《2019高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.3 空間直角坐標系講義（含解析）新人教A版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.3 空間直角坐標系講義（含解析）新人教A版必修2.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

4.3 空間直角坐標系 [核心必知] 1．預習教材，問題導入 根據(jù)以下提綱，預習教材P134～P137，回答下列問題． (1)平面直角坐標系由兩條互相垂直的數(shù)軸組成，設想空間直角坐標系由幾條數(shù)軸組成？其相對位置關系如何？ 提示：三條交于一點且兩兩互相垂直的數(shù)軸． (2)建立了空間直角坐標系以后，空間中任意一點M對應的三個有序?qū)崝?shù)如何找到呢？ 提示：如圖所示，設點M是空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸，y軸和z軸于點P、Q和R.設點P、Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x，y和z，那么點M就對應唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)． (3)設點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分別為M、N. ①M、N的坐標是什么？點M、N之間的距離如何？ ②若直線P1P2是xOy平面的一條斜線，點P1，P2間的距離如何？ 提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)； |MN|＝. ②如圖，在Rt△P1HP2中， |P1H|＝|MN| ＝，根據(jù)勾股定理，得 |P1P2|＝ ＝. 2．歸納總結，核心必記 (1)空間直角坐標系及相關概念 ①空間直角坐標系：從空間某一定點引三條兩兩垂直，且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz. ②相關概念：點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸．通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面． (2)右手直角坐標系 在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系． (3)空間一點的坐標 空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z)．其中x叫點M的橫坐標，y叫點M的縱坐標，z叫點M的豎坐標． (4)空間兩點間的距離公式 ①點P(x，y，z)到坐標原點O(0,0,0)的距離，|OP|＝. ②任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離， |P1P2|＝ . [問題思考] (1)給定的空間直角坐標系下，空間任意一點是否與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間存在唯一的對應關系？ 提示：是．給定空間直角坐標系下，空間給定一點其坐標是唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)；反之，給定一個有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，空間也有唯一的點與之對應． (2)空間兩點間的距離公式對在坐標平面內(nèi)的點適用嗎？ 提示：適用．空間兩點間的距離公式適用于空間任意兩點，對同在某一坐標平面內(nèi)的兩點也適用． [課前反思] 通過以上預習，必須掌握的幾個知識點． (1)怎樣建立空間直角坐標系？如何確定空間一點的坐標？ 　； (2)空間兩點間的距離公式是什么？怎樣用？ 　. 　 (1)如圖數(shù)軸上A點、B點． (2)如圖在平面直角坐標系中，P、Q點的位置． (3)下圖是一個房間的示意圖，我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢茫? [思考1]　上述(1)中如何確定A、B兩點的位置？ 提示：利用A、B兩點的坐標2和－2. [思考2]　上述(2)中如何確定P、Q兩點的位置？ 提示：利用P、Q兩點的坐標(a，b)和(m，n)． [思考3]　對于上述(3)中，空間中如何表示板凳和氣球的位置？ 提示：可借助于平面坐標系的思想建立空間直角坐標系，如圖示． 講一講 1．建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗龅走呴L為2，高為3的正三棱柱的各頂點的坐標．(鏈接教材P135—例1) [嘗試解答]　以BC的中點為原點，BC所在的直線為y軸，以射線OA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖． 由題意知，AO＝2＝，從而可知各頂點的坐標分別為A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)． 空間中點P坐標的確定方法 (1)由P點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點Px、Py、Pz，這三個點在x軸、y軸、z軸上的坐標分別為x、y、z，那么點P的坐標就是(x，y，z)． (2)若題所給圖形中存在垂直于坐標軸的平面，或點P在坐標軸或坐標平面上，則要充分利用這一性質(zhì)解題． 練一練 1．如圖所示，VABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如圖所示空間直角坐標系，試分別寫出各個頂點的坐標． 解：∵底面是邊長為2的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O點是坐標原點， ∴C(1,1,0)，同樣的方法可以確定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z軸上， ∴V(0,0,3)． 講一講 2．