《2019人教A版數(shù)學(xué)必修一3.2.2《函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例》教案精講.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019人教A版數(shù)學(xué)必修一3.2.2《函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例》教案精講.doc（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019人教A版數(shù)學(xué)必修一3.2.2《函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例》教案精講 [讀教材填要點(diǎn)] 函數(shù)模型的應(yīng)用 (1)用已知的函數(shù)模型刻畫實(shí)際問(wèn)題； (2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其基本過(guò)程如圖所示： [小問(wèn)題大思維] 1．在實(shí)際問(wèn)題中常用的函數(shù)模型如下表所示，你能寫出它們對(duì)應(yīng)的解析式嗎？ 提示： 函數(shù)模型 解析式 正比例函數(shù)模型 f(x)＝(k為常數(shù)，k≠0) 一次函數(shù)模型 二次函數(shù)模型 f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1) 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 冪函數(shù)模型 提示：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)　反比例函數(shù)模型 f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1) 2．在利用上述函數(shù)模型解決問(wèn)題時(shí)，函數(shù)的定義域除了使函數(shù)解析式有意義之外，還需注意什么？ 提示：實(shí)際問(wèn)題有意義．例如：“非負(fù)”，“取整”，“上、下限”等． 已知函數(shù)模型的應(yīng)用題 [例1]　某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2的拋物線段表示． (1)寫出圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t)，寫出圖2表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)； (2)規(guī)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？ (注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102kg，時(shí)間單位：天) [自主解答]　(1)由圖1可得，市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為f(t)＝ 由圖2可得，種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為 g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300. (2)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t)，則由題意，得h(t)＝ f(t)－g(t)，即 h(t)＝ 當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理，得 h(t)＝－(t－50)2＋100， 所以，當(dāng)t＝50時(shí)，h(t)取得區(qū)間[0,200]上的最大值100； 當(dāng)20087.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時(shí)t＝50, 即從二月一日開(kāi)始的第50天，上市的西紅柿純收益最大． —————————————————— 求解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為： 圖表中的第一步：，這一步應(yīng)從審題開(kāi)始，通過(guò)分析和抽象找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，即建立合理的數(shù)學(xué)模型，因此，這一步稱之為數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化；第二步：，這一步就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決函數(shù)模型所表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題．因此，這一步稱之為數(shù)學(xué)解決；第三步：，這一步就是將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論． —————————————————————————————————————— 1．某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下： 高峰時(shí)間段用電價(jià)格表 高峰月用電量(單位：千瓦時(shí)) 高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí)) 50及以下的部分 0.568 超過(guò)50至200的部分 0.598 超過(guò)200的部分 0.668 低谷時(shí)間段用電價(jià)格表 低谷月用電量(單位：千瓦時(shí)) 低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí)) 50及以下的部分 0.288 超過(guò)50至200的部分 0.318 超過(guò)200的部分 0.388 　 若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為_(kāi)_______元(用數(shù)字作答)． 解析：高峰時(shí)間段200千瓦時(shí)的用電電費(fèi)為： 500.568＋(200－50)0.598＝118.1(元)； 低谷時(shí)間段100千瓦時(shí)的用電電費(fèi)為： 500.288＋(100－50)0.318＝30.3(元)． 合計(jì)：148.4(元)． 答案：148.4 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)模型 [例2]　某公司擬投資100萬(wàn)元，有兩種獲利的方式可選擇：一種是年利率10%，按單利計(jì)算，5年收回本金和利息；另一種是年利率9%，按復(fù)利計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？并求比另一種投資5年可多得利息多少元？ [解]　本金100萬(wàn)元，年利率10%，按單利計(jì)算，5年后的本息和是100(1＋10%5)＝150萬(wàn)元． 本金100萬(wàn)元，年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后的本息和是100(1＋9%)5≈153.86萬(wàn)元． 由此可見(jiàn)，按年利率9%每年復(fù)利一次計(jì)算的要比年利率10%單利計(jì)算的更有利，5年后多得利息3.86萬(wàn)元． —————————————————— 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查.在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以用指數(shù)函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式.