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第66講 光的折射 全反射 考點一　光的折射 1．光的折射 光從一種介質(zhì)斜射入另一種介質(zhì)時，傳播方向會改變，這種現(xiàn)象叫做光的折射。如圖所示。 2．折射定律 (1)內(nèi)容：折射光線與入射光線、法線處在同一平面內(nèi)，折射光線與入射光線分別位于法線的兩側(cè)；入射角的正弦與折射角的正弦成正比。 (2)表達式：＝n。 (3)在光的折射現(xiàn)象中，光路是可逆的。如果讓光線逆著原來的折射光線射到界面上，光線就會逆著原來的入射光線發(fā)生折射。 3．折射率 (1)定義 光從真空射入某種介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角i的正弦與折射角r的正弦之比，用n表示。 (2)定義式：n＝。任何介質(zhì)的折射率總大于1。 (3)意義：介質(zhì)的折射率反映了介質(zhì)對光的折射本領。 (4)折射率與光速的關系 某種介質(zhì)的折射率，等于光在真空中的速度與光在這種介質(zhì)中的速度之比，即n＝。 (5)決定折射率大小的因素：折射率的大小不僅與介質(zhì)本身有關，還與光的頻率有關。同一種介質(zhì)中，頻率越大的色光折射率越大，傳播速度越小。 (6)同一種色光，在不同介質(zhì)中雖然波速、波長不同，但頻率相同。 1．關于折射率，下列說法正確的是(　　) A．根據(jù)＝n可知，介質(zhì)的折射率與入射角的正弦成正比 B．根據(jù)＝n可知，介質(zhì)的折射率與折射角的正弦成反比 C．根據(jù)n＝可知，介質(zhì)的折射率與介質(zhì)中的光速成反比 D．同一頻率的光由第一種介質(zhì)進入第二種介質(zhì)時，折射率與波長成正比 答案　C 解析　介質(zhì)的折射率n由介質(zhì)本身及光的頻率決定，與入射角、折射角無關，A、B錯誤；光在不同介質(zhì)中光速不同，這正是光發(fā)生折射的原因，n與v成反比，C正確；把v＝λf代入n＝得n＝，即n與λ成反比，D錯誤。 2．[教材母題]　(人教版選修3－4 P47例題)如圖所示，一個儲油桶的底面直徑與高均為d。當桶內(nèi)沒有油時，從某點A恰能看到桶底邊緣的某點B。當桶內(nèi)油的深度等于桶高的一半時，仍沿AB方向看去，恰好看到桶底上的點C，C、B兩點相距。求油的折射率和光在油中傳播的速度。 [變式子題]　人站在距槽邊D為L＝1.2 m處，剛好能看到槽底B的位置，人眼距地面的高度為H＝1.6 m。槽中注滿某透明液體時，人剛好能看到槽底中央O點處。求液體的折射率及光在液體中的傳播速度。 答案　1.71　1.75108 m/s 解析　由題意作圖如圖所示，連接人眼與B點，延長CD作為法線，從圖中可以看出，折射角θ2＝∠CDB。連接D與O點，則入射角θ1＝∠CDO。 因為sinθ2＝＝， 又因為sinθ1＝＝， 由sinθ2＝＝＝，得 BD＝OC，CD＝， 代入得CD＝OC，所以 sinθ1＝＝。 故液體的折射率n＝＝≈1.71， 光在液體中的速度為v＝≈1.75108 m/s。 考點二　測定玻璃的折射率 1．實驗原理 如圖所示，用插針法確定入射角和折射角，根據(jù)n＝計算玻璃折射率。 2．實驗器材 兩側(cè)面平行的玻璃磚、白紙、木板、大頭針、圖釘、量角器、刻度尺、鉛筆。 3．實驗步驟與數(shù)據(jù)處理 (1)把白紙用圖釘釘在木板上。 (2)用刻度尺在紙面上作一條直線aa′，過aa′上一點O作垂直于aa′的線段NN′，再過O點作一條線段AO，并使∠NOA即θ1適當大些。 (3)在AO線上豎直地插兩枚大頭針P1、P2，并使間距適當大些，在白紙上沿直線aa′放上被測玻璃磚。 (4)沿玻璃磚的另一個側(cè)面再作一條直線bb′。 (5)在玻璃磚的bb′一側(cè)白紙上豎直地插一枚大頭針P3，使P3恰好能同時擋住aa′一側(cè)所插的大頭針P2、P1的像。