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圓中的有關定理 垂徑定理 提示 垂徑定理是圓中一個重要的結論 三種語言要相互轉(zhuǎn)化 形成整體 才能運用自如 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦 并且平分弦所對的兩條弧 如圖 CD是直徑 CD AB AM BM 垂徑定理的逆定理 平分弦的直徑垂直于這條弦 典型例題解析 例1 在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi) 裝入一部分油 油面寬320mm 求油的深度 解析 本題是以垂徑定理為考查點的幾何應用題 沒有給出圖形 直徑長是已知的 油面寬可理解為截面圓的弦長 也是已知的 但由于圓的對稱性 弦的位置有兩種不同的情況 如圖 1 和 2 圖 1 中OC 120 mm CD 80 mm 圖 2 中OC 120 mm CD OC OD 320 mm 典型例題解析 典型例題解析 例2 2003年 廣州市 如圖 A是半徑為5的 O內(nèi)的一點 且OA 3 過點A且長小于8的弦有 A 0條B 1條C 2條D 4條 解析 這題是考察垂徑定理的幾何題 先求出垂直于OA的弦長BC 2 8即過A點最短的弦長為8 故沒有弦長小于8的弦 選 A 例3 如圖 某地有一圓弧形拱橋 橋下水面寬為7 2米 拱頂高出水面2 4米 現(xiàn)有一艘寬3米 船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里 此貨船能順利通過這座拱橋嗎 典型例題解析 相信自己能獨立完成解答 解 如圖 用表示橋拱 所在圓的圓心為O 半徑為Rm 經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD D為垂足 與相交于點C 根據(jù)垂徑定理 D是AB的中點 C是的中點 CD就是拱高 由題設得 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 3 9 m 在Rt ONH中 由勾股定理 得 此貨船能順利通過這座拱橋 相交弦定理和切割弦定理 相交弦定理及其推論 定理 圓內(nèi)的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的積相等 PA PB PC PD 推論 如果弦與直徑垂直相交 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 PC2 PD2 PA PB 2相交弦定理和切割弦定理 切割線定理 定理 從圓外一點引圓的兩條割線 這點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 PA PB PC PD 且都等于這點到圓所作切線長的平方 PT2 PA PB 例1已知如圖 AB是 O的直徑 弦CD AB 垂足為E P為BA延長線上的點 連結PC 交 O于F 如果PF 7 FC 13 且PA AE EB 2 4 1 求CD的長 解析 涉及圓中有關切割線 相交弦定理的應用問題時 要注意尋找應用定理的基本圖形 如PFC與PAB是割線 得到PF PC PA PB CD與AB是 O中兩條互相垂直的弦 得到CE2 AE BE由PA AE EB 2 4 1可設PA 2k AE 4k EB k 則PB 7k則7 7 13 2k 7kk 由CE2 AE BE CE2 4k k 4k2CE 2CD 2CE 4 典型例題解析 典型例題解析 典型例題解析 例2 如圖 ABC是 O的內(nèi)接三角形 PA是切線 PB交AC于E 交 O于D 且PE PA ABC 60 PD 1 BD 8 求CE的長 解 PA是 O切線 PA2 PD PB 1 1 8 9 PA 3 PAC ABC 60 PE PA PAE是等邊三角形 AE EP 3 DE 2 BE 6 AE EC BE DE EC 4 典型例題解析 例3 如圖 1 已知 O的弦AB CD交于圓內(nèi)的一點E 過E作EF BC交DA的延長線于F FG切 O于G 1 求證 EF FG圖 1 2 若AB與CD的交點在 O外 上述結論是否成立 請證明你的猜想 解析 1 要證兩線段相等 方法很多但這題應該用等積式證EF FG 很明顯FG2 FA FD 若再能得到EF2 FA FD即可 FAE FED 2 這是一道探索性問題 首先要根據(jù)題意畫出圖形 如圖 2 利用已知條件來探求結論是否成立 此題很容易探求出FG EF證明同 1