另外，指數(shù)方程常利用對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，指數(shù)、對(duì)數(shù)在很多問(wèn)題中可轉(zhuǎn)化應(yīng)用. —————————————————————————————————————— 2．20世紀(jì)70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為：M＝lgA－lgA0.其中A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅． (1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中1 000千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.002，計(jì)算這次地震的震級(jí)． (2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，我國(guó)發(fā)生在汶川的8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍？ 解：(1)M＝lg A－lg A0＝lg＝lg＝4. 即這次地震的震級(jí)為4級(jí)． (2)， lg＝3，＝1 000. 即所求是1 000倍． 擬合函數(shù)模型的建立及應(yīng)用 [例3]　為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x cm與當(dāng)年灌溉面積y hm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如下表所示. 年序 最大積雪深度x/cm 灌溉面積y/hm2 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描點(diǎn)畫出灌溉面積y hm2隨積雪深度x cm變化的圖象； (2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y＝f(x)，并畫出圖象； (3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？ [自主解答]　(1)描點(diǎn)作圖如圖甲： (2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y＝ax＋b. 取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)(24.0,45.8)， 代入y＝ax＋b，得 用計(jì)算器可算得a≈1.8，b≈2.4. 這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型y＝1.8x＋2.4.作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系． (3)由y＝1.825＋2.4，求得y＝47.4，即當(dāng)最大積雪深度為25 cm時(shí)，可以灌溉土地47.4 hm2. —————————————————— 對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后驗(yàn)證并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答，這個(gè)過(guò)程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是： (1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點(diǎn)圖. (2)通過(guò)考察散點(diǎn)圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線. (3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式. (4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)，為決策和管理提供依據(jù). —————————————————————————————————————— 3．某汽車公司曾在xx年初公告：xx年銷量目標(biāo)定為39.3萬(wàn)輛；且該公司董事長(zhǎng)極力表示有信心完成這個(gè)銷量目標(biāo)． xx年，某汽車年銷量8萬(wàn)輛； xx年，某汽車年銷量18萬(wàn)輛； xx年，某汽車年銷量30萬(wàn)輛． 如果我們分別將xx,xx,xx,xx年定義為第一，二，三，四年，現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)型f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)型g(x)＝abx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年銷量y與第x年的關(guān)系？ 解：建立年銷量y(萬(wàn)輛)與第x年的函數(shù)，可知函數(shù)圖象必過(guò)點(diǎn)(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)構(gòu)造二次函數(shù)型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得解得 則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計(jì)劃誤差為4.7. (2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型g(x)＝abx＋c，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入， 可得解得 則g(x)＝()x－42， 故g(4)＝()4－42＝44.4，與計(jì)劃誤差為5.1. 由上可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映該公司年銷量y(萬(wàn)輛)與第x年的關(guān)系. 解題高手 妙解題 同樣的結(jié)果，不一樣的過(guò)程，節(jié)省解題時(shí)間，也是得分！　 圖(1)是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖(2)是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧Cm是半圓，曲邊形ABCD的周長(zhǎng)為4.已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為，設(shè)AB＝2x，BC＝y(tǒng). (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍； (2)求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大． [巧思]　凹槽的強(qiáng)度最大，即橫截面的面積最大．只要將凹槽橫截面的面積S表示成x的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可解決． [妙解]　(1)易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長(zhǎng)為πx，∴4＝2x＋2y＋πx，∴y＝. 依題意知：0. ∵＝＝≈10.4. 即x>10.4. 答案：B 3．令有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是(　　) A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2 解析：可以先畫出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀地認(rèn)識(shí)變量間的關(guān)系，選擇合適的函數(shù)模型來(lái)刻畫它．