接著，在玻璃磚的bb′一側(cè)再豎直地插一枚大頭針P4，使P4能擋住P3本身以及P1、P2的像。 (6)標記下P1、P2、P3、P4的位置，移去玻璃磚，拔去大頭針，過P3、P4作一條直線O′B，交bb′于O′點，連接OO′就是入射光線AO在玻璃磚內(nèi)的折射光線，折射角為θ2。 (7)用量角器量出入射角θ1和折射角θ2的大小，記入表格內(nèi)。 (8)用上述方法分別測出入射角是15、30、45、60和75時的折射角，查出入射角和折射角的正弦值，記入表格里。 (9)數(shù)據(jù)處理 ①計算法：n＝，并取平均值。 ②圖象法：作出sinθ1sinθ2圖象，如圖甲所示，n＝k。 ③輔助線段法：如圖乙所示，作輔助線AB垂直于OB，量出A、O，作輔助線CD垂直于OD，量出C、O，則sinθ1＝，sinθ2＝，即可求出：n＝＝。 ④“單位圓”法：以入射點O為圓心，以適當長度R為半徑畫圓，交入射光線OA于E點，交折射光線OO′于E′點，過E作NN′的垂線EH，過E′作NN′的垂線E′H′。如圖丙所示，sinθ1＝，sinθ2＝，OE＝OE′＝R，則n＝＝。 4．注意事項與誤差分析 (1)實驗時，將大頭針盡可能豎直地插在紙板上，并且使P1和P2之間、P3與P4之間距離適當大一些，這樣可以減小確定光路方向時出現(xiàn)的誤差。 (2)入射角θ1應適當大一些，以減小測量角度的誤差，但入射角不宜太大，太大會導致反射光太強、折射光太弱，不易確定P3、P4的位置。 (3)在操作時，手不能觸摸玻璃磚的光潔光學面，更不能把玻璃磚當尺子畫界線。 (4)在實驗過程中，玻璃磚與白紙的相對位置不能改變。 在“測定玻璃的折射率”的實驗中， (1)小朱同學在實驗桌上看到方木板上有一張白紙，白紙上有如圖甲所示的實驗器材，他認為除了缺刻度尺還少了一種器材，請你寫出所缺器材的名稱：________。老師將器材配齊后，他進行實驗，圖乙是他在操作過程中的一個狀態(tài)，請你指出第四枚大頭針應在圖乙中的位置________(填“A”“B”或“C”)。 (2)小紅利用方格坐標紙測定玻璃的折射率，如圖丙所示，AO是畫在紙上的直線，她在直線AO適當位置豎直插上P1、P2兩枚大頭針，放上半圓形玻璃磚，使其圓心與O重合，然后插上P3、P4兩枚大頭針，以確定折射光線。其中她確定P3大頭針位置的方法應當是________。操作完成后，她用圓規(guī)作了一個以O為圓心、半徑與玻璃磚半徑相同的半圓(如圖丙中虛線所示)，則她測出玻璃的折射率n＝________。 解析　(1)實驗器材還缺少大頭針；依據(jù)光的折射定律，及玻璃磚上下表面平行，那么出射光線與入射光線相互平行，因此第四枚大頭針應在圖乙中的位置B處。 (2)透過玻璃磚看，P3大頭針擋住P1、P2兩枚大頭針的像；如圖，作出法線，過圓與入射光線、折射光線的交點作法線的垂線CA′和DB，由數(shù)學知識得，入射角和折射角的正弦值分別為：sini＝，sinr＝，其中CO＝DO，則折射率n＝＝＝＝1.5。 答案　(1)大頭針　B　(2)擋住P1、P2的像　1.5 方法感悟 (1)平行玻璃磚的出射光線和入射光線平行。 (2)對半圓形玻璃磚，入射光線若沿半徑，則折射角和入射角均為0，即光線進入玻璃磚時方向不發(fā)生變化。 (3)過出射點作出法線，運用數(shù)學知識求出入射角和折射角的正弦值，再由折射定律求出折射率。 (2018浙江模擬)在用插針法做“測定玻璃磚折射率”的實驗中，某同學先在白紙上畫出一直線并讓待測玻璃磚一界面ab與線重合放置，再進行插針觀察，如圖所示。梯形abcd是其主截面的邊界線，而A、B、C、D為該同學在某次實驗時插入的4枚大頭針的位置情況。 (1)請在圖中完成測量玻璃磚折射率的有關光路圖，并標出入射角α和折射角β； (2)用α和β寫出計算折射率的公式n＝________； (3)若所畫的cd線比實際界面向外平移了一些，則測得的折射率將________(填“偏小”不變”或“偏大”)。 答案　(1)圖見解析　(2)　(3)偏大 解析　(1)連接AB作為入射光線，入射點為E，連接CD作為出射光線，出射點為F，連接EF，即為玻璃磚內(nèi)的折射光線。光路圖如圖所示： (2)根據(jù)折射定律得：n＝。 (3)根據(jù)光路圖可知，若所畫的cd線比實際界面向外平移了一些，折射角β偏小，入射角α不變，根據(jù)n＝，可知測得的折射率將偏大。 考點三　光的全反射 1．發(fā)生全反射的條件 (1)光必須從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)，例如從水中或玻璃中射入空氣中。 (2)入射角必須大于或等于臨界角。 2．臨界角：折射角等于90時的入射角。若光從光密介質(zhì)(折射率為n)射向真空或空氣時，發(fā)生全反射的臨界角為C，則sinC＝。 3．全反射現(xiàn)象可以從能量的角度去理解：當光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時，在入射角逐漸增大的過程中，反射光的能量逐漸增強，折射光的能量逐漸減弱，當入射角等于臨界角時，折射光的能量已經(jīng)減弱為零，這時就發(fā)生了全反射。光導纖維就是利用了這一原理。 4．解決全反射問題的一般步驟 (1)確定光是從光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)。 (2)應用sinC＝確定臨界角。 (3)根據(jù)題設條件，判定光在傳播時是否發(fā)生全反射。 (4)如發(fā)生全反射，畫出入射角等于臨界角時的臨界光路圖。 (5)運用幾何關系或三角函數(shù)關系以及反射定律等進行分析、判斷、運算，解決問題。 1．在自行車的后擋泥板上，常常安裝著一個“尾燈”，其實它不是燈，它是用一種透明的塑料制成的，其截面如圖所示。夜間，從自行車后方來的汽車燈光照在“尾燈”上時，“尾燈”就變得十分明亮，以便引起汽車司機的注意。從原理上講，它的功能是利用了(　　) A．光的折射 B．光的全反射 C．光的干涉 D．光的衍射 答案　B 解析　全反射可以讓反射光的強度更大一些，故B正確。 2．[教材母題]　(人教版選修3－4 P53T6)如圖是一個用折射率n＝2.4的透明介質(zhì)做成的四棱柱的橫截面圖，其中∠A＝∠C＝90，∠B＝60?，F(xiàn)有一條光線從圖示的位置垂直入射到棱鏡的AB面上，畫出光路圖，確定射出的光線。注意：每個面的反射光線和折射光線都不能忽略。 [變式子題]　(2018吉林長春質(zhì)檢)如圖所示是一種折射率n＝1.5的棱鏡，用于某種光學儀器中。現(xiàn)有一束光線沿MN的方向射到棱鏡的AB界面上，入射角的大小為i(sini＝0.75)。求： (1)光在棱鏡中傳播的速率； (2)此束光線射出棱鏡后的方向，寫出推導過程并畫出光路圖(不考慮返回到AB面上的光線)。 答案　(1)2.0108 m/s　(2)見解析 解析　(1)由折射率與光速的關系知 v＝＝2.0108 m/s。 (2)光路圖如圖所示，設光線進入棱鏡后的折射角為r， 由n＝得sinr＝＝0.5 解得r＝30。 光線射到BC界面的入射角 i1＝90－(180－60－75)＝45。 由sinC＝＝C，光線在BC面上發(fā)生全反射，光線沿DE方向射到AC邊時，與AC邊垂直，故此束光線射出棱鏡后方向與AC界面垂直。 考點四　光的色散與光路控制 1．光的色散 (1)含有多種顏色的光被分解為單色光的現(xiàn)象稱為光的色散。本講只討論光的折射中的色散，光的干涉、衍射中也有色散現(xiàn)象，詳情見下講內(nèi)容。 (2)光折射時的色散 ①現(xiàn)象：一束白光通過三棱鏡后在屏上會形成彩色光帶。 ②成因：棱鏡材料對不同色光的折射率不同，對紅光的折射率最小，紅光通過棱鏡后的偏折程度最小，對紫光的折射率最大，紫光通過棱鏡后的偏折程度最大，從而產(chǎn)生色散現(xiàn)象。 (3)各種色光的比較 2．