在空間直角坐標系中，點P(－2,1,4)． (1)求點P關于x軸的對稱點的坐標； (2)求點P關于xOy平面的對稱點的坐標； (3)求點P關于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標． [嘗試解答]　(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P1(－2，－1，－4)． (2)由于點P關于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P2(－2,1，－4)． (3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x＝22－(－2)＝6， y＝2(－1)－1＝－3，z＝2(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12)． (1)求空間對稱點的規(guī)律方法 空間的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論． (2)空間直角坐標系中，任一點P(x，y，z)的幾種特殊對稱點的坐標如下： ①關于原點對稱的點的坐標是P1(－x，－y，－z)； ②關于x軸(橫軸)對稱的點的坐標是P2(x，－y，－z)； ③關于y軸(縱軸)對稱的點的坐標是P3(－x，y，－z)； ④關于z軸(豎軸)對稱的點的坐標是P4(－x，－y，z)； ⑤關于xOy坐標平面對稱的點的坐標是P5(x，y，－z)； ⑥關于yOz坐標平面對稱的點的坐標是P6(－x，y，z)； ⑦關于xOz坐標平面對稱的點的坐標是P7(x，－y，z)． 練一練 2.保持本解中的點P不變， (1)求點P關于y軸的對稱點的坐標； (2)求點P關于yOz平面的對稱點的坐標； (3)求點P關于點N(－5,4,3)的對稱點的坐標． 解：(1)由于點P關于y軸對稱后，它在y軸的分量不變，在x軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)， 故對稱點的坐標為P1(2,1，－4)． (2)由于點P關于yOz平面對稱后，它在y軸、z軸的分量不變，在x軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)， 故對稱點的坐標為P2(2,1,4)． (3)設所求對稱點為P3(x，y，z)， 則點N為線段PP3的中點， 由中點坐標公式，可得－5＝，4＝，3＝， 即x＝2(－5)－(－2)＝－8，y＝24－1＝7， z＝23－4＝2， 故P3(－8,7,2). (1)已知數(shù)軸上A點的坐標2，B點的坐標－2. (2)已知平面直角坐標系中P(a，b)，Q(m，n)． [思考1]　如何求數(shù)軸上兩點間的距離？ 提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|. [思考2]　如何求平面直角坐標系中P、Q兩點間距離？ 提示：d＝|PQ|＝ . [思考3]　若在空間中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|? 提示：與平面直角坐標系中兩點的距離求法類似． 講一講 3．已知點A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，試判斷△ABC的形狀． [嘗試解答]　 |AB|＝ ＝＝7， |BC|＝ ＝＝7， |AC|＝ ＝＝7， 則|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC為等腰直角三角形． 求空間兩點間的距離時，一般使用空間兩點間的距離公式，應用公式的關鍵在于建立適當?shù)淖鴺讼?，確定兩點的坐標．確定點的坐標的方法視具體題目而定，一般說來，要轉化到平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結合平面直角坐標系的知識確定． 練一練 3．已知兩點P(1,0,1)與Q(4,3，－1)． (1)求P、Q之間的距離； (2)求z軸上的一點M，使|MP|＝|MQ|. 解：(1)|PQ|＝＝. (2)設M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|， 得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2， ∴z＝－6. ∴M(0,0，－6)． ——————————[課堂歸納感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點是了解右手直角坐標系及有關概念，掌握空間直角坐標系中任意一點的坐標的含義，會建立空間直角坐標系，并能求出點的坐標，理解空間兩點間距離公式的推導過程和方法，掌握空間兩點間的距離公式及其簡單應用．難點是空間直角坐標系的建立及求相關點的坐標、空間兩點間距離公式及其簡單運用． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)空間直角坐標系中點的坐標的確定方法，見講1. (2)求空間中對稱點坐標的規(guī)律，見講2. (3)空間兩點間距離公式的應用，見講3. 3．本節(jié)課的易錯點是空間中點的坐標的確定，如講1. 課下能力提升(二十六) [學業(yè)水平達標練] 題組1　空間直角坐標系的建立及坐標表示 1．點(2,0,3)在空間直角坐標系中的(　　) A．y軸上　　　　　B．xOy平面上 C．xOz平面上 D．第一象限內(nèi) 解析：選C　點(2,0,3)的縱坐標為0，所以該點在xOz平面上． 2．在空間直角坐標系中，點P(4,3，－1)關于xOz平面的對稱點的坐標是(　　) A．(4，－3，－1) B．(4,3，－1) C．(3，－4,1) D．(－4，－3,1) 解析：選A　過點P向xOz平面作垂線，垂足為N，則N就是點P與它關于xOz平面的對稱點P′連線的中點，又N(4,0，－1)，所以對稱點為P′(4，－3，－1)． 3．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，則線段AB中點的坐標為________． 解析：設中點坐標為(x0，y0，z0)， 則x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1， ∴中點坐標為(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1) 4．