散點(diǎn)圖如圖所示． 由散點(diǎn)圖可知，圖象不是直線，排除選項(xiàng)D；圖象不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征，排除選項(xiàng)A；當(dāng)t＝3時(shí)，2t－2＝23－2＝6，排除B，故選C. 答案：C 4．一個(gè)人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開(kāi)走，那么(　　) A．人可在7秒內(nèi)追上汽車 B．人可在10秒內(nèi)追上汽車 C．人追不上汽車，其間距最少為5米 D．人追不上汽車，其間距最少為7米 解析：設(shè)汽車經(jīng)過(guò)t秒行駛的路程為s米，則s＝t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，當(dāng)t＝6時(shí)，d取得最小值為7. 答案：D 二、填空題 5.對(duì)某種產(chǎn)品市場(chǎng)產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中l(wèi)1表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；l2表示產(chǎn)品各年的銷量情況，下列敘述： ①產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原計(jì)劃進(jìn)行生產(chǎn)； ②產(chǎn)品出現(xiàn)了供大于求的情況，價(jià)格將趨跌； ③產(chǎn)品的庫(kù)存積壓將越來(lái)越嚴(yán)重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴(kuò)大銷售量．你認(rèn)為較合理的敘述是________． 解析：由圖可知，對(duì)相同的年份，年產(chǎn)量>銷售量，即出現(xiàn)了供大于求的情況，庫(kù)存積壓越來(lái)越嚴(yán)重，因而②③正確，這種情況下不宜再按原計(jì)劃生產(chǎn)，故①不正確． 答案：②③ 6.如圖，開(kāi)始時(shí)桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1＝ae－nt(n為常數(shù)，t為注水時(shí)間)，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt.如果由桶1向桶2中注水5分鐘時(shí)，兩桶中的水相等，那么經(jīng)過(guò)________分鐘桶1中的水只有. 解析：由于t＝5時(shí)兩桶中的水相等， 所以ae－n5＝a－ae－n5， 所以(e－n)5＝，即e－n＝(). 由條件可得ae－nt＝， 即()＝()3，所以t＝15. 答案：15 7．某地2002年年底人口為500萬(wàn)，人均住房面積為6平方米，若該地區(qū)的人口年平均增長(zhǎng)率為1%，要使xx年年底該地區(qū)人均住房面積至少為7平方米，平均每年新增住房面積至少為_(kāi)_______萬(wàn)平方米(精確到1萬(wàn)平方米，參考數(shù)據(jù)：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)． 解析：設(shè)平均每年新增住房面積為x萬(wàn)平方米，則 ≥7，解得x≥82.27≈82. 答案：82 8.2011年1月29日廣州日?qǐng)?bào)：香港出現(xiàn)了第2宗甲型H1N1死亡病例．為了預(yù)防甲型H1N1流感，某學(xué)校教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比．藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝()t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題： (1)從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______； (2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)________小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室． 解析：(1)由圖可設(shè)y＝kt(0≤t≤0.1)，把點(diǎn)(0.1,1)分別代入y＝kt和y＝()t－a，得k＝10，a＝0.1. ∴y＝ (2)由()t－0.1<0.25＝()得t>0.6. 答案：(1)y＝ (2)0.6 三、解答題 9．某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買一批電腦，在購(gòu)買前進(jìn)行的市場(chǎng)調(diào)查顯示：在相同品牌、質(zhì)量與售后服務(wù)的條件下，甲、乙兩公司的報(bào)價(jià)都是每臺(tái)6000元．甲公司的優(yōu)惠條件是購(gòu)買10臺(tái)以上的，從第11臺(tái)開(kāi)始按報(bào)價(jià)的七折計(jì)算，乙公司的優(yōu)惠條件是均按八五折計(jì)算． (1)分別寫出在兩公司購(gòu)買電腦的總費(fèi)用y甲、y乙與購(gòu)買臺(tái)數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)根據(jù)購(gòu)買的臺(tái)數(shù)，你認(rèn)為學(xué)校應(yīng)選擇哪家公司更合算？ 解：(1)y甲＝ y乙＝5 100x(x∈N)， (2)當(dāng)x≤10時(shí)，顯然y甲＞y乙； 當(dāng)x＞10時(shí)，令y甲＞y乙，即4 200x＋18 000>5 100x， 解得：x＜20. 故當(dāng)購(gòu)買的臺(tái)數(shù)不超過(guò)20臺(tái)時(shí)，應(yīng)選擇乙公司，當(dāng)購(gòu)買臺(tái)數(shù)超過(guò)20臺(tái)時(shí)，應(yīng)選擇甲公司． 10．xx年，某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程，下面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)S(萬(wàn)元)與銷售時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和S與t之間的關(guān)系)．根據(jù)圖象提供的信息解答下列問(wèn)題： (1)由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)S(萬(wàn)元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求截止到第幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元； (3)求第八個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？ 解：(1)由二次函數(shù)圖象可知，設(shè)S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝at2＋bt＋c(a≠0)． 由題意，得或 或 無(wú)論哪個(gè)均可解得a＝，b＝－2，c＝0； ∴所求函數(shù)關(guān)系式為S＝t2－2t； (2)把S＝30代入，得30＝t2－2t， 解得t1＝10，t2＝－6(舍去)， ∴截止到第10個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元； (3)把t＝7代入， 得S＝72－27＝＝10.5(萬(wàn)元)， 把t＝8代入，得S＝82－28＝16(萬(wàn)元)． 則第八個(gè)月獲得的利潤(rùn)為16－10.5＝5.5(萬(wàn)元)， ∴第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)為5.5萬(wàn)元．