平行玻璃磚、三棱鏡和圓柱體(球)對光路的控制 (2015重慶高考)虹和霓是太陽光在水珠內(nèi)分別經(jīng)過一次和兩次反射后出射形成的，可用白光照射玻璃球來說明。兩束平行白光照射到透明玻璃球后，在水平的白色桌面上會形成MN和PQ兩條彩色光帶，光路如圖所示。M、N、P、Q點的顏色分別為 (　　) A．紫、紅、紅、紫 B．紅、紫、紅、紫 C．紅、紫、紫、紅 D．紫、紅、紫、紅 解析　由題圖可知，射到M點的光線進入玻璃球時的折射角小于射到N點的光線進入玻璃球時的折射角，所以玻璃對射到M點的光的折射率大于玻璃對射到N點的光的折射率，故M點的顏色為紫色，N點的顏色為紅色；同理可得P點的顏色為紅色，Q點的顏色為紫色，所以只有A項正確。 答案　A 方法感悟 根據(jù)白光中七種色光的頻率大小關系、在介質(zhì)中的折射率大小關系，并結(jié)合折射定律及全反射等知識進行分析，常常是解決光的色散問題的關鍵。 1．(多選)如圖所示，從點光源S發(fā)出的一細束白光以一定的角度入射到三棱鏡的表面，經(jīng)過三棱鏡的折射后發(fā)生色散現(xiàn)象，在光屏的ab間形成一條彩色光帶。下面的說法中正確的是(　　) A．a(chǎn)側(cè)是紅光，b側(cè)是紫光 B．在真空中a側(cè)光的波長小于b側(cè)光的波長 C．三棱鏡對a側(cè)光的折射率大于對b側(cè)光的折射率 D．在三棱鏡中a側(cè)光的速率比b側(cè)光小 E．在三棱鏡中a、b兩側(cè)光的速率相同 答案　BCD 解析　由題圖可以看出，a側(cè)光偏折得較厲害，三棱鏡對a側(cè)光的折射率較大，所以a側(cè)光是紫光，波長較短，b側(cè)光是紅光，波長較長，因此A錯誤，B、C正確；又v＝，所以三棱鏡中a側(cè)光的傳播速率小于b側(cè)光的傳播速率，D正確，E錯誤。 2．(多選)頻率不同的兩束單色光1和2以相同的入射角從同一點射入一厚平行玻璃磚，單色光1、2在玻璃磚中折射角分別為30和60，其光路如圖所示，下列說法正確的是(　　) A．出射光線1和2一定是平行光 B．單色光1的波長大于單色光2的波長 C．在玻璃中單色光1的傳播速度大于單色光2的傳播速度 D．圖中單色光1、2通過玻璃磚所需的時間相等 E．單色光1從玻璃射到空氣的全反射臨界角小于單色光2從玻璃射到空氣的全反射臨界角 答案　ADE 解析　光線在平行玻璃磚上表面的折射角等于在下表面 的入射角，由光路可逆性原理可知，出射光線的折射角等于入射光線的入射角，因此出射光線1和2相互平行，A正確；在上表面，單色光1比單色光2偏折程度大，則單色光1的折射率大、頻率大、波長短，B錯誤；根據(jù)v＝知，單色光1在玻璃磚中的傳播速度小，C錯誤；設入射角為i，玻璃磚的厚度為d，單色光1、單色光2折射角分別為r1＝30，r2＝60，由n＝，光在玻璃中傳播距離l＝，光在玻璃中的傳播速度v＝，可知光在玻璃中傳播時間t＝＝＝，又sin2r1＝sin60＝，sin2r2＝sin120＝，所以單色光1與單色光2通過玻璃磚所需時間相等，D正確；根據(jù)sinC＝知，單色光1的折射率大，則臨界角小，E正確。 課后作業(yè) [鞏固強化練] 1．(多選)如圖所示，MN是介質(zhì)1和介質(zhì)2的分界面，介質(zhì)1、2的絕對折射率分別為n1、n2，一束細光束從介質(zhì)1射向介質(zhì)2中，測得θ1＝60，θ2＝30，根據(jù)你所學的光學知識判斷下列說法正確的是(　　) A．介質(zhì)2相對介質(zhì)1的相對折射率為 B．光在介質(zhì)2中的傳播速度小于光在介質(zhì)1中的傳播速度 C．介質(zhì)1相對介質(zhì)2來說是光密介質(zhì) D．光從介質(zhì)1進入介質(zhì)2可能發(fā)生全反射現(xiàn)象 E．