點P(1,2，－1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(x，y，z)，則x＋y＋z＝________. 解析：點P(1,2，－1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0. 答案：0 5．如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出E，F(xiàn)點的坐標． 解：以A為坐標原點，射線AB，AD， AA1的方向分別為正方向建立空間直角坐標系，如圖所示． 分別設|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，則|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝|AB|＝，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－＝. 所以點E的坐標為，點F的坐標為(1,2,1)． 6．如圖，在空間直角坐標系中，BC＝2，原點O是BC的中點，點D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC＝90，∠DCB＝30，求點D的坐標． 解：過點D作DE⊥BC，垂足為E. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90，∠DCB＝30，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60＝1－＝， ∴點D的坐標為. 題組2　空間兩點間的距離 7．(2016長春高一檢測)已知點A(x,1,2)和點B(2,3,4)，且|AB|＝2，則實數(shù)x的值是(　　) A．－3或4　　　　　　　 B．6或2 C．3或－4 D．6或－2 解析：選D　由題意得＝2，解得x＝－2或x＝6. 8．在空間直角坐標系中，正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A的坐標為(3，－1,2)，其中心M的坐標為(0,1,2)，則該正方體的棱長為________． 解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)， 所以C1(－3,3,2)．正方體體對角線長為|AC1|＝＝2， 所以正方體的棱長為＝. 答案： [能力提升綜合練] 1．在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，則對角線AC1的長為(　　) A．9 B. C．5 D．2 解析：選B　由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝. 2．點A(1,2，－1)，點C與點A關于面xOy對稱，點B與點A關于x軸對稱，則|BC|的值為(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：選B　點A關于面xOy對稱的點C的坐標是(1,2,1)，點A關于x軸對稱的點B的坐標是(1，－2,1)，故|BC|＝ ＝4. 3．△ABC在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則BC邊上的中線的長是(　　) A. B．2 C. D．3 解析：選C　BC的中點坐標為M(1,1,0)，又A(0,0,1)， ∴|AM|＝＝. 4．在空間直角坐標系中，一定點P到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設P(x，y，z)，由題意可知 ∴x2＋y2＋z2＝，∴＝. 5．在空間直角坐標系中，點(－1，b,2)關于y軸的對稱點是(a，－1，c－2)，則點P(a，b，c)到坐標原點O的距離|PO|＝________. 解析：點(－1，b,2)關于y軸的對稱點是(1，b，－2)，所以點(a，－1，c－2)與點(1，b，－2)重合，所以a＝1，b＝－1，c＝0，所以|PO|＝＝. 答案： 6．在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，F(xiàn)是BD的中點，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E為C1G的中點，則EF的長為________． 解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，D為坐標原點，由題意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，則E. 所以|EF|＝ ＝. 答案： 7．如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C中點，求M、N兩點間的距離． 解：如圖所示，分別以AB、AD、AA1所在的直線為x軸、 y軸、z軸建立空間直角坐標系． 由題意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)， ∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， ∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，A1(0,0,2)． ∵N為CD1的中點， ∴N. M是A1C1的三分之一分點且靠近A1點， ∴M(1,1,2)． 由兩點間距離公式， 得|MN|＝ ＝. 8．如圖所示， 直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點，F(xiàn)是AC的中點，求DE，EF的長度． 解：以點C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸， 建立如圖所示的空間直角坐標系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中點坐標公式可得，D(1,1,0)，E(0，1,2)，F(xiàn)(1,0,0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝.