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課時訓練(二十)　相似三角形 (限時:45分鐘) |夯實基礎| 1.對于平面圖形上的任意兩點P,Q,如果經過某種變換得到的新圖形上的對應點P,Q,保持PQ=PQ,我們把這種變換稱為“等距變換”,下列變換中不一定是等距變換的是 (　　) A.平移 B.旋轉 C.軸對稱 D.位似 2.[xx武威] 已知a2=b3(a≠0,b≠0),下列變形錯誤的是 (　　) A.ab=23 B.2a=3b C.ba=32 D.3a=2b 3.[xx內江] 已知△ABC與△A1B1C1相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△A1B1C1的面積比為 (　　) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 4.[xx哈爾濱] 如圖K20-1,在△ABC中,點D在BC邊上,連接AD,點G在線段AD上,GE∥BD,且交AB于點E,GF∥AC,且交CD于點F,則下列結論一定正確的是 (　　) 圖K20-1 A.ABAE=AGAD B.DFCF=DGAD C.FGAC=EGBD D.AEBE=CFDF 5.[xx濱州] 在平面直角坐標系中,線段AB兩個端點的坐標分別為A(6,8),B(10,2).若以原點O為位似中心,在第一象限內將線段AB縮短為原來的12后得到線段CD,則點A的對應點C的坐標為 (　　) A.(5,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,5) 6.如圖K20-2,點F在平行四邊形ABCD的邊AB上,射線CF交DA的延長線于點E.在不添加輔助線的情況下,與△AEF相似的三角形有(　　) 圖K20-2 A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 7.[xx臨沂] 如圖K20-3,利用標桿BE測量建筑物的高度.已知標桿BE高1.2 m,測得AB=1.6 m,BC=12.4 m.則建筑物CD的高是 (　　) 圖K20-3 A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m 8.[xx恩施州] 如圖K20-4所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點,連接AG并延長交BC邊的延長線于E點,對角線BD交AG于F點.已知FG=2,則線段AE的長度為 (　　) 圖K20-4 A.6 B.8 C.10 D.12 9.[xx邵陽] 如圖K20-5所示,點E是平行四邊形ABCD的BC邊延長線上一點,連接AE,交CD于點F,連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形:　　　　. 圖K20-5 10.[xx菏澤] 如圖K20-6,△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形,相似比為3∶4,∠OCD=90,∠AOB=60,若點B的坐標是(6,0),則點C的坐標是　　　　. 圖K20-6 11.關注數學文化 [xx泰安] 《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步而見木?” 圖K20-7 用今天的話說,大意是:如圖K20-7,四邊形DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點,南門K位于ED的中點,出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點D在直線AC上).請你計算KC的長為　　　　步. 12.[xx江西] 如圖K20-8,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點E.求AE的長. 圖K20-8 13.[xx涼山州] 如圖K20-9,△ABC在方格紙中. (1)請在方格紙中建立平面直角坐標系,使A(2,3),C(6,2),并求出B點坐標; (2)以原點O為位似中心,相似比為2,在第一象限內將△ABC放大,畫出放大后的圖形△ABC; (3)計算△ABC的面積S. 圖K20-9 |拓展提升| 14.[xx萊蕪] 如圖K20-10,在矩形ABCD中,∠ADC的平分線與AB交于E,點F在DE的延長線上,∠BFE=90,連接AF,CF,CF與AB交于G.有以下結論: 圖K20-10 ①AE=BC; ②AF=CF; ③BF2=FGFC; ④EGAE=BGAB. 其中正確的個數是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 15.