光從介質(zhì)1進入介質(zhì)2，光的波長變短 答案　ABE 解析　光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2時，入射角與折射角的正弦之比叫做介質(zhì)2相對介質(zhì)1的相對折射率，所以有n21＝＝，A正確；因介質(zhì)2相對介質(zhì)1的相對折射率為，可以得出介質(zhì)2的絕對折射率大，因n＝，所以光在介質(zhì)2中的傳播速度小于光在介質(zhì)1中的傳播速度，B正確；介質(zhì)2相對介質(zhì)1來說是光密介質(zhì)，C錯誤；光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時，有可能發(fā)生全反射現(xiàn)象，D錯誤；光從介質(zhì)1進入介質(zhì)2，光的頻率不變，速度變小，由v＝λf可知，光的波長變短，E正確。 2.一束只含紅光和紫光的復色光P垂直于三棱鏡的一個側(cè)面射入，后分為兩束沿OM和ON方向射出，如圖所示。由圖可知(　　) A．OM為紅光，ON為紫光 B．OM為紫光，ON為紅光 C．OM為紅光，ON為紅、紫色復色光 D．OM為紫光，ON為紅、紫色復色光 答案　C 解析　因紫光的折射率大于紅光的折射率，紫光全反射的臨界角小于紅光的臨界角，入射角相同，發(fā)生全反射的一定是紫光，所以OM為紅光，紅光折射的同時有一部分要發(fā)生反射，所以ON應為含有紅光和紫光的復色光，C正確。 3.(多選)一束光從某介質(zhì)進入真空，方向如圖所示，則下列判斷中正確的是(　　) A．該介質(zhì)的折射率是 B．該介質(zhì)的折射率是 C．該介質(zhì)相對真空發(fā)生全反射的臨界角小于45 D．光線按如圖所示的方向入射，無論怎樣改變?nèi)肷浞较蚨疾豢赡馨l(fā)生全反射現(xiàn)象 E．如果光從真空射向介質(zhì)，則不可能發(fā)生全反射現(xiàn)象 答案　BCE 解析　上面是介質(zhì)，下面是真空，入射角i＝30，折射角r＝60，則折射率n＝＝＝，A錯誤，B正確；sinC＝＝<，則C<45，C正確；光線按如圖所示的方向入射，當入射角大于臨界角時，就會發(fā)生全反射現(xiàn)象，D錯誤；光從真空射向介質(zhì)，不可能發(fā)生全反射現(xiàn)象，E正確。 4.(多選)a、b兩種單色光組成的光束從玻璃進入空氣時，其折射光束如圖所示，則關于a、b兩束光的說法正確的是(　　) A．玻璃對a光的折射率小于對b光的折射率 B．增大入射角時，a光首先發(fā)生全反射 C．a(chǎn)光的頻率大于b光的頻率 D．在真空中a光的波長大于b光的波長 E．分別用這兩束光照射雙縫干涉實驗裝置，在光屏上都能出現(xiàn)干涉條紋，a光的相鄰條紋間距大于b光 答案　ADE 解析　a光的偏折程度小于b光，所以玻璃對a光的折射率小于對b光的折射率，增大入射角，b光首先發(fā)生全反射，A正確，B錯誤；折射率大的光頻率大，所以a光的頻率小于b光的頻率，C錯誤；根據(jù)c＝λf知，a光的波長長，再由Δx＝λ，a光的相鄰條紋間距大于b光，D、E正確。 5.(多選)如圖，一束光沿半徑方向射向一塊半圓形玻璃磚，在玻璃磚底面上的入射角為θ，經(jīng)折射后射出a、b兩束光線。則(　　) A．在玻璃中，a光的傳播速度小于b光的傳播速度 B．在真空中，a光的波長小于b光的波長 C．玻璃磚對a光的折射率小于對b光的折射率 D．若改變光束的入射方向使θ角逐漸變大，則折射光線a首先消失 E．分別用a、b光在同一個雙縫干涉實驗裝置上做實驗，a光的干涉條紋間距大于b光的干涉條紋間距 答案　ABD 解析　從光路圖看，入射角相同，a光的折射角較大，所以玻璃磚對a光的折射率較大，a光的頻率較大、波長較短，B正確，C錯誤；根據(jù)n＝知vansini3⑦ 式中C是全反射臨界角，滿足nsinC＝1⑧ 由④⑦⑧式知，棱鏡的折射率n的取值范圍應為≤n<2。 11．(2018全國卷Ⅲ)如圖，某同學在一張水平放置的白紙上畫了一個小標記“”(圖中O點)，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個標記上，小標記位于AC邊上。