AB,CD的中點分別為M,N,如圖, 則在Rt△BMN中,MN=2, 故BN=BM2+MN2=322+22=52. 由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1, 而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2c2a=2. 8.922 解析 在同一坐標系中畫出直線l1,l2和曲線C如圖. P是C上任意一點,由拋物線的定義知,|PF|=d2, ∴d1+d2=d1+|PF|,顯然當PF⊥l1, 即d1+d2=|FM|時,距離之和取到最小值. ∵|FM|=922, ∴所求最小值為922. 9.解 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設直線PA的方程為y=k(x-t), 由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0, 由于直線PA與拋物線相切,得k=t. 因此,點A的坐標為(2t,t2). 設圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知:點B,O關于直線PD對稱, 故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2. 因此,點B的坐標為2t1+t2,2t21+t2. (2)由(1)知|AP|=t1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0. 點B到直線PA的距離是d=t21+t2. 設△PAB的面積為S(t), 所以S(t)=12|AP|d=t32. 10.解 (1)設M的坐標為(x,y),當x=-1時,直線MA的斜率不存在; 當x=1時,直線MB的斜率不存在. 于是x≠1,且x≠-1. 此時,MA的斜率為yx+1,MB的斜率為yx-1. 由題意,有yx+1yx-1=4. 整理,得4x2-y2-4=0. 故動點M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x≠1). (2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ① 對于方程①,其判別式Δ=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+48>0, 而當1或-1為方程①的根時,m的值為-1或1. 結合題設(m>0)可知,m>0,且m≠1. 設Q,R的坐標分別為(xQ,yQ),(xR,yR), 則xQ,xR為方程①的兩根, 因為|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|. 因為xQ=m-2m2+33,xR=m+2m2+33,且Q,R在同一條直線上, 所以|PR||PQ|=xRxQ=21+3m2+121+3m2-1=1+221+3m2-1.此時1+3m2>1,且1+3m2≠2, 所以1<1+221+3m2-1<3, 且1+221+3m2-1≠53, 所以1<|PR||PQ|=xRxQ<3,且|PR||PQ|=xRxQ≠53. 綜上所述,|PR||PQ|的取值范圍是1,53∪53,3. 11.解 (1)設F(c,0).由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,橢圓的方程為x24+y23=1. (2)設直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=k(x-2).設B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3. 由(1)知,F(1,0),設H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3. 由BF⊥HF,得BFFH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k. 設M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直線l的斜率為-64或64. 二、思維提升訓練 12.D 解析 ∵雙曲線C的離心率為2, ∴e=ca=2,即c=2a,a=b. ∴其漸近線方程為y=x,則(4,0)到C的漸近線距離d=|4|2=22. 13.C 解析 設點M的坐標為(x0,y0),由拋物線的定義,得|MF|=x0+=5,則x0=5-. 因為點F的坐標為p2,0, 所以以MF為直徑的圓的方程為(x-x0)x-p2+(y-y0)y=0. 將x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0, 即y022-4y0+8=0,解得y0=4. 由y02=2px0,得16=2p5-p2, 解得p=2或p=8. 所以C的方程為y2=4x或y2=16x.故選C. 14.23 解析 該雙曲線的右準線方程為x=310=31010,兩條漸近線方程為y=33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四邊形F1PF2Q的面積S=2103010=23. 15.y=22x 解析 拋物線x2=2py的焦點F0,p2,準線方程為y=-. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p. 所以y1+y2=p. 聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py, 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0. 所以y1+y2=2pb2a2=p, 所以b2a2=12. 所以該雙曲線的漸近線方程為y=22x. 16.解 (1)由已知可得,點P滿足|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|, 所以動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中2a=25,2c=2. 動點P的軌跡C1的方程為x25+y24=1. (2)設N(t,t2),則PQ的方程為 y-t2=2t(x-t)?y=2tx-t2. 聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0, 有Δ=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2. 而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,點M到PQ的高為h=15+t21+4t2, 由S△MPQ=12|PQ|h代入化簡,得 S△MPQ=510-(t2-10)2+104≤510104=1305,當且僅當t2=10時,S△MPQ可取最大值1305. 17.解 (1)設點C的坐標為(x,y),則x2a+y2=1. 連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y), 可得CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y∈[-1,1]. 因為a>1,所以當y=42(1-a)≤-1,即1
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