《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法課件(理).ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法課件(理).ppt（38頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第4節(jié)直接證明與間接證明 數(shù)學(xué)歸納法 知識(shí)鏈條完善 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來 教材導(dǎo)讀 1 綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系 提示 1 分析法的特點(diǎn)是從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其逐步推理 實(shí)際上是尋求它成立的充分條件 2 綜合法的特點(diǎn)是從 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 實(shí)際上是尋找它成立的必要條件 3 分析法易于探索解題思路 綜合法易于過程表述 在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之 2 用反證法證明問題的一般步驟有哪些 提示 1 反設(shè) 否定結(jié)論 假定所要證的結(jié)論不成立 而結(jié)論的反面成立 2 歸謬 推導(dǎo)矛盾 將 反設(shè) 作為條件 由此出發(fā) 經(jīng)過正確的推理導(dǎo)出矛盾 與已知條件 已知的公理 定義 定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾 3 定論 肯定結(jié)論 矛盾產(chǎn)生的原因在于 反設(shè) 的謬誤 既然結(jié)論的反面不成立 從而肯定了結(jié)論成立 3 數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系 提示 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù) 兩個(gè)步驟缺一不可 否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 第一步中 驗(yàn)算n n0中的n0不一定為1 根據(jù)題目要求 有時(shí)可為2或3等 知識(shí)梳理 1 直接證明 1 綜合法定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出的證明方法 2 分析法定義 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 已知條件 定理 定義 公理等 為止的證明方法 2 間接證明 反證法一般地 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這樣的證明方法叫做反證法 所要證明的結(jié)論成立 判定一個(gè)明顯成立的條件 不成立 假設(shè)錯(cuò)誤 原命題成立 3 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 1 歸納奠基 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 n0 N 時(shí)命題成立 2 歸納遞推 假設(shè)時(shí)命題成立 證明當(dāng)時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟 就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 n k k n0 k N n k 1 夯基自測(cè) 1 命題 對(duì)于任意角 cos4 sin4 cos2 的證明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 過程應(yīng)用了 A 分析法 B 綜合法 C 綜合法 分析法結(jié)合使用 D 間接證法 解析 在證明過程中使用了大量的公式和結(jié)論 有平方差公式 同角的關(guān)系式 所以在證明過程中 使用了綜合法的證明方法 B 解析 應(yīng)選擇分析法 B 3 用反證法證明命題 若a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一個(gè)能被5整除 時(shí) 假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是 A a b都能被5整除 B a b都不能被5整除 C a b不都能被5整除 D a能被5整除 解析 至少有一個(gè) 的反面應(yīng)是 一個(gè)都沒有 故應(yīng)選B B 答案 2k 答案 b 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一 綜合法 反思?xì)w納 1 綜合法是 由因?qū)Ч?的證明方法 它是一種從已知到未知 從題設(shè)到結(jié)論 的邏輯推理方法 即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷 命題 出發(fā) 經(jīng)過一系列的中間推理 最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性 2 綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理 考點(diǎn)二 分析法 證明 因?yàn)閙 0 所以1 m 0 所以要證原不等式成立 只需證明 a mb 2 1 m a2 mb2 即證m a2 2ab b2 0 即證 a b 2 0 而 a b 2 0顯然成立 故原不等式得證 反思?xì)w納 1 分析法是 執(zhí)果索因 的證明方法 它是從結(jié)論入手 由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件 而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 定義 公理 定理 法則 公式等 或要證命題的已知條件時(shí)命題得證 2 用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí) 要注意書寫格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即要證 就要證 等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論 再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立 反證法 考點(diǎn)三 反思?xì)w納 1 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出現(xiàn)時(shí) 宜用反證法來證 2 利用反證法進(jìn)行證明時(shí) 一定要對(duì)所要證明的結(jié)論進(jìn)行否定性的假設(shè) 并以此為條件進(jìn)行歸謬 得到矛盾 則原命題成立 數(shù)學(xué)歸納法 考點(diǎn)四 2 猜想f n 與g n 的大小關(guān)系 并給出證明 反思?xì)w納 1 利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明與n有關(guān)的命題 也可以解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 證明的關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n k k N k n0 時(shí)命題成立 由歸納假設(shè)推證n k 1時(shí)命題成立 2 證明n k 1 k N k n0 時(shí)命題成立的常用技巧 分析n k 1時(shí)命題與n k時(shí)命題形式的差別 確定證明目標(biāo) 證明恒等式時(shí)常用乘法公式 因式分解 添拆項(xiàng)配方等 證明不等式常用分析法 綜合法 放縮法等 備選例題 例1 2014高考北京卷 對(duì)于數(shù)對(duì)序列P a1 b1 a2 b2 an bn 記T1 P a1 b1 Tk P bk max Tk 1 P a1 a2 ak 2 k n 其中max Tk 1 P a1 a2 ak 表示Tk 1 P 和a1 a2 ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù) 1 對(duì)于數(shù)對(duì)序列P 2 5 4 1 求T1 P T2 P 的值 解 1 T1 P 2 5 7 T2 P 1 max T1 P 2 4 1 max 7 6 8 2 記m為a b c d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù) 對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì) a b c d 組成的數(shù)對(duì)序列P a b c d 和P c d a b 試分別對(duì)m a和m d兩種情況比較T2 P 和T2 P 的大小 3 在由五個(gè)數(shù)對(duì) 11 8 5 2 16 11 11 11 4 6 組成的所有數(shù)對(duì)序列中 寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5 P 最小 并寫出T5 P 的值 只需寫出結(jié)論 解 2 T2 P max a b d a c d T2 P max c d b c a b 當(dāng)m a時(shí) T2 P max c d b c a b c d b 因?yàn)閍 b d c d b 且a c d c b d 所以T2 P T2 P 當(dāng)m d時(shí) T2 P max c d b c a b c a b 因?yàn)閍 b d c a b 且a c d c a b 所以T2 P T2 P 所以無論m a還是m d T2 P T2 P 都成立 3 數(shù)對(duì) 4 6 11 11 16 11 11 8 5 2 的T5 P 最小 T1 P 10 T2 P 26 T3 P 42 T4 P 50 T5 P 52 例3 是否存在常數(shù)a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c對(duì)一切正整數(shù)n成立 證明你的結(jié)論 解題規(guī)范夯實(shí)把典型問題的解決程序化 正確選用合理的數(shù)學(xué)證明方法 典例 函數(shù)f x x2 2x 3 定義數(shù)列 xn 如下 x1 2 xn 1是過兩點(diǎn)P 4 5 Qn xn f xn 的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 1 證明 2 xn xn 1 3 2 求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式 答題模板 第一步 使用數(shù)學(xué)歸納法證明第一問 先驗(yàn)證n 1時(shí)結(jié)論成立 第二步 在歸納假設(shè)下 證明當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論也成立 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理作出命題對(duì)一切正整數(shù)都成立的結(jié)論 第三步 通過構(gòu)造輔助數(shù)列的方法解決第二問 第四步 把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項(xiàng) 并求出其通項(xiàng)公式 第五步 把輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式