D位于AB邊上，過D點作AC邊的垂線交AC于F。該同學在D點正上方向下順著直線DF的方向觀察，恰好可以看到小標記的像；過O點作AB邊的垂線交直線DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm。求三棱鏡的折射率。(不考慮光線在三棱鏡中的反射) 答案　 解析　過D點作AB邊的垂線NN′，連接OD，則∠ODN＝α為來自O點的光線在D點的入射角；設該光線在D點的折射角為β，如圖所示。 根據(jù)折射定律有nsinα＝sinβ① 式中n為三棱鏡的折射率 由幾何關系可知β＝60② ∠EOF＝30③ 在△OEF中有EF＝OEsin∠EOF④ 由③④式和題給條件得OE＝2 cm⑤ 根據(jù)題給條件可知，△OED為等腰三角形，有α＝30⑥ 由①②⑥式得n＝。 12．(2017全國卷Ⅱ)一直桶狀容器的高為2l，底面是邊長為l的正方形；容器內(nèi)裝滿某種透明液體，過容器中心軸DD′、垂直于左右兩側(cè)面的剖面圖如圖所示。容器右側(cè)內(nèi)壁涂有反光材料，其他內(nèi)壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點光源，已知由液體上表面的D點射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。 答案　1.55 解析　設從光源發(fā)出直接射到D點的光線的入射角為i1，折射角為r1。在剖面內(nèi)作光源相對于反光壁的鏡像對稱點C，連接C、D，交反光壁于E點，由光源射向E點的光線，反射后沿ED射向D點。設光線在D點的入射角為i2，折射角為r2，如圖所示。 設液體的折射率為n，由折射定律有 nsini1＝sinr1① nsini2＝sinr2② 由題意知r1＋r2＝90③ 聯(lián)立①②③式得n2＝④ 由幾何關系可知sini1＝＝⑤ sini2＝＝⑥ 聯(lián)立④⑤⑥式得n≈1.55。 13．(2017全國卷Ⅰ)如圖，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點為球心；下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜。有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與OC之間的距離為0.6R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射)。求該玻璃的折射率。 答案　1.43 解析　如圖，根據(jù)光路的對稱性和光路可逆性，從半球面射入的折射光線，將從圓柱體底面中心C點反射。 設光線在半球面的入射角為i，折射角為r。 由折射定律有sini＝nsinr① 由正弦定理有＝② 由幾何關系，入射點的法線與OC的夾角為i。 由題設條件和幾何關系有sini＝③ 式中L是入射光線與OC的距離。由②③式和題給數(shù)據(jù)得sinr＝④ 由①③④式和題給數(shù)據(jù)得n＝≈1.43。 14．(2017全國卷Ⅲ)如圖，一半徑為R的玻璃半球，O點是半球的球心，虛線OO′表示光軸(過球心O與半球底面垂直的直線)。已知玻璃的折射率為1.5?，F(xiàn)有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出(不考慮被半球的內(nèi)表面反射后的光線)。求： (1)從球面射出的光線對應的入射光線到光軸距離的最大值； (2)距光軸的入射光線經(jīng)球面折射后與光軸的交點到O點的距離。 答案　(1)R　(2)2.74R 解析　(1)設光線在球面上發(fā)生折射時的入射角為i，當i等于全反射臨界角ic時，對應入射光線到光軸的距離最大，設最大距離為l。 