[xx宿遷] 如圖K20-11,在矩形紙片ABCD中,已知AB=1,BC=3,點E在邊CD上移動,連接AE,將多邊形ABCE沿AE折疊,得到多邊形ABCE,點B,C的對應點分別為點B,C, (1)當BC恰好經過點D時(如圖①),求線段CE的長; (2)若BC分別交AD,CD于點F,G,且∠DAE=22.5(如圖②),求△DFG的面積; (3)在點E從點C移動到點D的過程中,求點C移動的路徑長. 圖K20-11  參考答案 1.D 2.B 3.D 4.D　[解析] ∵GE∥BD,∴AEBE=AGGD,又∵GF∥AC,∴AGGD=CFDF,∴AEBE=CFDF. 5.C 6.C　[解析] 在平行四邊形ABCD中,∵CD∥AB,∴△AEF∽△DEC.∵AD∥BC,∴△AEF∽△BCF. 7.B　[解析] 由題意知BE∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴BECD=ABAC,即1.2CD=1.61.6+12.4,解得CD=10.5(m). 8.D　[解析] ∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF, ∴△ABF∽△GDF, ∴AFGF=ABGD=2, ∴AF=2GF=4,∴AG=6. ∵CG∥AB,AB=2CG, ∴CG為△EAB的中位線, ∴AE=2AG=12. 故選D. 9.△ADF∽△ECF(答案不唯一) 10.(2,23)　[解析] 由△OAB與△OCD位似,相似比為3∶4,B(6,0),得OD=643=8,在Rt△COD中,OC=12OD=4.作CE⊥OD于點E,在Rt△OCE中,OE=12OC=2,CE=23,∴C(2,23). 11.20003　[解析] 由題意,可得Rt△CDK∽Rt△DAH,則KCDH=KDAH,即KC100=10015,解得KC=20003. 12.解:∵BD為∠ABC的平分線, ∴∠ABD=∠DBC, 又∵AB∥CD, ∴∠D=∠ABD, ∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4. 又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED, ∴ABCD=AECE, ∴AECE=84=2, ∴AE=2EC,解得EC=12AE, ∵AC=AE+EC=6, ∴AE+12AE=6,解得AE=4. 13.解:(1)建立如圖所示的平面直角坐標系,點B的坐標是(2,1). (2)畫出△ABC如圖. (3)S=1284=16. 14.C　[解析] ①DE平分∠ADC,∠ADC為直角,∴∠ADE=1290=45,∴△ADE為直角三角形,AD=AE,又∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC,∴AE=BC,故①正確. ②∵∠BFE=90,∠BEF=∠AED=45,∴△BFE為等腰直角三角形,∴EF=BF. 又∵∠AEF=135,∠CBF=∠ABC+∠ABF=135, ∴∠AEF=∠CBF. 在△AEF和△CBF中,AE=BC,∠AEF=∠CBF,EF=BF,∴△AEF≌△CBF(SAS),∴AF=CF.故②正確. ③假設BF2=FGFC,則△FBG∽△FCB,∴∠FBG=∠FCB=45,連接AC,由②知∠AFC=∠BFE=90,AF=CF,∴∠ACF=45, ∴∠ACB=90,顯然不可能,故③錯誤. ④∵∠BGF=180-∠CGB,∠DAF=90+∠EAF=90+(90-∠AGF)=180-∠AGF,∠AGF=∠BGC,∴∠DAF=∠BGF,∵∠ADF=∠FBG=45,∴△ADF∽△GBF,∴ADBG=DFBF=DFEF,∵EG∥CD,∴EFDF=EGCD=EGAB,∴ADBG=ABEG,∵AD=AE,∴EGAE=BGAB,故④正確,故選C. 15.解:(1)由折疊知∠B=∠B=90,AB=AB=1,BC=BC=3,CE=CE. 由勾股定理,得BD=AD2-AB2=2, ∴DC=3-2. ∵∠ADE=90,∴∠ADB+∠EDC=90. 又∵∠ADB+∠DAB=90, ∴∠EDC=∠DAB. 又∵∠B=∠C=90,∴△ABD∽△DCE, ∴ABDC=BDCE,即13-2=2CE, ∴CE=6-2,∴CE=CE=6-2. (2)如圖①,連接AC. ∵tan∠BAC=BCAB=3, ∴∠BAC=60, ∠DAC=30. ∵∠DAE=22.5, ∴∠EAC=30-22.5=7.5. 由折疊得∠BAE=∠BAE=67.5, ∴∠BAF=45. ∵AB=1,∴AF=2,DF=3-2. ∵∠BFA=45,∴∠DFG=∠DGF=45, ∴DG=DF=3-2, ∴S△DFG=12(3-2)2=52-6. (3)如圖②,連接AC,則AC=AC=2, ∴點C的運動路徑是以點A為圓心,以AC為半徑的圓弧. 當點E運動到點D時,點C恰好在CD的延長線上,此時∠CAC=60, ∴點C移動的路徑長是60π2180=23π.