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直角三角形與勾股定理 19 直角三角形與勾股定理 限時:30分鐘 夯實基礎 1.[xx柳州] 如圖K19-1,圖中直角三角形共有 (　　) 圖K19-1 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.[xx濱州] 在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 3.[xx眉山] 將一副直角三角尺按如圖K19-2所示的位置放置,使含30角的三角尺的一條直角邊和含45角的三角尺的一條直角邊放在同一條直線上,則∠α的度數(shù)是 (　　) 圖K19-2 A.45 B.60 C.75 D.85 4.[xx黃岡] 如圖K19-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD等于(　　) 圖K19-3 A.2 B.3 C.4 D.2 5.如圖K19-4,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于點F,D為AB的中點,連接DF并延長,交AC于點E.若AB=10,BC=16,則線段EF的長為 (　　) 圖K19-4 A.2 B.3 C.4 D.5 6.[xx聊城] 如圖K19-5是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上.如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是 (　　) 圖K19-5 A.2 B.3 C.4 D.5 7.如圖K19-6是一個藝術窗的一部分,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的邊長為5 cm,則正方形A,B,C,D的面積和是　　　　. 圖K19-6 8.如圖K19-7所示,在△ABC中,∠BAC=106,EF,MN分別是AB,AC的垂直平分線,點E,N在BC上,則∠EAN=　　　　. 圖K19-7 9.如圖K19-8,在△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,交CB于點D,過點D作DE⊥AB于點E. (1)求證:AC=AE; (2)若點E為AB的中點,CD=4,求BE的長. 圖K19-8 能力提升 10.[xx青島] 如圖K19-9,在三角形紙片ABC中,AB=AC,∠BAC=90,點E為AB的中點,沿過點E的直線折疊,使點B與點A重合,折痕EF交BC于點F.已知EF=32,則BC的長是 (　　) 圖K19-9 A.322 B.32 C.3 D.33 11.如圖K19-10,矩形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG,交CD于點F.若AB=6,BC=46,則FD的長為 (　　) 圖K19-10 A.2 B.4 C.6 D.23 12.[xx吉林] 如圖K19-11,在平面直角坐標系中,A(4,0),B(0,3),以點A為圓心,AB的長為半徑畫弧,交x軸的負半軸于點C,則點C的坐標為　　　　. 圖K19-11 13.[xx黃岡] 如圖K19-12,圓柱形玻璃杯高為14 cm,底面周長為32 cm,在杯內壁離杯底5 cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為　　　　cm(杯壁厚度不計). 圖K19-12 14.如圖K19-13,在△ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD的中點,點F為AC的中點,連接EF,交CD于點M,連接AM. (1)求證:EF=12AC; (2)若∠BAC=45,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關系. 圖K19-13 拓展練習 15.已知點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點(不與A,B重合),分別過點A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點. (1)如圖K19-14①,當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關系是　　　　,QE與QF的數(shù)量關系是　　　　; (2)如圖②,當點P在線段AB上不與點Q重合時,試判斷QE與QF的數(shù)量關系,并給予證明; (3)如圖③,當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結論是否成立?請畫出圖形,并給予證明. 圖K19-14 參考答案 1.C　2.A　3.C　4.C　5.B 6.B　[解析] 如圖所示,使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是3,故選B. 7.25 cm2　[解析] 如圖所示,根據(jù)勾股定理可知,S正方形2+S正方形3=S正方形1,S正方形C+S正方形D=S正方形3,S正方形A+S正方形B=S正方形2,∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形3+S正方形2=S正方形1=52=25(cm2). 8.32　[解析] ∵在△ABC中,∠BAC=106, ∴∠B+∠C=180-∠BAC=180-106=74. ∵EF,MN分別是AB,AC的垂直平分線, ∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAN,即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74. ∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=106-74=32. 9.解:(1)證明:∵在△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,DE⊥AB, ∴CD=DE,∠AED=∠C=90,∠CAD=∠EAD. 在△ACD和△AED中, ∠CAD=∠EAD,∠C=∠AED,CD=DE, ∴△ACD≌△AED. ∴AC=AE. (2)∵DE⊥AB,點E為AB的中點, ∴AD=BD. ∴∠B=∠DAB=∠CAD. ∵∠C=90, ∴3∠B=90,∠B=30. ∵DE=CD=4,∠DEB=90, ∴BD=2DE=8. 由勾股定理,得BE=82-42=43. 10.B　[解析] ∵沿過點E的直線折疊,使點B與點A重合,∴∠B=∠EAF=45.∴∠AFB=90.∵點E為AB的中點,∴EF=12AB.又EF=32,∴AB=AC=3.∵∠BAC=90,∴BC=32+32=32.故選B. 11.B 12.(-1,0)　[解析] 由題意知,OA=4,OB=3,∴AC=AB=5,OC=1.∴點C的坐標為(-1,0). 13.20　[解析] 如圖,將杯子側面展開,作A關于EF的對稱點A,連接AB,則AB即為最短距離,AB=AD2+BD2=162+122=20(cm). 14.解:(1)證明:∵CD=CB,E為BD的中點, ∴CE⊥BD.∴∠AEC=90. 又∵F為AC的中點,∴EF=12AC. (2)∵∠BAC=45,∠AEC=90, ∴∠ACE=∠BAC=45.∴AE=CE. 又∵F為AC的中點,∴EF⊥AC. ∴EF為AC的垂直平分線.∴AM=CM. ∴AM+DM=CM+DM=CD. 又∵CD=CB,∴AM+DM=BC. 15.解:(1)AE∥BF　QE=QF (2)QE=QF. 證明:如圖①,延長FQ,交AE于點D. ∵AE⊥CP,BF⊥CP,∴AE∥BF. ∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4,AQ=BQ, ∴△AQD≌△BQF.∴QD=QF. ∵AE⊥CP,∴QE為斜邊FD的中線. ∴QE=12FD=QF. (3)(2)中的結論仍然成立. 證明:如圖②,延長EQ,FB交于點D. ∵AE⊥CP,BF⊥CP,∴AE∥BF. ∴∠1=∠D.又∵∠2=∠3,AQ=BQ, ∴△AQE≌△BQD.∴QE=QD. ∵BF⊥CP, ∴FQ為斜邊DE的中線. ∴QF=12DE=QE.