i＝ic① 設n是玻璃的折射率，由全反射臨界角的定義有 nsinic＝1② 由幾何關系有sinic＝③ 聯(lián)立①②③式并利用題給條件，得l＝R④ (2)設與光軸相距的光線從A點入射，在球面B點發(fā)生折射時的入射角和折射角分別為i1和r1，由折射定律有nsini1＝sinr1⑤ 設折射光線與光軸的交點為C，在△OBC中，由正弦定理有＝⑥ 由幾何關系有 ∠C＝r1－i1⑦ sini1＝⑧ 聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式及題給條件得 OC＝R≈2.74R。 15．(2016全國卷Ⅰ)如圖，在注滿水的游泳池的池底有一點光源A，它到池邊的水平距離為3.0 m。從點光源A射向池邊的光線AB與豎直方向的夾角恰好等于全反射的臨界角，水的折射率為。 (1)求池內(nèi)的水深； (2)一救生員坐在離池邊不遠處的高凳上，他的眼睛到池面的高度為2.0 m。當他看到正前下方的點光源A時，他的眼睛所接受的光線與豎直方向的夾角恰好為45，求救生員的眼睛到池邊的水平距離(結(jié)果保留1位有效數(shù)字)。 答案　(1)2.6 m　(2)0.7 m 解析　(1)如圖，設到達池邊的光線的入射角為i。依題意，水的折射率n＝，光線的折射角θ＝90。由折射定律有 nsini＝sinθ① 由幾何關系有 sini＝② 式中，l＝3 m，h是池內(nèi)水的深度。 聯(lián)立①②式并代入題給數(shù)據(jù)得h＝ m≈2.6 m。③ (2)設此時救生員的眼睛到池邊的水平距離為x。依題意，救生員的視線與豎直方向的夾角為θ′＝45。由折射定律有 nsini′＝sinθ′④ 式中，i′是光線在水面的入射角。設池底點光源A到水面入射點的水平距離為a。由幾何關系有 sini′＝⑤ x＋l＝a＋h′⑥ 式中h′＝2 m。 聯(lián)立③④⑤⑥式得x＝ m≈0.7 m。 16．(2016全國卷Ⅲ)如圖，玻璃球冠的折射率為，其底面鍍銀，底面的半徑是球半徑的倍；在過球心O且垂直于底面的平面(紙面)內(nèi)，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的M點，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的A點。求該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角。 答案　150 解析　設球半徑為R，球冠底面中心為O′，連接OO′，則OO′⊥AB。 令∠OAO′＝α，有 cosα＝＝＝① 即α＝30② 由題意MA⊥AB③ 所以∠OAM＝60 設圖中N點為光線在球冠內(nèi)底面上的反射點，所考慮的光線的光路圖如圖所示。設光線在M點的入射角為i，折射角為r，在N點的入射角為i′，反射角為i″，玻璃折射率為n。由于△OAM為等邊三角形，有 i＝60④ 由折射定律有sini＝nsinr⑤ 代入題給條件n＝得r＝30⑥ 作底面在N點的法線NE，由于NE∥AM，有 i′＝30⑦ 根據(jù)反射定律，有i″＝30⑧ 連接ON，由幾何關系知△MAN≌△MON，故有∠MNO＝60⑨ 由⑦⑨式得∠ENO＝30⑩ 于是∠ENO為反射角，NO為反射光線。這一反射光線經(jīng)球面再次折射后不改變方向。所以，射出玻璃球冠的光線相對于入射光線的偏角β為β＝180－∠ENO＝150。 17．(2018撫順模擬)如圖所示，空氣中有一折射率為的玻璃柱體，其橫截面是圓心角為90、半徑為R的扇形OAB。一束平行光平行于橫截面，以45入射角照射到OA上，OB不透光。若只考慮首次入射到圓弧AB上的光，則AB上有光透出部分的弧長為多長？ 答案　πR 解析　由sinC＝，可知光在玻璃柱中發(fā)生全反射的臨界角C＝45，＝， 所有光線從AO進入玻璃柱后的折射角均為r＝30， 從O點入射后的折射光線將沿半徑從C點射出，假設從E點入射的光線經(jīng)折射后到達D點時剛好發(fā)生全反射， 則∠ODE＝45。 如圖所示，由幾何關系可知θ＝45， 故AB上有光透出部分的弧長為πR。